Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumrpcl Structured version   Unicode version

Theorem isumrpcl 13621
 Description: The infinite sum of positive reals is positive. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumrpcl.1
isumrpcl.2
isumrpcl.3
isumrpcl.4
isumrpcl.5
isumrpcl.6
Assertion
Ref Expression
isumrpcl
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem isumrpcl
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumrpcl.2 . . 3
2 isumrpcl.3 . . . . 5
3 isumrpcl.1 . . . . 5
42, 3syl6eleq 2565 . . . 4
5 eluzelz 11092 . . . 4
64, 5syl 16 . . 3
7 uzss 11103 . . . . . . 7
84, 7syl 16 . . . . . 6
98, 1, 33sstr4g 3545 . . . . 5
109sselda 3504 . . . 4
11 isumrpcl.4 . . . 4
1210, 11syldan 470 . . 3
13 isumrpcl.5 . . . . 5
1413rpred 11257 . . . 4
1510, 14syldan 470 . . 3
16 isumrpcl.6 . . . 4
1711, 13eqeltrd 2555 . . . . . 6
1817rpcnd 11259 . . . . 5
193, 2, 18iserex 13445 . . . 4
2016, 19mpbid 210 . . 3
211, 6, 12, 15, 20isumrecl 13546 . 2
2217ralrimiva 2878 . . 3
23 fveq2 5866 . . . . 5
2423eleq1d 2536 . . . 4
2524rspcv 3210 . . 3
262, 22, 25sylc 60 . 2
27 seq1 12089 . . . 4
286, 27syl 16 . . 3
29 uzid 11097 . . . . . 6
306, 29syl 16 . . . . 5
3130, 1syl6eleqr 2566 . . . 4
3215recnd 9623 . . . . 5
331, 6, 12, 32, 20isumclim2 13539 . . . 4
349sseld 3503 . . . . . . 7
35 fveq2 5866 . . . . . . . . . 10
3635eleq1d 2536 . . . . . . . . 9
3736rspcv 3210 . . . . . . . 8
3822, 37syl5com 30 . . . . . . 7
3934, 38syld 44 . . . . . 6
4039imp 429 . . . . 5
4140rpred 11257 . . . 4
4240rpge0d 11261 . . . 4
431, 31, 33, 41, 42climserle 13451 . . 3
4428, 43eqbrtrrd 4469 . 2
4521, 26, 44rpgecld 11292 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814   wss 3476   cdm 4999  cfv 5588  cr 9492   caddc 9496   cle 9630  cz 10865  cuz 11083  crp 11221   cseq 12076   cli 13273  csu 13474 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-rlim 13278  df-sum 13475 This theorem is referenced by:  effsumlt  13710  eirrlem  13801  aaliou3lem3  22566
 Copyright terms: Public domain W3C validator