Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isuvtxa Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem isuvtxa 39631
Description: The set of all universal vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.) (Revised by AV, 30-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uvtxael.v  |-  V  =  (Vtx `  G )
isuvtxa.e  |-  E  =  (Edg `  G )
Assertion
Ref Expression
isuvtxa  |-  ( G  e.  W  ->  (UnivVtx `  G )  =  {
v  e.  V  |  A. k  e.  ( V  \  { v } ) E. e  e.  E  { k ,  v }  C_  e } )
Distinct variable groups:    v, G    v, V    e, E    e, G, k, v    e, V, k    e, W, k, v
Allowed substitution hints:    E( v, k)

Proof of Theorem isuvtxa
StepHypRef Expression
1 uvtxael.v . . 3  |-  V  =  (Vtx `  G )
21uvtxaval 39623 . 2  |-  ( G  e.  W  ->  (UnivVtx `  G )  =  {
v  e.  V  |  A. k  e.  ( V  \  { v } ) k  e.  ( G NeighbVtx  v ) } )
3 isuvtxa.e . . . . . . 7  |-  E  =  (Edg `  G )
41, 3nbgrel 39574 . . . . . 6  |-  ( G  e.  W  ->  (
k  e.  ( G NeighbVtx  v )  <->  ( (
k  e.  V  /\  v  e.  V )  /\  k  =/=  v  /\  E. e  e.  E  { v ,  k }  C_  e )
) )
54ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V
)  /\  k  e.  ( V  \  { v } ) )  -> 
( k  e.  ( G NeighbVtx  v )  <->  ( (
k  e.  V  /\  v  e.  V )  /\  k  =/=  v  /\  E. e  e.  E  { v ,  k }  C_  e )
) )
6 df-3an 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  V  /\  v  e.  V
)  /\  k  =/=  v  /\  E. e  e.  E  { v ,  k }  C_  e
)  <->  ( ( ( k  e.  V  /\  v  e.  V )  /\  k  =/=  v
)  /\  E. e  e.  E  { v ,  k }  C_  e ) )
7 prcom 4041 . . . . . . . . 9  |-  { k ,  v }  =  { v ,  k }
87sseq1i 3442 . . . . . . . 8  |-  ( { k ,  v } 
C_  e  <->  { v ,  k }  C_  e )
98rexbii 2881 . . . . . . 7  |-  ( E. e  e.  E  {
k ,  v } 
C_  e  <->  E. e  e.  E  { v ,  k }  C_  e )
10 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V )  ->  v  e.  V )
11 eldifi 3544 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( V  \  { v } )  ->  k  e.  V
)
1210, 11anim12ci 577 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V
)  /\  k  e.  ( V  \  { v } ) )  -> 
( k  e.  V  /\  v  e.  V
) )
13 eldifsni 4089 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( V  \  { v } )  ->  k  =/=  v
)
1413adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V
)  /\  k  e.  ( V  \  { v } ) )  -> 
k  =/=  v )
1512, 14jca 541 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V
)  /\  k  e.  ( V  \  { v } ) )  -> 
( ( k  e.  V  /\  v  e.  V )  /\  k  =/=  v ) )
1615biantrurd 516 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V
)  /\  k  e.  ( V  \  { v } ) )  -> 
( E. e  e.  E  { v ,  k }  C_  e  <->  ( ( ( k  e.  V  /\  v  e.  V )  /\  k  =/=  v )  /\  E. e  e.  E  {
v ,  k } 
C_  e ) ) )
179, 16syl5rbb 266 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V
)  /\  k  e.  ( V  \  { v } ) )  -> 
( ( ( ( k  e.  V  /\  v  e.  V )  /\  k  =/=  v
)  /\  E. e  e.  E  { v ,  k }  C_  e )  <->  E. e  e.  E  { k ,  v }  C_  e ) )
186, 17syl5bb 265 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V
)  /\  k  e.  ( V  \  { v } ) )  -> 
( ( ( k  e.  V  /\  v  e.  V )  /\  k  =/=  v  /\  E. e  e.  E  { v ,  k }  C_  e )  <->  E. e  e.  E  { k ,  v }  C_  e ) )
195, 18bitrd 261 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V
)  /\  k  e.  ( V  \  { v } ) )  -> 
( k  e.  ( G NeighbVtx  v )  <->  E. e  e.  E  { k ,  v }  C_  e ) )
2019ralbidva 2828 . . 3  |-  ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V )  ->  ( A. k  e.  ( V  \  {
v } ) k  e.  ( G NeighbVtx  v )  <->  A. k  e.  ( V  \  { v } ) E. e  e.  E  { k ,  v }  C_  e
) )
2120rabbidva 3021 . 2  |-  ( G  e.  W  ->  { v  e.  V  |  A. k  e.  ( V  \  { v } ) k  e.  ( G NeighbVtx  v ) }  =  { v  e.  V  |  A. k  e.  ( V  \  { v } ) E. e  e.  E  { k ,  v }  C_  e } )
222, 21eqtrd 2505 1  |-  ( G  e.  W  ->  (UnivVtx `  G )  =  {
v  e.  V  |  A. k  e.  ( V  \  { v } ) E. e  e.  E  { k ,  v }  C_  e } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    \ cdif 3387    C_ wss 3390   {csn 3959   {cpr 3961   ` cfv 5589  (class class class)co 6308  Vtxcvtx 39251  Edgcedga 39371   NeighbVtx cnbgr 39561  UnivVtxcuvtxa 39562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-nbgr 39565  df-uvtxa 39567
This theorem is referenced by:  uvtxael1  39632
  Copyright terms: Public domain W3C validator