MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isust Structured version   Unicode version

Theorem isust 20998
Description: The predicate " U is a uniform structure with base  X." (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
isust  |-  ( X  e.  _V  ->  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  <->  ( U  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  U  /\  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  U
)  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, v, U    v, X, w

Proof of Theorem isust
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ustval 20997 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (UnifOn `  X )  =  {
u  |  ( u 
C_  ~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v  C_  w  ->  w  e.  u )  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) } )
21eleq2d 2472 . 2  |-  ( X  e.  _V  ->  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  <->  U  e.  { u  |  ( u  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) } ) )
3 simp1 997 . . . 4  |-  ( ( U  C_  ~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X
)  e.  U  /\  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  U
)  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) )  ->  U  C_  ~P ( X  X.  X
) )
4 sqxpexg 6587 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  _V  ->  ( X  X.  X )  e. 
_V )
5 pwexg 4578 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  X.  X )  e.  _V  ->  ~P ( X  X.  X
)  e.  _V )
64, 5syl 17 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  _V  ->  ~P ( X  X.  X
)  e.  _V )
76adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  U  C_  ~P ( X  X.  X ) )  ->  ~P ( X  X.  X )  e. 
_V )
8 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  U  C_  ~P ( X  X.  X ) )  ->  U  C_  ~P ( X  X.  X
) )
97, 8ssexd 4541 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  U  C_  ~P ( X  X.  X ) )  ->  U  e.  _V )
109ex 432 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  ( U  C_  ~P ( X  X.  X )  ->  U  e.  _V )
)
113, 10syl5 30 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( U  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  U  /\  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  U
)  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) )  ->  U  e.  _V ) )
12 sseq1 3463 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
u  C_  ~P ( X  X.  X )  <->  U  C_  ~P ( X  X.  X
) ) )
13 eleq2 2475 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
( X  X.  X
)  e.  u  <->  ( X  X.  X )  e.  U
) )
14 eleq2 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U  ->  (
w  e.  u  <->  w  e.  U ) )
1514imbi2d 314 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
( v  C_  w  ->  w  e.  u )  <-> 
( v  C_  w  ->  w  e.  U ) ) )
1615ralbidv 2843 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  <->  A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  U
) ) )
17 eleq2 2475 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
( v  i^i  w
)  e.  u  <->  ( v  i^i  w )  e.  U
) )
1817raleqbi1dv 3012 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  ( A. w  e.  u  ( v  i^i  w
)  e.  u  <->  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U
) )
19 eleq2 2475 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  ( `' v  e.  u  <->  `' v  e.  U ) )
20 rexeq 3005 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  ( E. w  e.  u  ( w  o.  w
)  C_  v  <->  E. w  e.  U  ( w  o.  w )  C_  v
) )
2119, 203anbi23d 1304 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  (
( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v )  <->  ( (  _I  |`  X )  C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w )  C_  v
) ) )
2216, 18, 213anbi123d 1301 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  (
( A. w  e. 
~P  ( X  X.  X ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  u )  /\  A. w  e.  u  (
v  i^i  w )  e.  u  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) )  <-> 
( A. w  e. 
~P  ( X  X.  X ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  U )  /\  A. w  e.  U  (
v  i^i  w )  e.  U  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) )
2322raleqbi1dv 3012 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) )  <->  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  U
)  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) )
2412, 13, 233anbi123d 1301 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  (
( u  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) )  <->  ( U  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  U  /\  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  U
)  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) ) )
2524elab3g 3202 . . 3  |-  ( ( ( U  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  U  /\  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  U
)  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) )  ->  U  e.  _V )  ->  ( U  e.  { u  |  ( u  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) }  <->  ( U  C_ 
~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X )  e.  U  /\  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v  C_  w  ->  w  e.  U )  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) ) )
2611, 25syl 17 . 2  |-  ( X  e.  _V  ->  ( U  e.  { u  |  ( u  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) }  <->  ( U  C_ 
~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X )  e.  U  /\  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v  C_  w  ->  w  e.  U )  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) ) )
272, 26bitrd 253 1  |-  ( X  e.  _V  ->  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  <->  ( U  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  U  /\  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  U
)  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   {cab 2387   A.wral 2754   E.wrex 2755   _Vcvv 3059    i^i cin 3413    C_ wss 3414   ~Pcpw 3955    _I cid 4733    X. cxp 4821   `'ccnv 4822    |` cres 4825    o. ccom 4827   ` cfv 5569  UnifOncust 20994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-res 4835  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fv 5577  df-ust 20995
This theorem is referenced by:  ustssxp  20999  ustssel  21000  ustbasel  21001  ustincl  21002  ustdiag  21003  ustinvel  21004  ustexhalf  21005  ustfilxp  21007  ust0  21014  ustbas2  21020  trust  21024  metustOLD  21362  metust  21363
  Copyright terms: Public domain W3C validator