MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iswrdi Structured version   Unicode version

Theorem iswrdi 12237
Description: A zero-based sequence is a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
iswrdi  |-  ( W : ( 0..^ L ) --> S  ->  W  e. Word  S )

Proof of Theorem iswrdi
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6097 . . . . 5  |-  ( l  =  L  ->  (
0..^ l )  =  ( 0..^ L ) )
21feq2d 5545 . . . 4  |-  ( l  =  L  ->  ( W : ( 0..^ l ) --> S  <->  W :
( 0..^ L ) --> S ) )
32rspcev 3071 . . 3  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ L ) --> S )  ->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S )
4 0nn0 10592 . . . 4  |-  0  e.  NN0
5 fzo0n0 11594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0..^ L )  =/=  (/) 
<->  L  e.  NN )
6 nnnn0 10584 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  NN  ->  L  e.  NN0 )
75, 6sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0..^ L )  =/=  (/)  ->  L  e.  NN0 )
87necon1bi 2652 . . . . . . 7  |-  ( -.  L  e.  NN0  ->  ( 0..^ L )  =  (/) )
9 fzo0 11571 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ 0 )  =  (/)
108, 9syl6eqr 2491 . . . . . 6  |-  ( -.  L  e.  NN0  ->  ( 0..^ L )  =  ( 0..^ 0 ) )
1110feq2d 5545 . . . . 5  |-  ( -.  L  e.  NN0  ->  ( W : ( 0..^ L ) --> S  <->  W :
( 0..^ 0 ) --> S ) )
1211biimpa 484 . . . 4  |-  ( ( -.  L  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ L ) --> S )  ->  W : ( 0..^ 0 ) --> S )
13 oveq2 6097 . . . . . 6  |-  ( l  =  0  ->  (
0..^ l )  =  ( 0..^ 0 ) )
1413feq2d 5545 . . . . 5  |-  ( l  =  0  ->  ( W : ( 0..^ l ) --> S  <->  W :
( 0..^ 0 ) --> S ) )
1514rspcev 3071 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ 0 ) --> S )  ->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S )
164, 12, 15sylancr 663 . . 3  |-  ( ( -.  L  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ L ) --> S )  ->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S )
173, 16pm2.61ian 788 . 2  |-  ( W : ( 0..^ L ) --> S  ->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S )
18 iswrd 12235 . 2  |-  ( W  e. Word  S  <->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S )
1917, 18sylibr 212 1  |-  ( W : ( 0..^ L ) --> S  ->  W  e. Word  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2604   E.wrex 2714   (/)c0 3635   -->wf 5412  (class class class)co 6089   0cc0 9280   NNcn 10320   NN0cn0 10577  ..^cfzo 11546  Word cword 12219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-word 12227
This theorem is referenced by:  iswrdbi  12239  snopiswrd  12241  wrd0  12250  iswrddm0  12252  ffz0iswrd  12253  ccatcl  12272  swrdcl  12313  revcl  12399  repsw  12411  repsdf2  12414  wrdco  12457  wrdlen2i  12544  pmtrdifwrdellem1  15985  psgnunilem5  15998  ablfaclem2  16585  ablfac2  16588  wrdumgra  23248  istrl2  23435  wlkntrllem1  23456  is2wlk  23462  constr2wlk  23495  redwlk  23503  constr3trllem1  23534  eupatrl  23587  subiwrd  26766  sseqp1  26776  wrdres  26936  ofcccat  26940  signstf  26965  signshwrd  26988  wlkiswwlk2lem5  30326  clwlkisclwwlklem2a  30444  wrdnval  30471  clwlkfclwwlk2wrd  30510  clwlkf1clwwlklem3  30518
  Copyright terms: Public domain W3C validator