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Theorem isust 19737
Description: The predicate " U is a uniform structure with base  X." (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
isust  |-  ( X  e.  _V  ->  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  <->  ( U  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  U  /\  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  U
)  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, v, U    v, X, w

Proof of Theorem isust
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ustval 19736 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (UnifOn `  X )  =  {
u  |  ( u 
C_  ~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v  C_  w  ->  w  e.  u )  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) } )
21eleq2d 2508 . 2  |-  ( X  e.  _V  ->  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  <->  U  e.  { u  |  ( u  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) } ) )
3 simp1 983 . . . 4  |-  ( ( U  C_  ~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X
)  e.  U  /\  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  U
)  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) )  ->  U  C_  ~P ( X  X.  X
) )
4 xpexg 6506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  _V  /\  X  e.  _V )  ->  ( X  X.  X
)  e.  _V )
54anidms 640 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  _V  ->  ( X  X.  X )  e. 
_V )
6 pwexg 4473 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  X.  X )  e.  _V  ->  ~P ( X  X.  X
)  e.  _V )
75, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  _V  ->  ~P ( X  X.  X
)  e.  _V )
87adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  U  C_  ~P ( X  X.  X ) )  ->  ~P ( X  X.  X )  e. 
_V )
9 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  U  C_  ~P ( X  X.  X ) )  ->  U  C_  ~P ( X  X.  X
) )
108, 9ssexd 4436 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  U  C_  ~P ( X  X.  X ) )  ->  U  e.  _V )
1110ex 434 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  ( U  C_  ~P ( X  X.  X )  ->  U  e.  _V )
)
123, 11syl5 32 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( U  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  U  /\  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  U
)  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) )  ->  U  e.  _V ) )
13 sseq1 3374 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
u  C_  ~P ( X  X.  X )  <->  U  C_  ~P ( X  X.  X
) ) )
14 eleq2 2502 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
( X  X.  X
)  e.  u  <->  ( X  X.  X )  e.  U
) )
15 eleq2 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U  ->  (
w  e.  u  <->  w  e.  U ) )
1615imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
( v  C_  w  ->  w  e.  u )  <-> 
( v  C_  w  ->  w  e.  U ) ) )
1716ralbidv 2733 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  <->  A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  U
) ) )
18 eleq2 2502 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
( v  i^i  w
)  e.  u  <->  ( v  i^i  w )  e.  U
) )
1918raleqbi1dv 2923 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  ( A. w  e.  u  ( v  i^i  w
)  e.  u  <->  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U
) )
20 eleq2 2502 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  ( `' v  e.  u  <->  `' v  e.  U ) )
21 rexeq 2916 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  ( E. w  e.  u  ( w  o.  w
)  C_  v  <->  E. w  e.  U  ( w  o.  w )  C_  v
) )
2220, 213anbi23d 1287 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  (
( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v )  <->  ( (  _I  |`  X )  C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w )  C_  v
) ) )
2317, 19, 223anbi123d 1284 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  (
( A. w  e. 
~P  ( X  X.  X ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  u )  /\  A. w  e.  u  (
v  i^i  w )  e.  u  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) )  <-> 
( A. w  e. 
~P  ( X  X.  X ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  U )  /\  A. w  e.  U  (
v  i^i  w )  e.  U  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) )
2423raleqbi1dv 2923 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) )  <->  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  U
)  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) )
2513, 14, 243anbi123d 1284 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  (
( u  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) )  <->  ( U  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  U  /\  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  U
)  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) ) )
2625elab3g 3109 . . 3  |-  ( ( ( U  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  U  /\  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  U
)  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) )  ->  U  e.  _V )  ->  ( U  e.  { u  |  ( u  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) }  <->  ( U  C_ 
~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X )  e.  U  /\  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v  C_  w  ->  w  e.  U )  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) ) )
2712, 26syl 16 . 2  |-  ( X  e.  _V  ->  ( U  e.  { u  |  ( u  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) }  <->  ( U  C_ 
~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X )  e.  U  /\  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v  C_  w  ->  w  e.  U )  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) ) )
282, 27bitrd 253 1  |-  ( X  e.  _V  ->  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  <->  ( U  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  U  /\  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  U
)  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   {cab 2427   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    i^i cin 3324    C_ wss 3325   ~Pcpw 3857    _I cid 4627    X. cxp 4834   `'ccnv 4835    |` cres 4838    o. ccom 4840   ` cfv 5415  UnifOncust 19733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-res 4848  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fv 5423  df-ust 19734
This theorem is referenced by:  ustssxp  19738  ustssel  19739  ustbasel  19740  ustincl  19741  ustdiag  19742  ustinvel  19743  ustexhalf  19744  ustfilxp  19746  ust0  19753  ustbas2  19759  trust  19763  metustOLD  20101  metust  20102
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