Theorem isumshft 13415

Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumshft.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
isumshft.2	|- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
isumshft.3	|- ( j = ( K + k ) -> A = B )
isumshft.4	|- ( ph -> K e. ZZ )
isumshft.5	|- ( ph -> M e. ZZ )
isumshft.6	|- ( ( ph /\ j e. W ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
isumshft	|- ( ph -> sum_ j e. W A = sum_ k e. Z B )

Distinct variable groups:   A, k   j, k, K   ph, j, k   j, W, k   B, j   k, Z

Allowed substitution hints:   A( j)   B( k)   M( j, k)   Z( j)

Proof of Theorem isumshft

Dummy variables m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumshft.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		isumshft.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ZZ )
3	1, 2	zaddcld 10857	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + K ) e. ZZ )
4		isumshft.2	. . . . . . . . . 10 |- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
5	4	eleq2i 2530	. . . . . . . . 9 |- ( m e. W <-> m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
6	2	zcnd 10854	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. CC )
7		eluzelz 10976	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) -> m e. ZZ )
8	7	zcnd 10854	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) -> m e. CC )
9	8, 4	eleq2s 2560	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. W -> m e. CC )
10		isumshft.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Z = ( ZZ>= ` M )
11		fvex 5804	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
12	10, 11	eqeltri 2536	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z e. _V
13	12	mptex 6052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z |-> B ) e. _V
14	13	shftval 12676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
15	6, 9, 14	syl2an 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
16		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. Z )
17		eqid 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. Z |-> B ) = ( k e. Z |-> B )
18	17	fvmpt2i 5884	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. Z -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( _I ` B ) )
19	16, 18	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( _I ` B ) )
20		eluzelz 10976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
21	20	zcnd 10854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. CC )
22	21, 10	eleq2s 2560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. Z -> k e. CC )
23		addcom 9661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. CC /\ k e. CC ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
24	6, 22, 23	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
25		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. Z -> k e. Z )
26	25, 10	syl6eleq 2550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. Z -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
27		eluzadd 10995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( k + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
28	26, 2, 27	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( k + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
29	24, 28	eqeltrd 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
30	29, 4	syl6eleqr 2551	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. W )
31		isumshft.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = ( K + k ) -> A = B )
32		eqid 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. W |-> A ) = ( j e. W |-> A )
33	31, 32	fvmpti 5877	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K + k ) e. W -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) = ( _I ` B ) )
34	30, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) = ( _I ` B ) )
35	19, 34	eqtr4d 2496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) )
36	35	ralrimiva 2827	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. k e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) )
37		nffvmpt1 5802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( ( k e. Z |-> B ) ` n )
38	37	nfeq1 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) )
39		fveq2 5794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
40		oveq2 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> ( K + k ) = ( K + n ) )
41	40	fveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
42	39, 41	eqeq12d 2474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = n -> ( ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) <-> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) ) )
43	38, 42	rspc 3167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Z -> ( A. k e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) ) )
44	36, 43	mpan9 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
45	44	ralrimiva 2827	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
46	45	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
47	1	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> M e. ZZ )
48	2	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> K e. ZZ )
49		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> m e. W )
50	49, 4	syl6eleq 2550	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
51		eluzsub 10996	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( m - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
52	47, 48, 50, 51	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( m - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
53	52, 10	syl6eleqr 2551	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( m - K ) e. Z )
54		fveq2 5794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
55		oveq2 6203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( m - K ) -> ( K + n ) = ( K + ( m - K ) ) )
56	55	fveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
57	54, 56	eqeq12d 2474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) <-> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) ) )
58	57	rspccva 3172	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) /\ ( m - K ) e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
59	46, 53, 58	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
60		pncan3 9724	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. CC /\ m e. CC ) -> ( K + ( m - K ) ) = m )
61	6, 9, 60	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( K + ( m - K ) ) = m )
62	61	fveq2d 5798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` m ) )
63	15, 59, 62	3eqtrrd 2498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) )
64	5, 63	sylan2br 476	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) )
65	3, 64	seqfeq 11943	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) = seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) )
66	65	breq1d 4405	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x <-> seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) ~~> x ) )
67	13	isershft 13254	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x <-> seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) ~~> x ) )
68	1, 2, 67	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x <-> seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) ~~> x ) )
69	66, 68	bitr4d 256	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x <-> seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x ) )
70	69	iotabidv 5505	. . . 4 |- ( ph -> ( iota x seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x ) = ( iota x seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x ) )
71		df-fv 5529	. . . 4 |- ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) = ( iota x seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x )
72		df-fv 5529	. . . 4 |- ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) = ( iota x seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x )
73	70, 71, 72	3eqtr4g 2518	. . 3 |- ( ph -> ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) )
74		eqidd 2453	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( j e. W |-> A ) ` m ) )
75		isumshft.6	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. W ) -> A e. CC )
76	75, 32	fmptd 5971	. . . . 5 |- ( ph -> ( j e. W |-> A ) : W --> CC )
77		ffvelrn 5945	. . . . 5 |- ( ( ( j e. W |-> A ) : W --> CC /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) e. CC )
78	76, 77	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) e. CC )
79	4, 3, 74, 78	isum 13309	. . 3 |- ( ph -> sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) )
80		eqidd 2453	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
81	76	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( j e. W |-> A ) : W --> CC )
82	30	ralrimiva 2827	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. Z ( K + k ) e. W )
83	40	eleq1d 2521	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( K + k ) e. W <-> ( K + n ) e. W ) )
84	83	rspccva 3172	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. Z ( K + k ) e. W /\ n e. Z ) -> ( K + n ) e. W )
85	82, 84	sylan 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( K + n ) e. W )
86		ffvelrn 5945	. . . . . 6 |- ( ( ( j e. W |-> A ) : W --> CC /\ ( K + n ) e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) e. CC )
87	81, 85, 86	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) e. CC )
88	44, 87	eqeltrd 2540	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) e. CC )
89	10, 1, 80, 88	isum 13309	. . 3 |- ( ph -> sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) )
90	73, 79, 89	3eqtr4d 2503	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
91		sumfc 13299	. 2 |- sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = sum_ j e. W A
92		sumfc 13299	. 2 |- sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = sum_ k e. Z B
93	90, 91, 92	3eqtr3g 2516	1 |- ( ph -> sum_ j e. W A = sum_ k e. Z B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2796   _Vcvv 3072   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4453   _I cid 4734   iotacio 5482   -->wf 5517   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   CCcc 9386   + caddc 9391   - cmin 9701   ZZcz 10752   ZZ>=cuz 10967   seqcseq 11918   shift cshi 12668   ~~> cli 13075   sum_csu 13276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-oi 7830  df-card 8215  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-rp 11098  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-seq 11919  df-exp 11978  df-hash 12216  df-shft 12669  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-clim 13079  df-sum 13277

This theorem is referenced by:  eftlub  13506  pserdv2  22023  logtayl  22233