MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iswrdi Structured version   Unicode version

Theorem iswrdi 12518
Description: A zero-based sequence is a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
iswrdi  |-  ( W : ( 0..^ L ) --> S  ->  W  e. Word  S )

Proof of Theorem iswrdi
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6292 . . . . 5  |-  ( l  =  L  ->  (
0..^ l )  =  ( 0..^ L ) )
21feq2d 5718 . . . 4  |-  ( l  =  L  ->  ( W : ( 0..^ l ) --> S  <->  W :
( 0..^ L ) --> S ) )
32rspcev 3214 . . 3  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ L ) --> S )  ->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S )
4 0nn0 10810 . . . 4  |-  0  e.  NN0
5 fzo0n0 11840 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0..^ L )  =/=  (/) 
<->  L  e.  NN )
6 nnnn0 10802 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  NN  ->  L  e.  NN0 )
75, 6sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0..^ L )  =/=  (/)  ->  L  e.  NN0 )
87necon1bi 2700 . . . . . . 7  |-  ( -.  L  e.  NN0  ->  ( 0..^ L )  =  (/) )
9 fzo0 11817 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ 0 )  =  (/)
108, 9syl6eqr 2526 . . . . . 6  |-  ( -.  L  e.  NN0  ->  ( 0..^ L )  =  ( 0..^ 0 ) )
1110feq2d 5718 . . . . 5  |-  ( -.  L  e.  NN0  ->  ( W : ( 0..^ L ) --> S  <->  W :
( 0..^ 0 ) --> S ) )
1211biimpa 484 . . . 4  |-  ( ( -.  L  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ L ) --> S )  ->  W : ( 0..^ 0 ) --> S )
13 oveq2 6292 . . . . . 6  |-  ( l  =  0  ->  (
0..^ l )  =  ( 0..^ 0 ) )
1413feq2d 5718 . . . . 5  |-  ( l  =  0  ->  ( W : ( 0..^ l ) --> S  <->  W :
( 0..^ 0 ) --> S ) )
1514rspcev 3214 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ 0 ) --> S )  ->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S )
164, 12, 15sylancr 663 . . 3  |-  ( ( -.  L  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ L ) --> S )  ->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S )
173, 16pm2.61ian 788 . 2  |-  ( W : ( 0..^ L ) --> S  ->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S )
18 iswrd 12516 . 2  |-  ( W  e. Word  S  <->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S )
1917, 18sylibr 212 1  |-  ( W : ( 0..^ L ) --> S  ->  W  e. Word  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815   (/)c0 3785   -->wf 5584  (class class class)co 6284   0cc0 9492   NNcn 10536   NN0cn0 10795  ..^cfzo 11792  Word cword 12500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-word 12508
This theorem is referenced by:  iswrdbi  12520  snopiswrd  12522  wrd0  12531  iswrddm0  12533  ffz0iswrd  12534  wrdnval  12537  ccatcl  12558  swrdcl  12609  revcl  12698  repsw  12710  repsdf2  12713  wrdco  12760  wrdlen2i  12847  pmtrdifwrdellem1  16312  psgnunilem5  16325  ablfaclem2  16939  ablfac2  16942  wrdumgra  24020  istrl2  24244  wlkntrllem1  24265  is2wlk  24271  constr2wlk  24304  redwlk  24312  constr3trllem1  24354  wlkiswwlk2lem5  24399  clwlkisclwwlklem2a  24489  clwlkfclwwlk2wrd  24544  clwlkf1clwwlklem3  24552  eupatrl  24672  subiwrd  27992  sseqp1  28002  wrdres  28162  ofcccat  28166  signstf  28191  signshwrd  28214
  Copyright terms: Public domain W3C validator