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Theorem isust 19783
Description: The predicate " U is a uniform structure with base  X." (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
isust  |-  ( X  e.  _V  ->  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  <->  ( U  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  U  /\  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  U
)  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, v, U    v, X, w

Proof of Theorem isust
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ustval 19782 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (UnifOn `  X )  =  {
u  |  ( u 
C_  ~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v  C_  w  ->  w  e.  u )  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) } )
21eleq2d 2510 . 2  |-  ( X  e.  _V  ->  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  <->  U  e.  { u  |  ( u  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) } ) )
3 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( U  C_  ~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X
)  e.  U  /\  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  U
)  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) )  ->  U  C_  ~P ( X  X.  X
) )
4 xpexg 6512 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  _V  /\  X  e.  _V )  ->  ( X  X.  X
)  e.  _V )
54anidms 645 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  _V  ->  ( X  X.  X )  e. 
_V )
6 pwexg 4481 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  X.  X )  e.  _V  ->  ~P ( X  X.  X
)  e.  _V )
75, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  _V  ->  ~P ( X  X.  X
)  e.  _V )
87adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  U  C_  ~P ( X  X.  X ) )  ->  ~P ( X  X.  X )  e. 
_V )
9 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  U  C_  ~P ( X  X.  X ) )  ->  U  C_  ~P ( X  X.  X
) )
108, 9ssexd 4444 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  U  C_  ~P ( X  X.  X ) )  ->  U  e.  _V )
1110ex 434 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  ( U  C_  ~P ( X  X.  X )  ->  U  e.  _V )
)
123, 11syl5 32 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( U  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  U  /\  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  U
)  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) )  ->  U  e.  _V ) )
13 sseq1 3382 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
u  C_  ~P ( X  X.  X )  <->  U  C_  ~P ( X  X.  X
) ) )
14 eleq2 2504 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
( X  X.  X
)  e.  u  <->  ( X  X.  X )  e.  U
) )
15 eleq2 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U  ->  (
w  e.  u  <->  w  e.  U ) )
1615imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
( v  C_  w  ->  w  e.  u )  <-> 
( v  C_  w  ->  w  e.  U ) ) )
1716ralbidv 2740 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  <->  A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  U
) ) )
18 eleq2 2504 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
( v  i^i  w
)  e.  u  <->  ( v  i^i  w )  e.  U
) )
1918raleqbi1dv 2930 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  ( A. w  e.  u  ( v  i^i  w
)  e.  u  <->  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U
) )
20 eleq2 2504 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  ( `' v  e.  u  <->  `' v  e.  U ) )
21 rexeq 2923 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  ( E. w  e.  u  ( w  o.  w
)  C_  v  <->  E. w  e.  U  ( w  o.  w )  C_  v
) )
2220, 213anbi23d 1292 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  (
( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v )  <->  ( (  _I  |`  X )  C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w )  C_  v
) ) )
2317, 19, 223anbi123d 1289 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  (
( A. w  e. 
~P  ( X  X.  X ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  u )  /\  A. w  e.  u  (
v  i^i  w )  e.  u  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) )  <-> 
( A. w  e. 
~P  ( X  X.  X ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  U )  /\  A. w  e.  U  (
v  i^i  w )  e.  U  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) )
2423raleqbi1dv 2930 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) )  <->  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  U
)  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) )
2513, 14, 243anbi123d 1289 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  (
( u  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) )  <->  ( U  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  U  /\  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  U
)  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) ) )
2625elab3g 3117 . . 3  |-  ( ( ( U  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  U  /\  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  U
)  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) )  ->  U  e.  _V )  ->  ( U  e.  { u  |  ( u  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) }  <->  ( U  C_ 
~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X )  e.  U  /\  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v  C_  w  ->  w  e.  U )  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) ) )
2712, 26syl 16 . 2  |-  ( X  e.  _V  ->  ( U  e.  { u  |  ( u  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) }  <->  ( U  C_ 
~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X )  e.  U  /\  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v  C_  w  ->  w  e.  U )  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) ) )
282, 27bitrd 253 1  |-  ( X  e.  _V  ->  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  <->  ( U  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  U  /\  A. v  e.  U  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  U
)  /\  A. w  e.  U  ( v  i^i  w )  e.  U  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  U  /\  E. w  e.  U  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977    i^i cin 3332    C_ wss 3333   ~Pcpw 3865    _I cid 4636    X. cxp 4843   `'ccnv 4844    |` cres 4847    o. ccom 4849   ` cfv 5423  UnifOncust 19779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-res 4857  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fv 5431  df-ust 19780
This theorem is referenced by:  ustssxp  19784  ustssel  19785  ustbasel  19786  ustincl  19787  ustdiag  19788  ustinvel  19789  ustexhalf  19790  ustfilxp  19792  ust0  19799  ustbas2  19805  trust  19809  metustOLD  20147  metust  20148
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