MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iswrd Structured version   Unicode version

Theorem iswrd 12512
Description: Property of being a word over a set with a quantifier over the length. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
iswrd  |-  ( W  e. Word  S  <->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S )
Distinct variable groups:    S, l    W, l

Proof of Theorem iswrd
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-word 12504 . . 3  |- Word  S  =  { w  |  E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> S }
21eleq2i 2545 . 2  |-  ( W  e. Word  S  <->  W  e.  { w  |  E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> S } )
3 ffn 5729 . . . . 5  |-  ( W : ( 0..^ l ) --> S  ->  W  Fn  ( 0..^ l ) )
4 fzofi 12048 . . . . . 6  |-  ( 0..^ l )  e.  Fin
5 fnfi 7794 . . . . . 6  |-  ( ( W  Fn  ( 0..^ l )  /\  (
0..^ l )  e. 
Fin )  ->  W  e.  Fin )
64, 5mpan2 671 . . . . 5  |-  ( W  Fn  ( 0..^ l )  ->  W  e.  Fin )
7 elex 3122 . . . . 5  |-  ( W  e.  Fin  ->  W  e.  _V )
83, 6, 73syl 20 . . . 4  |-  ( W : ( 0..^ l ) --> S  ->  W  e.  _V )
98rexlimivw 2952 . . 3  |-  ( E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S  ->  W  e.  _V )
10 feq1 5711 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
w : ( 0..^ l ) --> S  <->  W :
( 0..^ l ) --> S ) )
1110rexbidv 2973 . . 3  |-  ( w  =  W  ->  ( E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> S  <->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S ) )
129, 11elab3 3257 . 2  |-  ( W  e.  { w  |  E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> S }  <->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S )
132, 12bitri 249 1  |-  ( W  e. Word  S  <->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    Fn wfn 5581   -->wf 5582  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   0cc0 9488   NN0cn0 10791  ..^cfzo 11788  Word cword 12496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-word 12504
This theorem is referenced by:  iswrdi  12514  wrdf  12515  sswrd  12517  cshword  12721  motcgrg  23659
  Copyright terms: Public domain W3C validator