Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isuvtxa Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem isuvtxa 39467
Description: The set of all universal vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.) (Revised by AV, 30-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uvtxael.v  |-  V  =  (Vtx `  G )
isuvtxa.e  |-  E  =  (Edg `  G )
Assertion
Ref Expression
isuvtxa  |-  ( G  e.  W  ->  (UnivVtx `  G )  =  {
v  e.  V  |  A. k  e.  ( V  \  { v } ) E. e  e.  E  { k ,  v }  C_  e } )
Distinct variable groups:    v, G    v, V    e, E    e, G, k, v    e, V, k    e, W, k, v
Allowed substitution hints:    E( v, k)

Proof of Theorem isuvtxa
StepHypRef Expression
1 uvtxael.v . . 3  |-  V  =  (Vtx `  G )
21uvtxaval 39459 . 2  |-  ( G  e.  W  ->  (UnivVtx `  G )  =  {
v  e.  V  |  A. k  e.  ( V  \  { v } ) k  e.  ( G NeighbVtx  v ) } )
3 isuvtxa.e . . . . . . 7  |-  E  =  (Edg `  G )
41, 3nbgrel 39410 . . . . . 6  |-  ( G  e.  W  ->  (
k  e.  ( G NeighbVtx  v )  <->  ( (
k  e.  V  /\  v  e.  V )  /\  k  =/=  v  /\  E. e  e.  E  { v ,  k }  C_  e )
) )
54ad2antrr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V
)  /\  k  e.  ( V  \  { v } ) )  -> 
( k  e.  ( G NeighbVtx  v )  <->  ( (
k  e.  V  /\  v  e.  V )  /\  k  =/=  v  /\  E. e  e.  E  { v ,  k }  C_  e )
) )
6 df-3an 987 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  V  /\  v  e.  V
)  /\  k  =/=  v  /\  E. e  e.  E  { v ,  k }  C_  e
)  <->  ( ( ( k  e.  V  /\  v  e.  V )  /\  k  =/=  v
)  /\  E. e  e.  E  { v ,  k }  C_  e ) )
7 prcom 4050 . . . . . . . . 9  |-  { k ,  v }  =  { v ,  k }
87sseq1i 3456 . . . . . . . 8  |-  ( { k ,  v } 
C_  e  <->  { v ,  k }  C_  e )
98rexbii 2889 . . . . . . 7  |-  ( E. e  e.  E  {
k ,  v } 
C_  e  <->  E. e  e.  E  { v ,  k }  C_  e )
10 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V )  ->  v  e.  V )
11 eldifi 3555 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( V  \  { v } )  ->  k  e.  V
)
1210, 11anim12ci 571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V
)  /\  k  e.  ( V  \  { v } ) )  -> 
( k  e.  V  /\  v  e.  V
) )
13 eldifsni 4098 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( V  \  { v } )  ->  k  =/=  v
)
1413adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V
)  /\  k  e.  ( V  \  { v } ) )  -> 
k  =/=  v )
1512, 14jca 535 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V
)  /\  k  e.  ( V  \  { v } ) )  -> 
( ( k  e.  V  /\  v  e.  V )  /\  k  =/=  v ) )
1615biantrurd 511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V
)  /\  k  e.  ( V  \  { v } ) )  -> 
( E. e  e.  E  { v ,  k }  C_  e  <->  ( ( ( k  e.  V  /\  v  e.  V )  /\  k  =/=  v )  /\  E. e  e.  E  {
v ,  k } 
C_  e ) ) )
179, 16syl5rbb 262 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V
)  /\  k  e.  ( V  \  { v } ) )  -> 
( ( ( ( k  e.  V  /\  v  e.  V )  /\  k  =/=  v
)  /\  E. e  e.  E  { v ,  k }  C_  e )  <->  E. e  e.  E  { k ,  v }  C_  e ) )
186, 17syl5bb 261 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V
)  /\  k  e.  ( V  \  { v } ) )  -> 
( ( ( k  e.  V  /\  v  e.  V )  /\  k  =/=  v  /\  E. e  e.  E  { v ,  k }  C_  e )  <->  E. e  e.  E  { k ,  v }  C_  e ) )
195, 18bitrd 257 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V
)  /\  k  e.  ( V  \  { v } ) )  -> 
( k  e.  ( G NeighbVtx  v )  <->  E. e  e.  E  { k ,  v }  C_  e ) )
2019ralbidva 2824 . . 3  |-  ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V )  ->  ( A. k  e.  ( V  \  {
v } ) k  e.  ( G NeighbVtx  v )  <->  A. k  e.  ( V  \  { v } ) E. e  e.  E  { k ,  v }  C_  e
) )
2120rabbidva 3035 . 2  |-  ( G  e.  W  ->  { v  e.  V  |  A. k  e.  ( V  \  { v } ) k  e.  ( G NeighbVtx  v ) }  =  { v  e.  V  |  A. k  e.  ( V  \  { v } ) E. e  e.  E  { k ,  v }  C_  e } )
222, 21eqtrd 2485 1  |-  ( G  e.  W  ->  (UnivVtx `  G )  =  {
v  e.  V  |  A. k  e.  ( V  \  { v } ) E. e  e.  E  { k ,  v }  C_  e } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741    \ cdif 3401    C_ wss 3404   {csn 3968   {cpr 3970   ` cfv 5582  (class class class)co 6290  Vtxcvtx 39101  Edgcedga 39210   NeighbVtx cnbgr 39397  UnivVtxcuvtxa 39398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-nbgr 39401  df-uvtxa 39403
This theorem is referenced by:  uvtxael1  39468
  Copyright terms: Public domain W3C validator