MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumsup2 Structured version   Unicode version

Theorem isumsup2 13638
Description: An infinite sum of nonnegative terms is equal to the supremum of the partial sums. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumsup.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isumsup.2  |-  G  =  seq M (  +  ,  F )
isumsup.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isumsup.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
isumsup.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  RR )
isumsup.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  A )
isumsup.7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x )
Assertion
Ref Expression
isumsup2  |-  ( ph  ->  G  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
)
Distinct variable groups:    x, j, A    j, k, F, x   
j, M, k, x    ph, j, k    j, Z, k, x    j, G, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( k)    G( k)

Proof of Theorem isumsup2
StepHypRef Expression
1 isumsup.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 isumsup.3 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 isumsup.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
4 isumsup.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  RR )
53, 4eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
61, 2, 5serfre 12116 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
7 isumsup.2 . . . 4  |-  G  =  seq M (  +  ,  F )
87feq1i 5729 . . 3  |-  ( G : Z --> RR  <->  seq M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
96, 8sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
10 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
1110, 1syl6eleq 2565 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
12 eluzelz 11103 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
13 uzid 11108 . . . . 5  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
14 peano2uz 11146 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
1511, 12, 13, 144syl 21 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
) )
16 simpl 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ph )
17 elfzuz 11696 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... ( j  +  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1817, 1syl6eleqr 2566 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... ( j  +  1 ) )  ->  k  e.  Z )
1916, 18, 5syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( M ... (
j  +  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
201peano2uzs 11147 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  (
j  +  1 )  e.  Z )
2120adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  1 )  e.  Z )
22 elfzuz 11696 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( j  +  1 ) ... ( j  +  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )
231uztrn2 11111 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
k  e.  Z )
2421, 22, 23syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  Z )
25 isumsup.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  A )
2625, 3breqtrrd 4479 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( F `  k
) )
2726adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( F `  k
) )
2824, 27syldan 470 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( F `  k
) )
2911, 15, 19, 28sermono 12119 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  <_  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
j  +  1 ) ) )
307fveq1i 5873 . . 3  |-  ( G `
 j )  =  (  seq M (  +  ,  F ) `
 j )
317fveq1i 5873 . . 3  |-  ( G `
 ( j  +  1 ) )  =  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( j  +  1 ) )
3229, 30, 313brtr4g 4485 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( G `  j )  <_  ( G `  (
j  +  1 ) ) )
33 isumsup.7 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x )
341, 2, 9, 32, 33climsup 13472 1  |-  ( ph  ->  G  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   class class class wbr 4453   ran crn 5006   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   supcsup 7912   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    < clt 9640    <_ cle 9641   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684    seqcseq 12087    ~~> cli 13287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291
This theorem is referenced by:  isumsup  13639  ovoliunlem1  21781  ioombl1lem4  21839  uniioombllem2  21860  uniioombllem6  21865
  Copyright terms: Public domain W3C validator