Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iswlkon Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem iswlkon 25274
 Description: Properties of a pair of functions to be a walk between two given vertices (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Nov-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
iswlkon WalkOn Walks

Proof of Theorem iswlkon
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkon 25273 . . . 4 WalkOn Walks
21breqd 4416 . . 3 WalkOn Walks
323adant2 1028 . 2 WalkOn Walks
4 breq12 4410 . . . . 5 Walks Walks
5 fveq1 5869 . . . . . . 7
65eqeq1d 2455 . . . . . 6
76adantl 468 . . . . 5
8 simpr 463 . . . . . . 7
9 fveq2 5870 . . . . . . . 8
109adantr 467 . . . . . . 7
118, 10fveq12d 5876 . . . . . 6
1211eqeq1d 2455 . . . . 5
134, 7, 123anbi123d 1341 . . . 4 Walks Walks
14 eqid 2453 . . . 4 Walks Walks
1513, 14brabga 4718 . . 3 Walks Walks
16153ad2ant2 1031 . 2 Walks Walks
173, 16bitrd 257 1 WalkOn Walks
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 986   wceq 1446   wcel 1889   class class class wbr 4405  copab 4463  cfv 5585  (class class class)co 6295  cc0 9544  chash 12522   Walks cwalk 25238   WalkOn cwlkon 25242 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-hash 12523  df-word 12671  df-wlk 25248  df-wlkon 25254 This theorem is referenced by:  wlkonprop  25275  wlkonwlk  25277  0wlkon  25289  isspthonpth  25326  spthonepeq  25329  1pthon  25333  2pthon  25344  usgra2adedgwlkon  25355  usgra2adedgwlkonALT  25356  el2wlkonot  25609  el2spthonot  25610
 Copyright terms: Public domain W3C validator