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Theorem isumshft 13736
Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumshft.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isumshft.2  |-  W  =  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) )
isumshft.3  |-  ( j  =  ( K  +  k )  ->  A  =  B )
isumshft.4  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
isumshft.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isumshft.6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  W )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
isumshft  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  W  A  =  sum_ k  e.  Z  B )
Distinct variable groups:    A, k    j, k, K    ph, j, k   
j, W, k    B, j    k, Z
Allowed substitution hints:    A( j)    B( k)    M( j, k)    Z( j)

Proof of Theorem isumshft
Dummy variables  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumshft.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 isumshft.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
31, 2zaddcld 10969 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  +  K
)  e.  ZZ )
4 isumshft.2 . . . . . . . . . 10  |-  W  =  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) )
54eleq2i 2532 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  W  <->  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
62zcnd 10966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
7 eluzelcn 11093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  m  e.  CC )
87, 4eleq2s 2562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  W  ->  m  e.  CC )
9 isumshft.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
10 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
119, 10eqeltri 2538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  e. 
_V
1211mptex 6118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  Z  |->  B )  e.  _V
1312shftval 12992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( k  e.  Z  |->  B ) 
shift  K ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  ( m  -  K ) ) )
146, 8, 13syl2an 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K ) `  m )  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `
 ( m  -  K ) ) )
15 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  Z )
16 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  Z  |->  B )  =  ( k  e.  Z  |->  B )
1716fvmpt2i 5938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  (  _I 
`  B ) )
1815, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  (  _I 
`  B ) )
19 eluzelcn 11093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  CC )
2019, 9eleq2s 2562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  CC )
21 addcom 9755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( K  +  k )  =  ( k  +  K ) )
226, 20, 21syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K  +  k )  =  ( k  +  K ) )
23 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  Z )
2423, 9syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
25 eluzadd 11110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
) )
2624, 2, 25syl2anr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
) )
2722, 26eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K  +  k )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
2827, 4syl6eleqr 2553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K  +  k )  e.  W )
29 isumshft.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  ( K  +  k )  ->  A  =  B )
30 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  W  |->  A )  =  ( j  e.  W  |->  A )
3129, 30fvmpti 5930 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  +  k )  e.  W  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  =  (  _I 
`  B ) )
3228, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  =  (  _I 
`  B ) )
3318, 32eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k ) ) )
3433ralrimiva 2868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  k )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
) )
35 nffvmpt1 5856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )
3635nfeq1 2631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)
37 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
38 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  ( K  +  k )  =  ( K  +  n ) )
3938fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n ) ) )
4037, 39eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  B ) `  k )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  <->  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `
 n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n
) ) ) )
4136, 40rspc 3201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  k )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  ->  ( (
k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 ( K  +  n ) ) ) )
4234, 41mpan9 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n ) ) )
4342ralrimiva 2868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
) )
4443adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  A. n  e.  Z  ( (
k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 ( K  +  n ) ) )
451adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  M  e.  ZZ )
462adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  K  e.  ZZ )
47 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  m  e.  W )
4847, 4syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
49 eluzsub 11111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( m  -  K )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
5045, 46, 48, 49syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
m  -  K )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
5150, 9syl6eleqr 2553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
m  -  K )  e.  Z )
52 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  ( m  -  K ) ) )
53 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  ( K  +  n )  =  ( K  +  ( m  -  K
) ) )
5453fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  ( m  -  K ) ) ) )
5552, 54eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)  <->  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `
 ( m  -  K ) )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  (
m  -  K ) ) ) ) )
5655rspccva 3206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)  /\  ( m  -  K )  e.  Z
)  ->  ( (
k  e.  Z  |->  B ) `  ( m  -  K ) )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 ( K  +  ( m  -  K
) ) ) )
5744, 51, 56syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  (
m  -  K ) )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  ( m  -  K ) ) ) )
58 pncan3 9819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( K  +  ( m  -  K ) )  =  m )
596, 8, 58syl2an 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  ( K  +  ( m  -  K ) )  =  m )
6059fveq2d 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  ( m  -  K ) ) )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 m ) )
6114, 57, 603eqtrrd 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  m
)  =  ( ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K ) `
 m ) )
625, 61sylan2br 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 m )  =  ( ( ( k  e.  Z  |->  B ) 
shift  K ) `  m
) )
633, 62seqfeq 12117 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) )  =  seq ( M  +  K ) (  +  ,  ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K )
) )
6463breq1d 4449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) )  ~~>  x  <->  seq ( M  +  K )
(  +  ,  ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K ) )  ~~>  x ) )
6512isershft 13571 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (  seq M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x  <->  seq ( M  +  K )
(  +  ,  ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K ) )  ~~>  x ) )
661, 2, 65syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x  <->  seq ( M  +  K )
(  +  ,  ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K ) )  ~~>  x ) )
6764, 66bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) )  ~~>  x  <->  seq M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x ) )
6867iotabidv 5555 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( iota x  seq ( M  +  K
) (  +  , 
( j  e.  W  |->  A ) )  ~~>  x )  =  ( iota x  seq M (  +  , 
( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x ) )
69 df-fv 5578 . . . 4  |-  (  ~~>  `  seq ( M  +  K
) (  +  , 
( j  e.  W  |->  A ) ) )  =  ( iota x  seq ( M  +  K
) (  +  , 
( j  e.  W  |->  A ) )  ~~>  x )
70 df-fv 5578 . . . 4  |-  (  ~~>  `  seq M (  +  , 
( k  e.  Z  |->  B ) ) )  =  ( iota x  seq M (  +  , 
( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x )
7168, 69, 703eqtr4g 2520 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ~~>  `  seq ( M  +  K )
(  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) ) )  =  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) ) ) )
72 eqidd 2455 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  m
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  m ) )
73 isumshft.6 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  W )  ->  A  e.  CC )
7473, 30fmptd 6031 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( j  e.  W  |->  A ) : W --> CC )
75 ffvelrn 6005 . . . . 5  |-  ( ( ( j  e.  W  |->  A ) : W --> CC  /\  m  e.  W
)  ->  ( (
j  e.  W  |->  A ) `  m )  e.  CC )
7674, 75sylan 469 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  m
)  e.  CC )
774, 3, 72, 76isum 13626 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  W  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  m )  =  (  ~~>  `
 seq ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) ) ) )
78 eqidd 2455 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
7974adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
j  e.  W  |->  A ) : W --> CC )
8028ralrimiva 2868 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( K  +  k
)  e.  W )
8138eleq1d 2523 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( K  +  k )  e.  W  <->  ( K  +  n )  e.  W
) )
8281rspccva 3206 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  Z  ( K  +  k
)  e.  W  /\  n  e.  Z )  ->  ( K  +  n
)  e.  W )
8380, 82sylan 469 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( K  +  n )  e.  W )
84 ffvelrn 6005 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  e.  W  |->  A ) : W --> CC  /\  ( K  +  n )  e.  W
)  ->  ( (
j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n ) )  e.  CC )
8579, 83, 84syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)  e.  CC )
8642, 85eqeltrd 2542 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  n
)  e.  CC )
879, 1, 78, 86isum 13626 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  (  ~~>  `
 seq M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) ) ) )
8871, 77, 873eqtr4d 2505 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  W  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  m )  =  sum_ n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
89 sumfc 13616 . 2  |-  sum_ m  e.  W  ( (
j  e.  W  |->  A ) `  m )  =  sum_ j  e.  W  A
90 sumfc 13616 . 2  |-  sum_ n  e.  Z  ( (
k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  sum_ k  e.  Z  B
9188, 89, 903eqtr3g 2518 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  W  A  =  sum_ k  e.  Z  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497    _I cid 4779   iotacio 5532   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479    + caddc 9484    - cmin 9796   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082    seqcseq 12092    shift cshi 12984    ~~> cli 13392   sum_csu 13593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-shft 12985  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-clim 13396  df-sum 13594
This theorem is referenced by:  eftlub  13929  pserdv2  22994  logtayl  23212  binomcxplemnotnn0  31505
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