Theorem isvc 9532

Description: The predicate "is a complex vector space."

Hypothesis

Ref	Expression
isvc.1	|- X = ran G

Assertion

Ref	Expression
isvc	|- (<.G, S>. e. CVec <-> (G e. Abel /\ S:(CC X. X)-->X /\ A.x e. X ((1Sx) = x /\ A.y e. CC (A.z e. X (yS(xGz)) = ((ySx)G(ySz)) /\ A.z e. CC (((y + z)Sx) = ((ySx)G(zSx)) /\ ((y x. z)Sx) = (yS(zSx)))))))

Distinct variable groups:   x,y,z,G   x,S,y,z   x,X,z

Proof of Theorem isvc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vcex 9531	. 2 |- (<.G, S>. e. CVec -> (G e. _V /\ S e. _V))
2		elisset 2299	. . . . 5 |- (G e. Abel -> G e. _V)
3	2	adantr 425	. . . 4 |- ((G e. Abel /\ S:(CC X. X)-->X) -> G e. _V)
4		fex 4595	. . . . . 6 |- ((S:(CC X. X)-->X /\ (CC X. X) e. _V) -> S e. _V)
5		xpexg 4095	. . . . . . 7 |- ((CC e. _V /\ X e. _V) -> (CC X. X) e. _V)
6		axcnex 6419	. . . . . . 7 |- CC e. _V
7		ablgrp 9410	. . . . . . . 8 |- (G e. Abel -> G e. Grp)
8		rnexg 4207	. . . . . . . . 9 |- (G e. Grp -> ran G e. _V)
9		isvc.1	. . . . . . . . 9 |- X = ran G
10	8, 9	syl5eqel 1975	. . . . . . . 8 |- (G e. Grp -> X e. _V)
11	7, 10	syl 12	. . . . . . 7 |- (G e. Abel -> X e. _V)
12	5, 6, 11	sylancr 526	. . . . . 6 |- (G e. Abel -> (CC X. X) e. _V)
13	4, 12	sylan2 500	. . . . 5 |- ((S:(CC X. X)-->X /\ G e. Abel) -> S e. _V)
14	13	ancoms 484	. . . 4 |- ((G e. Abel /\ S:(CC X. X)-->X) -> S e. _V)
15	3, 14	jca 310	. . 3 |- ((G e. Abel /\ S:(CC X. X)-->X) -> (G e. _V /\ S e. _V))
16	15	3adant3 896	. 2 |- ((G e. Abel /\ S:(CC X. X)-->X /\ A.x e. X ((1Sx) = x /\ A.y e. CC (A.z e. X (yS(xGz)) = ((ySx)G(ySz)) /\ A.z e. CC (((y + z)Sx) = ((ySx)G(zSx)) /\ ((y x. z)Sx) = (yS(zSx)))))) -> (G e. _V /\ S e. _V))
17	9	isvclem 9528	. 2 |- ((G e. _V /\ S e. _V) -> (<.G, S>. e. CVec <-> (G e. Abel /\ S:(CC X. X)-->X /\ A.x e. X ((1Sx) = x /\ A.y e. CC (A.z e. X (yS(xGz)) = ((ySx)G(ySz)) /\ A.z e. CC (((y + z)Sx) = ((ySx)G(zSx)) /\ ((y x. z)Sx) = (yS(zSx))))))))
18	1, 16, 17	pm5.21nii 743	1 |- (<.G, S>. e. CVec <-> (G e. Abel /\ S:(CC X. X)-->X /\ A.x e. X ((1Sx) = x /\ A.y e. CC (A.z e. X (yS(xGz)) = ((ySx)G(ySz)) /\ A.z e. CC (((y + z)Sx) = ((ySx)G(zSx)) /\ ((y x. z)Sx) = (yS(zSx)))))))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292  <.cop 3046   X. cxp 3984  ran crn 3987  -->wf 3994  (class class class)co 4884  CCcc 6384  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391  Grpcgr 9311  Abelcabl 9407  CVeccvc 9496

This theorem is referenced by:  isvci 9533

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-vc 9497

Copyright terms: Public domain