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Theorem isumshft 12574
Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumshft.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isumshft.2  |-  W  =  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) )
isumshft.3  |-  ( j  =  ( K  +  k )  ->  A  =  B )
isumshft.4  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
isumshft.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isumshft.6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  W )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
isumshft  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  W  A  =  sum_ k  e.  Z  B )
Distinct variable groups:    A, k    j, k, K    ph, j, k   
j, W, k    B, j    k, Z
Allowed substitution hints:    A( j)    B( k)    M( j, k)    Z( j)

Proof of Theorem isumshft
Dummy variables  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumshft.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 isumshft.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
31, 2zaddcld 10335 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  +  K
)  e.  ZZ )
4 isumshft.2 . . . . . . . . . 10  |-  W  =  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) )
54eleq2i 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  W  <->  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
62zcnd 10332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
7 eluzelz 10452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  m  e.  ZZ )
87zcnd 10332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  m  e.  CC )
98, 4eleq2s 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  W  ->  m  e.  CC )
10 isumshft.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
11 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
1210, 11eqeltri 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  e. 
_V
1312mptex 5925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  Z  |->  B )  e.  _V
1413shftval 11844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( k  e.  Z  |->  B ) 
shift  K ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  ( m  -  K ) ) )
156, 9, 14syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K ) `  m )  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `
 ( m  -  K ) ) )
16 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  Z )
17 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  Z  |->  B )  =  ( k  e.  Z  |->  B )
1817fvmpt2i 5770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  (  _I 
`  B ) )
1916, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  (  _I 
`  B ) )
20 eluzelz 10452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
2120zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  CC )
2221, 10eleq2s 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  CC )
23 addcom 9208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( K  +  k )  =  ( k  +  K ) )
246, 22, 23syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K  +  k )  =  ( k  +  K ) )
25 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  Z )
2625, 10syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
27 eluzadd 10470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
) )
2826, 2, 27syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
) )
2924, 28eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K  +  k )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
3029, 4syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K  +  k )  e.  W )
31 isumshft.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  ( K  +  k )  ->  A  =  B )
32 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  W  |->  A )  =  ( j  e.  W  |->  A )
3331, 32fvmpti 5764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  +  k )  e.  W  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  =  (  _I 
`  B ) )
3430, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  =  (  _I 
`  B ) )
3519, 34eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k ) ) )
3635ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  k )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
) )
37 nffvmpt1 5695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )
3837nfeq1 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)
39 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
40 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  ( K  +  k )  =  ( K  +  n ) )
4140fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n ) ) )
4239, 41eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  B ) `  k )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  <->  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `
 n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n
) ) ) )
4338, 42rspc 3006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  k )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  ->  ( (
k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 ( K  +  n ) ) ) )
4436, 43mpan9 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n ) ) )
4544ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
) )
4645adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  A. n  e.  Z  ( (
k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 ( K  +  n ) ) )
471adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  M  e.  ZZ )
482adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  K  e.  ZZ )
49 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  m  e.  W )
5049, 4syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
51 eluzsub 10471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( m  -  K )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
5247, 48, 50, 51syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
m  -  K )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
5352, 10syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
m  -  K )  e.  Z )
54 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  ( m  -  K ) ) )
55 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  ( K  +  n )  =  ( K  +  ( m  -  K
) ) )
5655fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  ( m  -  K ) ) ) )
5754, 56eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)  <->  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `
 ( m  -  K ) )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  (
m  -  K ) ) ) ) )
5857rspccva 3011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)  /\  ( m  -  K )  e.  Z
)  ->  ( (
k  e.  Z  |->  B ) `  ( m  -  K ) )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 ( K  +  ( m  -  K
) ) ) )
5946, 53, 58syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  (
m  -  K ) )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  ( m  -  K ) ) ) )
60 pncan3 9269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( K  +  ( m  -  K ) )  =  m )
616, 9, 60syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  ( K  +  ( m  -  K ) )  =  m )
6261fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  ( m  -  K ) ) )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 m ) )
6315, 59, 623eqtrrd 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  m
)  =  ( ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K ) `
 m ) )
645, 63sylan2br 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 m )  =  ( ( ( k  e.  Z  |->  B ) 
shift  K ) `  m
) )
653, 64seqfeq 11303 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) )  =  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K )
) )
6665breq1d 4182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) )  ~~>  x  <->  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K )
)  ~~>  x ) )
6713isershft 12412 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (  seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x  <->  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K )
)  ~~>  x ) )
681, 2, 67syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x  <->  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K )
)  ~~>  x ) )
6966, 68bitr4d 248 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) )  ~~>  x  <->  seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x ) )
7069iotabidv 5398 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( iota x  seq  ( M  +  K
) (  +  , 
( j  e.  W  |->  A ) )  ~~>  x )  =  ( iota x  seq  M (  +  , 
( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x ) )
71 df-fv 5421 . . . 4  |-  (  ~~>  `  seq  ( M  +  K
) (  +  , 
( j  e.  W  |->  A ) ) )  =  ( iota x  seq  ( M  +  K
) (  +  , 
( j  e.  W  |->  A ) )  ~~>  x )
72 df-fv 5421 . . . 4  |-  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) ) )  =  ( iota x  seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x )
7370, 71, 723eqtr4g 2461 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ~~>  `  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) ) )  =  (  ~~>  `
 seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) ) ) )
74 eqidd 2405 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  m
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  m ) )
75 isumshft.6 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  W )  ->  A  e.  CC )
7675, 32fmptd 5852 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( j  e.  W  |->  A ) : W --> CC )
77 ffvelrn 5827 . . . . 5  |-  ( ( ( j  e.  W  |->  A ) : W --> CC  /\  m  e.  W
)  ->  ( (
j  e.  W  |->  A ) `  m )  e.  CC )
7876, 77sylan 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  m
)  e.  CC )
794, 3, 74, 78isum 12468 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  W  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  m )  =  (  ~~>  `
 seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) ) ) )
80 eqidd 2405 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
8176adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
j  e.  W  |->  A ) : W --> CC )
8230ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( K  +  k
)  e.  W )
8340eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( K  +  k )  e.  W  <->  ( K  +  n )  e.  W
) )
8483rspccva 3011 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  Z  ( K  +  k
)  e.  W  /\  n  e.  Z )  ->  ( K  +  n
)  e.  W )
8582, 84sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( K  +  n )  e.  W )
86 ffvelrn 5827 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  e.  W  |->  A ) : W --> CC  /\  ( K  +  n )  e.  W
)  ->  ( (
j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n ) )  e.  CC )
8781, 85, 86syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)  e.  CC )
8844, 87eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  n
)  e.  CC )
8910, 1, 80, 88isum 12468 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  (  ~~>  `
 seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) ) ) )
9073, 79, 893eqtr4d 2446 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  W  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  m )  =  sum_ n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
91 sumfc 12458 . 2  |-  sum_ m  e.  W  ( (
j  e.  W  |->  A ) `  m )  =  sum_ j  e.  W  A
92 sumfc 12458 . 2  |-  sum_ n  e.  Z  ( (
k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  sum_ k  e.  Z  B
9390, 91, 923eqtr3g 2459 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  W  A  =  sum_ k  e.  Z  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    _I cid 4453   iotacio 5375   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944    + caddc 8949    - cmin 9247   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444    seq cseq 11278    shift cshi 11836    ~~> cli 12233   sum_csu 12434
This theorem is referenced by:  eftlub  12665  pserdv2  20299  logtayl  20504
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435
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