Theorem isumshft 13946

Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumshft.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
isumshft.2	|- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
isumshft.3	|- ( j = ( K + k ) -> A = B )
isumshft.4	|- ( ph -> K e. ZZ )
isumshft.5	|- ( ph -> M e. ZZ )
isumshft.6	|- ( ( ph /\ j e. W ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
isumshft	|- ( ph -> sum_ j e. W A = sum_ k e. Z B )

Distinct variable groups:   A, k   j, k, K   ph, j, k   j, W, k   B, j   k, Z

Allowed substitution hints:   A( j)   B( k)   M( j, k)   Z( j)

Proof of Theorem isumshft

Dummy variables m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumshft.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		isumshft.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ZZ )
3	1, 2	zaddcld 11073	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + K ) e. ZZ )
4		isumshft.2	. . . . . . . . . 10 |- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
5	4	eleq2i 2532	. . . . . . . . 9 |- ( m e. W <-> m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
6	2	zcnd 11070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. CC )
7		eluzelcn 11199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) -> m e. CC )
8	7, 4	eleq2s 2558	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. W -> m e. CC )
9		isumshft.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Z = ( ZZ>= ` M )
10		fvex 5898	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
11	9, 10	eqeltri 2536	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z e. _V
12	11	mptex 6161	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z |-> B ) e. _V
13	12	shftval 13186	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
14	6, 8, 13	syl2an 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
15		simpr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. Z )
16		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. Z |-> B ) = ( k e. Z |-> B )
17	16	fvmpt2i 5979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. Z -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( _I ` B ) )
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( _I ` B ) )
19		eluzelcn 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. CC )
20	19, 9	eleq2s 2558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. Z -> k e. CC )
21		addcom 9845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. CC /\ k e. CC ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
22	6, 20, 21	syl2an 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
23		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. Z -> k e. Z )
24	23, 9	syl6eleq 2550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. Z -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
25		eluzadd 11216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( k + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
26	24, 2, 25	syl2anr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( k + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
27	22, 26	eqeltrd 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
28	27, 4	syl6eleqr 2551	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. W )
29		isumshft.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = ( K + k ) -> A = B )
30		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. W |-> A ) = ( j e. W |-> A )
31	29, 30	fvmpti 5970	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K + k ) e. W -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) = ( _I ` B ) )
32	28, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) = ( _I ` B ) )
33	18, 32	eqtr4d 2499	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) )
34	33	ralrimiva 2814	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. k e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) )
35		nffvmpt1 5896	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( ( k e. Z |-> B ) ` n )
36	35	nfeq1 2616	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) )
37		fveq2 5888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
38		oveq2 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> ( K + k ) = ( K + n ) )
39	38	fveq2d 5892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
40	37, 39	eqeq12d 2477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = n -> ( ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) <-> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) ) )
41	36, 40	rspc 3156	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Z -> ( A. k e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) ) )
42	34, 41	mpan9 476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
43	42	ralrimiva 2814	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
44	43	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
45	1	adantr 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> M e. ZZ )
46	2	adantr 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> K e. ZZ )
47		simpr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> m e. W )
48	47, 4	syl6eleq 2550	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
49		eluzsub 11217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( m - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
50	45, 46, 48, 49	syl3anc 1276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( m - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
51	50, 9	syl6eleqr 2551	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( m - K ) e. Z )
52		fveq2 5888	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
53		oveq2 6323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( m - K ) -> ( K + n ) = ( K + ( m - K ) ) )
54	53	fveq2d 5892	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
55	52, 54	eqeq12d 2477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) <-> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) ) )
56	55	rspccva 3161	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) /\ ( m - K ) e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
57	44, 51, 56	syl2anc 671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
58		pncan3 9909	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. CC /\ m e. CC ) -> ( K + ( m - K ) ) = m )
59	6, 8, 58	syl2an 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( K + ( m - K ) ) = m )
60	59	fveq2d 5892	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` m ) )
61	14, 57, 60	3eqtrrd 2501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) )
62	5, 61	sylan2br 483	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) )
63	3, 62	seqfeq 12270	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) = seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) )
64	63	breq1d 4426	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x <-> seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) ~~> x ) )
65	12	isershft 13776	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x <-> seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) ~~> x ) )
66	1, 2, 65	syl2anc 671	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x <-> seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) ~~> x ) )
67	64, 66	bitr4d 264	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x <-> seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x ) )
68	67	iotabidv 5586	. . . 4 |- ( ph -> ( iota x seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x ) = ( iota x seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x ) )
69		df-fv 5609	. . . 4 |- ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) = ( iota x seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x )
70		df-fv 5609	. . . 4 |- ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) = ( iota x seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x )
71	68, 69, 70	3eqtr4g 2521	. . 3 |- ( ph -> ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) )
72		eqidd 2463	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( j e. W |-> A ) ` m ) )
73		isumshft.6	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. W ) -> A e. CC )
74	73, 30	fmptd 6069	. . . . 5 |- ( ph -> ( j e. W |-> A ) : W --> CC )
75		ffvelrn 6043	. . . . 5 |- ( ( ( j e. W |-> A ) : W --> CC /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) e. CC )
76	74, 75	sylan 478	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) e. CC )
77	4, 3, 72, 76	isum 13834	. . 3 |- ( ph -> sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) )
78		eqidd 2463	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
79	74	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( j e. W |-> A ) : W --> CC )
80	28	ralrimiva 2814	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. Z ( K + k ) e. W )
81	38	eleq1d 2524	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( K + k ) e. W <-> ( K + n ) e. W ) )
82	81	rspccva 3161	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. Z ( K + k ) e. W /\ n e. Z ) -> ( K + n ) e. W )
83	80, 82	sylan 478	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( K + n ) e. W )
84		ffvelrn 6043	. . . . . 6 |- ( ( ( j e. W |-> A ) : W --> CC /\ ( K + n ) e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) e. CC )
85	79, 83, 84	syl2anc 671	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) e. CC )
86	42, 85	eqeltrd 2540	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) e. CC )
87	9, 1, 78, 86	isum 13834	. . 3 |- ( ph -> sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) )
88	71, 77, 87	3eqtr4d 2506	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
89		sumfc 13824	. 2 |- sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = sum_ j e. W A
90		sumfc 13824	. 2 |- sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = sum_ k e. Z B
91	88, 89, 90	3eqtr3g 2519	1 |- ( ph -> sum_ j e. W A = sum_ k e. Z B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   A.wral 2749   _Vcvv 3057   class class class wbr 4416   |-> cmpt 4475   _I cid 4763   iotacio 5563   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   CCcc 9563   + caddc 9568   - cmin 9886   ZZcz 10966   ZZ>=cuz 11188   seqcseq 12245   shift cshi 13178   ~~> cli 13597   sum_csu 13801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-oi 8051  df-card 8399  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-rp 11332  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-seq 12246  df-exp 12305  df-hash 12548  df-shft 13179  df-cj 13211  df-re 13212  df-im 13213  df-sqrt 13347  df-abs 13348  df-clim 13601  df-sum 13802

This theorem is referenced by:  eftlub  14212  pserdv2  23434  logtayl  23654  binomcxplemnotnn0  36749