Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumsup2 Unicode version

Theorem isumsup2 12581
 Description: An infinite sum of nonnegative terms is equal to the supremum of the partial sums. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumsup.1
isumsup.2
isumsup.3
isumsup.4
isumsup.5
isumsup.6
isumsup.7
Assertion
Ref Expression
isumsup2
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem isumsup2
StepHypRef Expression
1 isumsup.1 . 2
2 isumsup.3 . 2
3 isumsup.4 . . . . 5
4 isumsup.5 . . . . 5
53, 4eqeltrd 2478 . . . 4
61, 2, 5serfre 11307 . . 3
7 isumsup.2 . . . 4
87feq1i 5544 . . 3
96, 8sylibr 204 . 2
10 simpr 448 . . . . 5
1110, 1syl6eleq 2494 . . . 4
12 eluzelz 10452 . . . . . 6
1311, 12syl 16 . . . . 5
14 uzid 10456 . . . . 5
15 peano2uz 10486 . . . . 5
1613, 14, 153syl 19 . . . 4
17 simpl 444 . . . . 5
18 elfzuz 11011 . . . . . 6
1918, 1syl6eleqr 2495 . . . . 5
2017, 19, 5syl2an 464 . . . 4
211peano2uzs 10487 . . . . . . 7
2221adantl 453 . . . . . 6
23 elfzuz 11011 . . . . . 6
241uztrn2 10459 . . . . . 6
2522, 23, 24syl2an 464 . . . . 5
26 isumsup.6 . . . . . . 7
2726, 3breqtrrd 4198 . . . . . 6
2827adantlr 696 . . . . 5
2925, 28syldan 457 . . . 4
3011, 16, 20, 29sermono 11310 . . 3
317fveq1i 5688 . . 3
327fveq1i 5688 . . 3
3330, 31, 323brtr4g 4204 . 2
34 isumsup.7 . 2
351, 2, 9, 33, 34climsup 12418 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1649   wcel 1721  wral 2666  wrex 2667   class class class wbr 4172   crn 4838  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  csup 7403  cr 8945  cc0 8946  c1 8947   caddc 8949   clt 9076   cle 9077  cz 10238  cuz 10444  cfz 10999   cseq 11278   cli 12233 This theorem is referenced by:  isumsup  12582  ovoliunlem1  19351  ioombl1lem4  19408  uniioombllem2  19428  uniioombllem6  19433 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237
 Copyright terms: Public domain W3C validator