Theorem isunscov 14386

Description: If an infinite set A is included in the underlying set of a finite cover B then there exists a set of the cover that contains an infinite number of element of A.

Assertion

Ref	Expression
isunscov	|- ((-. A e. Fin /\ B e. Fin /\ A C_ U.B) -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin)

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem isunscov

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunfi 5659	. . . . . . . 8 |- ((B e. Fin /\ A.x e. B (A i^i x) e. Fin) -> U_x e. B (A i^i x) e. Fin)
2		iunin2 3320	. . . . . . . . . 10 |- U_x e. B (A i^i x) = (A i^i U_x e. B x)
3	2	eleq1i 1960	. . . . . . . . 9 |- (U_x e. B (A i^i x) e. Fin <-> (A i^i U_x e. B x) e. Fin)
4		uniiun 3306	. . . . . . . . . . . . 13 |- U.B = U_x e. B x
5	4	eqcomi 1888	. . . . . . . . . . . 12 |- U_x e. B x = U.B
6	5	ineq2i 2793	. . . . . . . . . . 11 |- (A i^i U_x e. B x) = (A i^i U.B)
7	6	eleq1i 1960	. . . . . . . . . 10 |- ((A i^i U_x e. B x) e. Fin <-> (A i^i U.B) e. Fin)
8		df-ss 2605	. . . . . . . . . . . 12 |- (A C_ U.B <-> (A i^i U.B) = A)
9		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A i^i U.B) = A -> ((A i^i U.B) e. Fin <-> A e. Fin))
10		pm2.24 95	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. Fin -> (-. A e. Fin -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin))
11	9, 10	syl6bi 231	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A i^i U.B) = A -> ((A i^i U.B) e. Fin -> (-. A e. Fin -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin)))
12	8, 11	sylbi 216	. . . . . . . . . . 11 |- (A C_ U.B -> ((A i^i U.B) e. Fin -> (-. A e. Fin -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin)))
13	12	com12 14	. . . . . . . . . 10 |- ((A i^i U.B) e. Fin -> (A C_ U.B -> (-. A e. Fin -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin)))
14	7, 13	sylbi 216	. . . . . . . . 9 |- ((A i^i U_x e. B x) e. Fin -> (A C_ U.B -> (-. A e. Fin -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin)))
15	3, 14	sylbi 216	. . . . . . . 8 |- (U_x e. B (A i^i x) e. Fin -> (A C_ U.B -> (-. A e. Fin -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin)))
16	1, 15	syl 12	. . . . . . 7 |- ((B e. Fin /\ A.x e. B (A i^i x) e. Fin) -> (A C_ U.B -> (-. A e. Fin -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin)))
17	16	ex 402	. . . . . 6 |- (B e. Fin -> (A.x e. B (A i^i x) e. Fin -> (A C_ U.B -> (-. A e. Fin -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin))))
18	17	com24 41	. . . . 5 |- (B e. Fin -> (-. A e. Fin -> (A C_ U.B -> (A.x e. B (A i^i x) e. Fin -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin))))
19	18	com12 14	. . . 4 |- (-. A e. Fin -> (B e. Fin -> (A C_ U.B -> (A.x e. B (A i^i x) e. Fin -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin))))
20	19	3imp 1061	. . 3 |- ((-. A e. Fin /\ B e. Fin /\ A C_ U.B) -> (A.x e. B (A i^i x) e. Fin -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin))
21		dfral2 2115	. . 3 |- (A.x e. B (A i^i x) e. Fin <-> -. E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin)
22	20, 21	syl5ibr 224	. 2 |- ((-. A e. Fin /\ B e. Fin /\ A C_ U.B) -> (-. E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin))
23	22	pm2.01bd 14274	1 |- ((-. A e. Fin /\ B e. Fin /\ A C_ U.B) -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   i^i cin 2592   C_ wss 2593  U.cuni 3177  U_ciun 3255  Fincfn 5426

This theorem is referenced by:  bwt2 14960

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-fin 5430

Copyright terms: Public domain