Theorem isumshft 13736

Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumshft.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
isumshft.2	|- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
isumshft.3	|- ( j = ( K + k ) -> A = B )
isumshft.4	|- ( ph -> K e. ZZ )
isumshft.5	|- ( ph -> M e. ZZ )
isumshft.6	|- ( ( ph /\ j e. W ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
isumshft	|- ( ph -> sum_ j e. W A = sum_ k e. Z B )

Distinct variable groups:   A, k   j, k, K   ph, j, k   j, W, k   B, j   k, Z

Allowed substitution hints:   A( j)   B( k)   M( j, k)   Z( j)

Proof of Theorem isumshft

Dummy variables m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumshft.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		isumshft.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ZZ )
3	1, 2	zaddcld 10969	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + K ) e. ZZ )
4		isumshft.2	. . . . . . . . . 10 |- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
5	4	eleq2i 2532	. . . . . . . . 9 |- ( m e. W <-> m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
6	2	zcnd 10966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. CC )
7		eluzelcn 11093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) -> m e. CC )
8	7, 4	eleq2s 2562	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. W -> m e. CC )
9		isumshft.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Z = ( ZZ>= ` M )
10		fvex 5858	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
11	9, 10	eqeltri 2538	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z e. _V
12	11	mptex 6118	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z |-> B ) e. _V
13	12	shftval 12992	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
14	6, 8, 13	syl2an 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
15		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. Z )
16		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. Z |-> B ) = ( k e. Z |-> B )
17	16	fvmpt2i 5938	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. Z -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( _I ` B ) )
18	15, 17	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( _I ` B ) )
19		eluzelcn 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. CC )
20	19, 9	eleq2s 2562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. Z -> k e. CC )
21		addcom 9755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. CC /\ k e. CC ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
22	6, 20, 21	syl2an 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
23		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. Z -> k e. Z )
24	23, 9	syl6eleq 2552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. Z -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
25		eluzadd 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( k + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
26	24, 2, 25	syl2anr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( k + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
27	22, 26	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
28	27, 4	syl6eleqr 2553	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. W )
29		isumshft.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = ( K + k ) -> A = B )
30		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. W |-> A ) = ( j e. W |-> A )
31	29, 30	fvmpti 5930	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K + k ) e. W -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) = ( _I ` B ) )
32	28, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) = ( _I ` B ) )
33	18, 32	eqtr4d 2498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) )
34	33	ralrimiva 2868	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. k e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) )
35		nffvmpt1 5856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( ( k e. Z |-> B ) ` n )
36	35	nfeq1 2631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) )
37		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
38		oveq2 6278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> ( K + k ) = ( K + n ) )
39	38	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
40	37, 39	eqeq12d 2476	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = n -> ( ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) <-> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) ) )
41	36, 40	rspc 3201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Z -> ( A. k e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) ) )
42	34, 41	mpan9 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
43	42	ralrimiva 2868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
44	43	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
45	1	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> M e. ZZ )
46	2	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> K e. ZZ )
47		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> m e. W )
48	47, 4	syl6eleq 2552	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
49		eluzsub 11111	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( m - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
50	45, 46, 48, 49	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( m - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
51	50, 9	syl6eleqr 2553	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( m - K ) e. Z )
52		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
53		oveq2 6278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( m - K ) -> ( K + n ) = ( K + ( m - K ) ) )
54	53	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
55	52, 54	eqeq12d 2476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) <-> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) ) )
56	55	rspccva 3206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) /\ ( m - K ) e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
57	44, 51, 56	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
58		pncan3 9819	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. CC /\ m e. CC ) -> ( K + ( m - K ) ) = m )
59	6, 8, 58	syl2an 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( K + ( m - K ) ) = m )
60	59	fveq2d 5852	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` m ) )
61	14, 57, 60	3eqtrrd 2500	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) )
62	5, 61	sylan2br 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) )
63	3, 62	seqfeq 12117	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) = seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) )
64	63	breq1d 4449	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x <-> seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) ~~> x ) )
65	12	isershft 13571	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x <-> seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) ~~> x ) )
66	1, 2, 65	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x <-> seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) ~~> x ) )
67	64, 66	bitr4d 256	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x <-> seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x ) )
68	67	iotabidv 5555	. . . 4 |- ( ph -> ( iota x seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x ) = ( iota x seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x ) )
69		df-fv 5578	. . . 4 |- ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) = ( iota x seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x )
70		df-fv 5578	. . . 4 |- ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) = ( iota x seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x )
71	68, 69, 70	3eqtr4g 2520	. . 3 |- ( ph -> ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) )
72		eqidd 2455	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( j e. W |-> A ) ` m ) )
73		isumshft.6	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. W ) -> A e. CC )
74	73, 30	fmptd 6031	. . . . 5 |- ( ph -> ( j e. W |-> A ) : W --> CC )
75		ffvelrn 6005	. . . . 5 |- ( ( ( j e. W |-> A ) : W --> CC /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) e. CC )
76	74, 75	sylan 469	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) e. CC )
77	4, 3, 72, 76	isum 13626	. . 3 |- ( ph -> sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) )
78		eqidd 2455	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
79	74	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( j e. W |-> A ) : W --> CC )
80	28	ralrimiva 2868	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. Z ( K + k ) e. W )
81	38	eleq1d 2523	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( K + k ) e. W <-> ( K + n ) e. W ) )
82	81	rspccva 3206	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. Z ( K + k ) e. W /\ n e. Z ) -> ( K + n ) e. W )
83	80, 82	sylan 469	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( K + n ) e. W )
84		ffvelrn 6005	. . . . . 6 |- ( ( ( j e. W |-> A ) : W --> CC /\ ( K + n ) e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) e. CC )
85	79, 83, 84	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) e. CC )
86	42, 85	eqeltrd 2542	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) e. CC )
87	9, 1, 78, 86	isum 13626	. . 3 |- ( ph -> sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) )
88	71, 77, 87	3eqtr4d 2505	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
89		sumfc 13616	. 2 |- sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = sum_ j e. W A
90		sumfc 13616	. 2 |- sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = sum_ k e. Z B
91	88, 89, 90	3eqtr3g 2518	1 |- ( ph -> sum_ j e. W A = sum_ k e. Z B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   _I cid 4779   iotacio 5532   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   + caddc 9484   - cmin 9796   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   seqcseq 12092   shift cshi 12984   ~~> cli 13392   sum_csu 13593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-shft 12985  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-clim 13396  df-sum 13594

This theorem is referenced by:  eftlub  13929  pserdv2  22994  logtayl  23212  binomcxplemnotnn0  31505