MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumsup2 Unicode version

Theorem isumsup2 12581
Description: An infinite sum of nonnegative terms is equal to the supremum of the partial sums. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumsup.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isumsup.2  |-  G  =  seq  M (  +  ,  F )
isumsup.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isumsup.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
isumsup.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  RR )
isumsup.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  A )
isumsup.7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x )
Assertion
Ref Expression
isumsup2  |-  ( ph  ->  G  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
)
Distinct variable groups:    x, j, A    j, k, F, x   
j, M, k, x    ph, j, k    j, Z, k, x    j, G, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( k)    G( k)

Proof of Theorem isumsup2
StepHypRef Expression
1 isumsup.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 isumsup.3 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 isumsup.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
4 isumsup.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  RR )
53, 4eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
61, 2, 5serfre 11307 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
7 isumsup.2 . . . 4  |-  G  =  seq  M (  +  ,  F )
87feq1i 5544 . . 3  |-  ( G : Z --> RR  <->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
96, 8sylibr 204 . 2  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
10 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
1110, 1syl6eleq 2494 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
12 eluzelz 10452 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ZZ )
14 uzid 10456 . . . . 5  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
15 peano2uz 10486 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
1613, 14, 153syl 19 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
) )
17 simpl 444 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ph )
18 elfzuz 11011 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... ( j  +  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1918, 1syl6eleqr 2495 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... ( j  +  1 ) )  ->  k  e.  Z )
2017, 19, 5syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( M ... (
j  +  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
211peano2uzs 10487 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  (
j  +  1 )  e.  Z )
2221adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  1 )  e.  Z )
23 elfzuz 11011 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( j  +  1 ) ... ( j  +  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )
241uztrn2 10459 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
k  e.  Z )
2522, 23, 24syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  Z )
26 isumsup.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  A )
2726, 3breqtrrd 4198 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( F `  k
) )
2827adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( F `  k
) )
2925, 28syldan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( F `  k
) )
3011, 16, 20, 29sermono 11310 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
)  <_  (  seq  M (  +  ,  F
) `  ( j  +  1 ) ) )
317fveq1i 5688 . . 3  |-  ( G `
 j )  =  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j )
327fveq1i 5688 . . 3  |-  ( G `
 ( j  +  1 ) )  =  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( j  +  1 ) )
3330, 31, 323brtr4g 4204 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( G `  j )  <_  ( G `  (
j  +  1 ) ) )
34 isumsup.7 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x )
351, 2, 9, 33, 34climsup 12418 1  |-  ( ph  ->  G  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   class class class wbr 4172   ran crn 4838   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076    <_ cle 9077   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999    seq cseq 11278    ~~> cli 12233
This theorem is referenced by:  isumsup  12582  ovoliunlem1  19351  ioombl1lem4  19408  uniioombllem2  19428  uniioombllem6  19433
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237
  Copyright terms: Public domain W3C validator