MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iswrdi Structured version   Unicode version

Theorem iswrdi 12534
Description: A zero-based sequence is a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
iswrdi  |-  ( W : ( 0..^ L ) --> S  ->  W  e. Word  S )

Proof of Theorem iswrdi
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6289 . . . . 5  |-  ( l  =  L  ->  (
0..^ l )  =  ( 0..^ L ) )
21feq2d 5708 . . . 4  |-  ( l  =  L  ->  ( W : ( 0..^ l ) --> S  <->  W :
( 0..^ L ) --> S ) )
32rspcev 3196 . . 3  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ L ) --> S )  ->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S )
4 0nn0 10817 . . . 4  |-  0  e.  NN0
5 fzo0n0 11854 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0..^ L )  =/=  (/) 
<->  L  e.  NN )
6 nnnn0 10809 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  NN  ->  L  e.  NN0 )
75, 6sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0..^ L )  =/=  (/)  ->  L  e.  NN0 )
87necon1bi 2676 . . . . . . 7  |-  ( -.  L  e.  NN0  ->  ( 0..^ L )  =  (/) )
9 fzo0 11831 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ 0 )  =  (/)
108, 9syl6eqr 2502 . . . . . 6  |-  ( -.  L  e.  NN0  ->  ( 0..^ L )  =  ( 0..^ 0 ) )
1110feq2d 5708 . . . . 5  |-  ( -.  L  e.  NN0  ->  ( W : ( 0..^ L ) --> S  <->  W :
( 0..^ 0 ) --> S ) )
1211biimpa 484 . . . 4  |-  ( ( -.  L  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ L ) --> S )  ->  W : ( 0..^ 0 ) --> S )
13 oveq2 6289 . . . . . 6  |-  ( l  =  0  ->  (
0..^ l )  =  ( 0..^ 0 ) )
1413feq2d 5708 . . . . 5  |-  ( l  =  0  ->  ( W : ( 0..^ l ) --> S  <->  W :
( 0..^ 0 ) --> S ) )
1514rspcev 3196 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ 0 ) --> S )  ->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S )
164, 12, 15sylancr 663 . . 3  |-  ( ( -.  L  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ L ) --> S )  ->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S )
173, 16pm2.61ian 790 . 2  |-  ( W : ( 0..^ L ) --> S  ->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S )
18 iswrd 12532 . 2  |-  ( W  e. Word  S  <->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S )
1917, 18sylibr 212 1  |-  ( W : ( 0..^ L ) --> S  ->  W  e. Word  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   E.wrex 2794   (/)c0 3770   -->wf 5574  (class class class)co 6281   0cc0 9495   NNcn 10543   NN0cn0 10802  ..^cfzo 11806  Word cword 12516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-word 12524
This theorem is referenced by:  iswrdbi  12536  snopiswrd  12538  wrd0  12547  iswrddm0  12549  ffz0iswrd  12550  wrdnval  12553  ccatcl  12575  swrdcl  12628  revcl  12717  repsw  12729  repsdf2  12732  wrdco  12779  wrdlen2i  12866  pmtrdifwrdellem1  16485  psgnunilem5  16498  ablfaclem2  17116  ablfac2  17119  wrdumgra  24294  wlkntrllem1  24539  is2wlk  24545  constr2wlk  24578  redwlk  24586  constr3trllem1  24628  wlkiswwlk2lem5  24673  clwlkisclwwlklem2a  24763  clwlkfclwwlk2wrd  24818  clwlkf1clwwlklem3  24826  eupatrl  24946  subiwrd  28302  sseqp1  28312  wrdres  28472  ofcccat  28476  signstf  28501  signshwrd  28524
  Copyright terms: Public domain W3C validator