Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iswwlk Structured version   Unicode version

Theorem iswwlk 30485
Description: Properties of a word to represent a walk (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
iswwlk  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
Distinct variable groups:    i, E    i, V    i, W
Allowed substitution hints:    X( i)    Y( i)

Proof of Theorem iswwlk
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlk 30483 . . 3  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( V WWalks  E )  =  { w  e. Word  V  |  ( w  =/=  (/)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  w )  -  1 ) ) { ( w `  i ) ,  ( w `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) } )
21eleq2d 2524 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  <->  W  e.  { w  e. Word  V  | 
( w  =/=  (/)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  w
)  -  1 ) ) { ( w `
 i ) ,  ( w `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) } ) )
3 neeq1 2733 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (
w  =/=  (/)  <->  W  =/=  (/) ) )
4 fveq2 5802 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  ( # `
 w )  =  ( # `  W
) )
54oveq1d 6218 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
( # `  w )  -  1 )  =  ( ( # `  W
)  -  1 ) )
65oveq2d 6219 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
0..^ ( ( # `  w )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) )
7 fveq1 5801 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
w `  i )  =  ( W `  i ) )
8 fveq1 5801 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
w `  ( i  +  1 ) )  =  ( W `  ( i  +  1 ) ) )
97, 8preq12d 4073 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  { ( w `  i ) ,  ( w `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) } )
109eleq1d 2523 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( { ( w `  i ) ,  ( w `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( W `  i
) ,  ( W `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
116, 10raleqbidv 3037 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  w )  -  1 ) ) { ( w `  i ) ,  ( w `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
123, 11anbi12d 710 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
( w  =/=  (/)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  w
)  -  1 ) ) { ( w `
 i ) ,  ( w `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  <->  ( W  =/=  (/)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
1312elrab 3224 . . 3  |-  ( W  e.  { w  e. Word  V  |  ( w  =/=  (/)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  w )  -  1 ) ) { ( w `  i ) ,  ( w `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) }  <->  ( W  e. Word  V  /\  ( W  =/=  (/)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
14 3anass 969 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  <->  ( W  e. Word  V  /\  ( W  =/=  (/)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
15 3ancoma 972 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  <->  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
1613, 14, 153bitr2i 273 . 2  |-  ( W  e.  { w  e. Word  V  |  ( w  =/=  (/)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  w )  -  1 ) ) { ( w `  i ) ,  ( w `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) }  <->  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
172, 16syl6bb 261 1  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   {crab 2803   (/)c0 3748   {cpr 3990   ran crn 4952   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   0cc0 9396   1c1 9397    + caddc 9399    - cmin 9709  ..^cfzo 11668   #chash 12223  Word cword 12342   WWalks cwwlk 30479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-word 12350  df-wwlk 30481
This theorem is referenced by:  wwlknprop  30488  wwlknimp  30489  wlkiswwlk1  30492  wlkiswwlk2  30499  wwlkn0s  30507  vfwlkniswwlkn  30508  wwlknred  30523  wwlknext  30524  wwlkm1edg  30535  wwlknfi  30538  clwwlkel  30623  clwwlkf  30624  wwlksubclwwlk  30634  rusgranumwlkl1  30727  rusgra0edg  30741
  Copyright terms: Public domain W3C validator