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Theorem isvci 23959
Description: Properties that determine a complex vector space. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isvci.1  |-  G  e. 
AbelOp
isvci.2  |-  dom  G  =  ( X  X.  X )
isvci.3  |-  S :
( CC  X.  X
) --> X
isvci.4  |-  ( x  e.  X  ->  (
1 S x )  =  x )
isvci.5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
isvci.6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
isvci.7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  x.  z
) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) )
isvci.8  |-  W  = 
<. G ,  S >.
Assertion
Ref Expression
isvci  |-  W  e. 
CVecOLD
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    x, S, y, z    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    W( x, y, z)

Proof of Theorem isvci
StepHypRef Expression
1 isvci.8 . 2  |-  W  = 
<. G ,  S >.
2 isvci.1 . . 3  |-  G  e. 
AbelOp
3 isvci.3 . . 3  |-  S :
( CC  X.  X
) --> X
4 isvci.4 . . . . 5  |-  ( x  e.  X  ->  (
1 S x )  =  x )
5 isvci.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
653com12 1191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  X )  ->  (
y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
763expa 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  CC )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
87ralrimiva 2798 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  CC )  ->  A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
9 isvci.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
10 isvci.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  x.  z
) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) )
119, 10jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) )
12113comr 1195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) )
13123expa 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  CC )  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) )
1413ralrimiva 2798 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  CC )  ->  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) )
158, 14jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  CC )  ->  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) )
1615ralrimiva 2798 . . . . 5  |-  ( x  e.  X  ->  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) )
174, 16jca 532 . . . 4  |-  ( x  e.  X  ->  (
( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) )
1817rgen 2780 . . 3  |-  A. x  e.  X  ( (
1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) )
19 ablogrpo 23770 . . . . . 6  |-  ( G  e.  AbelOp  ->  G  e.  GrpOp )
202, 19ax-mp 5 . . . . 5  |-  G  e. 
GrpOp
21 isvci.2 . . . . 5  |-  dom  G  =  ( X  X.  X )
2220, 21grporn 23698 . . . 4  |-  X  =  ran  G
2322isvc 23958 . . 3  |-  ( <. G ,  S >.  e. 
CVecOLD  <->  ( G  e. 
AbelOp  /\  S : ( CC  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  ( (
1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) ) )
242, 3, 18, 23mpbir3an 1170 . 2  |-  <. G ,  S >.  e.  CVecOLD
251, 24eqeltri 2512 1  |-  W  e. 
CVecOLD
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714   <.cop 3882    X. cxp 4837   dom cdm 4839   -->wf 5413  (class class class)co 6090   CCcc 9279   1c1 9282    + caddc 9284    x. cmul 9286   GrpOpcgr 23672   AbelOpcablo 23767   CVecOLDcvc 23922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6093  df-grpo 23677  df-ablo 23768  df-vc 23923
This theorem is referenced by:  cncvc  23960  hilvc  24563  hhssnv  24664
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