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Theorem isvclem 25884
Description: Lemma for isvc 25888. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
isvclem.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
isvclem  |-  ( ( G  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( <. G ,  S >.  e.  CVecOLD  <->  ( G  e.  AbelOp  /\  S :
( CC  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  (
( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    x, S, y, z    x, X, z
Allowed substitution hint:    X( y)

Proof of Theorem isvclem
Dummy variables  g 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-vc 25853 . . 3  |-  CVecOLD  =  { <. g ,  s
>.  |  ( g  e.  AbelOp  /\  s :
( CC  X.  ran  g ) --> ran  g  /\  A. x  e.  ran  g ( ( 1 s x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  ran  g ( y s ( x g z ) )  =  ( ( y s x ) g ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) g ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) ) ) }
21eleq2i 2480 . 2  |-  ( <. G ,  S >.  e. 
CVecOLD  <->  <. G ,  S >.  e.  { <. g ,  s >.  |  ( g  e.  AbelOp  /\  s : ( CC  X.  ran  g ) --> ran  g  /\  A. x  e.  ran  g ( ( 1 s x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  ran  g ( y s ( x g z ) )  =  ( ( y s x ) g ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) g ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) ) ) } )
3 eleq1 2474 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  (
g  e.  AbelOp  <->  G  e.  AbelOp ) )
4 rneq 5049 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  ran  g  =  ran  G )
5 isvclem.1 . . . . . 6  |-  X  =  ran  G
64, 5syl6eqr 2461 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  ran  g  =  X )
7 xpeq2 4838 . . . . . . 7  |-  ( ran  g  =  X  -> 
( CC  X.  ran  g )  =  ( CC  X.  X ) )
87feq2d 5701 . . . . . 6  |-  ( ran  g  =  X  -> 
( s : ( CC  X.  ran  g
) --> ran  g  <->  s :
( CC  X.  X
) --> ran  g )
)
9 feq3 5698 . . . . . 6  |-  ( ran  g  =  X  -> 
( s : ( CC  X.  X ) --> ran  g  <->  s :
( CC  X.  X
) --> X ) )
108, 9bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ran  g  =  X  -> 
( s : ( CC  X.  ran  g
) --> ran  g  <->  s :
( CC  X.  X
) --> X ) )
116, 10syl 17 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  (
s : ( CC 
X.  ran  g ) --> ran  g  <->  s : ( CC  X.  X ) --> X ) )
12 oveq 6284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  G  ->  (
x g z )  =  ( x G z ) )
1312oveq2d 6294 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
y s ( x g z ) )  =  ( y s ( x G z ) ) )
14 oveq 6284 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
( y s x ) g ( y s z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) ) )
1513, 14eqeq12d 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
( y s ( x g z ) )  =  ( ( y s x ) g ( y s z ) )  <->  ( y
s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) ) ) )
166, 15raleqbidv 3018 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  ( A. z  e.  ran  g ( y s ( x g z ) )  =  ( ( y s x ) g ( y s z ) )  <->  A. z  e.  X  ( y s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) ) ) )
17 oveq 6284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  G  ->  (
( y s x ) g ( z s x ) )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) ) )
1817eqeq2d 2416 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) g ( z s x ) )  <->  ( (
y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) ) ) )
1918anbi1d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) g ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) )  <->  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) )
2019ralbidv 2843 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  ( A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) g ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) )  <->  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) )
2116, 20anbi12d 709 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
( A. z  e. 
ran  g ( y s ( x g z ) )  =  ( ( y s x ) g ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) g ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) )  <->  ( A. z  e.  X  (
y s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) ) )
2221ralbidv 2843 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  ( A. y  e.  CC  ( A. z  e.  ran  g ( y s ( x g z ) )  =  ( ( y s x ) g ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) g ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) )  <->  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y
s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) ) )
2322anbi2d 702 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( 1 s x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  ran  g ( y s ( x g z ) )  =  ( ( y s x ) g ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) g ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) )  <-> 
( ( 1 s x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y
s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) ) ) )
246, 23raleqbidv 3018 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x  e.  ran  g ( ( 1 s x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  ran  g ( y s ( x g z ) )  =  ( ( y s x ) g ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) g ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) )  <->  A. x  e.  X  ( ( 1 s x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y
s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) ) ) )
253, 11, 243anbi123d 1301 . . 3  |-  ( g  =  G  ->  (
( g  e.  AbelOp  /\  s : ( CC 
X.  ran  g ) --> ran  g  /\  A. x  e.  ran  g ( ( 1 s x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  ran  g ( y s ( x g z ) )  =  ( ( y s x ) g ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) g ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) ) )  <->  ( G  e. 
AbelOp  /\  s : ( CC  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  ( (
1 s x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) ) ) ) )
26 feq1 5696 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  (
s : ( CC 
X.  X ) --> X  <-> 
S : ( CC 
X.  X ) --> X ) )
27 oveq 6284 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
1 s x )  =  ( 1 S x ) )
2827eqeq1d 2404 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( 1 s x )  =  x  <->  ( 1 S x )  =  x ) )
29 oveq 6284 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
y s ( x G z ) )  =  ( y S ( x G z ) ) )
30 oveq 6284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
y s x )  =  ( y S x ) )
31 oveq 6284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
y s z )  =  ( y S z ) )
3230, 31oveq12d 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
( y s x ) G ( y s z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
3329, 32eqeq12d 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
( y s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) )  <->  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) ) )
3433ralbidv 2843 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  X  ( y s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) )  <->  A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) ) )
35 oveq 6284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
( y  +  z ) s x )  =  ( ( y  +  z ) S x ) )
36 oveq 6284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  (
z s x )  =  ( z S x ) )
3730, 36oveq12d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
( y s x ) G ( z s x ) )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
3835, 37eqeq12d 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  <->  ( (
y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) ) ) )
39 oveq 6284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
( y  x.  z
) s x )  =  ( ( y  x.  z ) S x ) )
40 oveq 6284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  (
y s ( z s x ) )  =  ( y S ( z s x ) ) )
4136oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  (
y S ( z s x ) )  =  ( y S ( z S x ) ) )
4240, 41eqtrd 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
y s ( z s x ) )  =  ( y S ( z S x ) ) )
4339, 42eqeq12d 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) )  <->  ( (
y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) )
4438, 43anbi12d 709 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) )  <->  ( ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) )
4544ralbidv 2843 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) )  <->  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) )
4634, 45anbi12d 709 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. z  e.  X  ( y s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) )  <->  ( A. z  e.  X  (
y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) )
4746ralbidv 2843 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) )  <->  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) )
4828, 47anbi12d 709 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( 1 s x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y
s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) )  <-> 
( ( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) ) )
4948ralbidv 2843 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  X  ( ( 1 s x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y
s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) )  <->  A. x  e.  X  ( ( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) ) )
5026, 493anbi23d 1304 . . 3  |-  ( s  =  S  ->  (
( G  e.  AbelOp  /\  s : ( CC 
X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  ( ( 1 s x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y
s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) ) )  <->  ( G  e. 
AbelOp  /\  S : ( CC  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  ( (
1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) ) ) )
5125, 50opelopabg 4708 . 2  |-  ( ( G  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( <. G ,  S >.  e.  { <. g ,  s >.  |  ( g  e.  AbelOp  /\  s : ( CC  X.  ran  g ) --> ran  g  /\  A. x  e.  ran  g ( ( 1 s x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  ran  g ( y s ( x g z ) )  =  ( ( y s x ) g ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) g ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) ) ) }  <->  ( G  e.  AbelOp  /\  S :
( CC  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  (
( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) ) ) )
522, 51syl5bb 257 1  |-  ( ( G  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( <. G ,  S >.  e.  CVecOLD  <->  ( G  e.  AbelOp  /\  S :
( CC  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  (
( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   _Vcvv 3059   <.cop 3978   {copab 4452    X. cxp 4821   ran crn 4824   -->wf 5565  (class class class)co 6278   CCcc 9520   1c1 9523    + caddc 9525    x. cmul 9527   AbelOpcablo 25697   CVecOLDcvc 25852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pr 4630
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-fv 5577  df-ov 6281  df-vc 25853
This theorem is referenced by:  vcoprnelem  25885  isvc  25888
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