Theorem isumshft 13284

Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumshft.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
isumshft.2	|- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
isumshft.3	|- ( j = ( K + k ) -> A = B )
isumshft.4	|- ( ph -> K e. ZZ )
isumshft.5	|- ( ph -> M e. ZZ )
isumshft.6	|- ( ( ph /\ j e. W ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
isumshft	|- ( ph -> sum_ j e. W A = sum_ k e. Z B )

Distinct variable groups:   A, k   j, k, K   ph, j, k   j, W, k   B, j   k, Z

Allowed substitution hints:   A( j)   B( k)   M( j, k)   Z( j)

Proof of Theorem isumshft

Dummy variables m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumshft.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		isumshft.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ZZ )
3	1, 2	zaddcld 10738	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + K ) e. ZZ )
4		isumshft.2	. . . . . . . . . 10 |- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
5	4	eleq2i 2497	. . . . . . . . 9 |- ( m e. W <-> m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
6	2	zcnd 10735	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. CC )
7		eluzelz 10857	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) -> m e. ZZ )
8	7	zcnd 10735	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) -> m e. CC )
9	8, 4	eleq2s 2525	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. W -> m e. CC )
10		isumshft.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Z = ( ZZ>= ` M )
11		fvex 5689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
12	10, 11	eqeltri 2503	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z e. _V
13	12	mptex 5935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z |-> B ) e. _V
14	13	shftval 12546	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
15	6, 9, 14	syl2an 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
16		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. Z )
17		eqid 2433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. Z |-> B ) = ( k e. Z |-> B )
18	17	fvmpt2i 5768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. Z -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( _I ` B ) )
19	16, 18	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( _I ` B ) )
20		eluzelz 10857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
21	20	zcnd 10735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. CC )
22	21, 10	eleq2s 2525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. Z -> k e. CC )
23		addcom 9542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. CC /\ k e. CC ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
24	6, 22, 23	syl2an 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
25		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. Z -> k e. Z )
26	25, 10	syl6eleq 2523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. Z -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
27		eluzadd 10876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( k + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
28	26, 2, 27	syl2anr 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( k + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
29	24, 28	eqeltrd 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
30	29, 4	syl6eleqr 2524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. W )
31		isumshft.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = ( K + k ) -> A = B )
32		eqid 2433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. W |-> A ) = ( j e. W |-> A )
33	31, 32	fvmpti 5761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K + k ) e. W -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) = ( _I ` B ) )
34	30, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) = ( _I ` B ) )
35	19, 34	eqtr4d 2468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) )
36	35	ralrimiva 2789	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. k e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) )
37		nffvmpt1 5687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( ( k e. Z |-> B ) ` n )
38	37	nfeq1 2578	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) )
39		fveq2 5679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
40		oveq2 6088	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> ( K + k ) = ( K + n ) )
41	40	fveq2d 5683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
42	39, 41	eqeq12d 2447	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = n -> ( ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) <-> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) ) )
43	38, 42	rspc 3056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Z -> ( A. k e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) ) )
44	36, 43	mpan9 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
45	44	ralrimiva 2789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
46	45	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
47	1	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> M e. ZZ )
48	2	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> K e. ZZ )
49		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> m e. W )
50	49, 4	syl6eleq 2523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
51		eluzsub 10877	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( m - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
52	47, 48, 50, 51	syl3anc 1211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( m - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
53	52, 10	syl6eleqr 2524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( m - K ) e. Z )
54		fveq2 5679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
55		oveq2 6088	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( m - K ) -> ( K + n ) = ( K + ( m - K ) ) )
56	55	fveq2d 5683	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
57	54, 56	eqeq12d 2447	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) <-> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) ) )
58	57	rspccva 3061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) /\ ( m - K ) e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
59	46, 53, 58	syl2anc 654	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
60		pncan3 9605	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. CC /\ m e. CC ) -> ( K + ( m - K ) ) = m )
61	6, 9, 60	syl2an 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( K + ( m - K ) ) = m )
62	61	fveq2d 5683	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` m ) )
63	15, 59, 62	3eqtrrd 2470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) )
64	5, 63	sylan2br 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) )
65	3, 64	seqfeq 11814	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) = seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) )
66	65	breq1d 4290	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x <-> seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) ~~> x ) )
67	13	isershft 13124	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x <-> seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) ~~> x ) )
68	1, 2, 67	syl2anc 654	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x <-> seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) ~~> x ) )
69	66, 68	bitr4d 256	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x <-> seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x ) )
70	69	iotabidv 5390	. . . 4 |- ( ph -> ( iota x seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x ) = ( iota x seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x ) )
71		df-fv 5414	. . . 4 |- ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) = ( iota x seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x )
72		df-fv 5414	. . . 4 |- ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) = ( iota x seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x )
73	70, 71, 72	3eqtr4g 2490	. . 3 |- ( ph -> ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) )
74		eqidd 2434	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( j e. W |-> A ) ` m ) )
75		isumshft.6	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. W ) -> A e. CC )
76	75, 32	fmptd 5855	. . . . 5 |- ( ph -> ( j e. W |-> A ) : W --> CC )
77		ffvelrn 5829	. . . . 5 |- ( ( ( j e. W |-> A ) : W --> CC /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) e. CC )
78	76, 77	sylan 468	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) e. CC )
79	4, 3, 74, 78	isum 13179	. . 3 |- ( ph -> sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) )
80		eqidd 2434	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
81	76	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( j e. W |-> A ) : W --> CC )
82	30	ralrimiva 2789	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. Z ( K + k ) e. W )
83	40	eleq1d 2499	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( K + k ) e. W <-> ( K + n ) e. W ) )
84	83	rspccva 3061	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. Z ( K + k ) e. W /\ n e. Z ) -> ( K + n ) e. W )
85	82, 84	sylan 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( K + n ) e. W )
86		ffvelrn 5829	. . . . . 6 |- ( ( ( j e. W |-> A ) : W --> CC /\ ( K + n ) e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) e. CC )
87	81, 85, 86	syl2anc 654	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) e. CC )
88	44, 87	eqeltrd 2507	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) e. CC )
89	10, 1, 80, 88	isum 13179	. . 3 |- ( ph -> sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) )
90	73, 79, 89	3eqtr4d 2475	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
91		sumfc 13169	. 2 |- sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = sum_ j e. W A
92		sumfc 13169	. 2 |- sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = sum_ k e. Z B
93	90, 91, 92	3eqtr3g 2488	1 |- ( ph -> sum_ j e. W A = sum_ k e. Z B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1362   e. wcel 1755   A.wral 2705   _Vcvv 2962   class class class wbr 4280   e. cmpt 4338   _I cid 4618   iotacio 5367   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267   + caddc 9272   - cmin 9582   ZZcz 10633   ZZ>=cuz 10848   seqcseq 11789   shift cshi 12538   ~~> cli 12945   sum_csu 13146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-rp 10979  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-seq 11790  df-exp 11849  df-hash 12087  df-shft 12539  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-clim 12949  df-sum 13147

This theorem is referenced by:  eftlub  13375  pserdv2  21779  logtayl  21989