Theorem isumnn0nnai 8469

Description: Sum from 0 to infinity in terms of sum from 1 to infinity of a class term A(k).

Hypotheses

Ref	Expression
isumnn0nna.1	|- A e. _V
isumnn0nna.3	|- F e. _V
isumnn0nna.4	|- (y e. F -> A.k y e. F)
isumnn0nna.5	|- (k e. NN0 -> (F` k) = A)

Assertion

Ref	Expression
isumnn0nnai	|- ((A.k e. NN0 A e. CC /\ E.x( + seq1 F) ~~> x) -> sum_k e. NN0 A = ([_0 / k]_A + sum_k e. NN A))

Distinct variable groups:   x,y,F   y,k

Proof of Theorem isumnn0nnai

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumnn0nna.3	. . . 4 |- F e. _V
2	1	isumnn0nn 8468	. . 3 |- ((A.j e. NN0 (F` j) e. CC /\ E.x( + seq1 F) ~~> x) -> sum_j e. NN0 (F` j) = ((F` 0) + sum_j e. NN (F` j)))
3		isumnn0nna.5	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> (F` k) = A)
4	3	sumeq2i 8248	. . . 4 |- sum_k e. NN0 (F` k) = sum_k e. NN0 A
5		ax-17 1317	. . . . 5 |- (y e. (F` k) -> A.j y e. (F` k))
6		isumnn0nna.4	. . . . . 6 |- (y e. F -> A.k y e. F)
7		ax-17 1317	. . . . . 6 |- (y e. j -> A.k y e. j)
8	6, 7	hbfv 4686	. . . . 5 |- (y e. (F` j) -> A.k y e. (F` j))
9		fveq2 4681	. . . . 5 |- (k = j -> (F` k) = (F` j))
10	5, 8, 9	cbvsumi 8246	. . . 4 |- sum_k e. NN0 (F` k) = sum_j e. NN0 (F` j)
11	4, 10	eqtr3i 1910	. . 3 |- sum_k e. NN0 A = sum_j e. NN0 (F` j)
12		0nn0 7322	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
13		ax-17 1317	. . . . . . 7 |- (z e. 0 -> A.k z e. 0)
14		ax-17 1317	. . . . . . . . 9 |- (y e. 0 -> A.k y e. 0)
15	6, 14	hbfv 4686	. . . . . . . 8 |- (y e. (F` 0) -> A.k y e. (F` 0))
16	12	elisseti 2301	. . . . . . . . 9 |- 0 e. _V
17	16, 13	hbcsb1 2568	. . . . . . . 8 |- (z e. [_0 / k]_A -> A.k z e. [_0 / k]_A)
18	15, 17	hbeq 1995	. . . . . . 7 |- ((F` 0) = [_0 / k]_A -> A.k(F` 0) = [_0 / k]_A)
19		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (k = 0 -> (F` k) = (F` 0))
20		csbeq1a 2546	. . . . . . . 8 |- (k = 0 -> A = [_0 / k]_A)
21	19, 20	eqeq12d 1899	. . . . . . 7 |- (k = 0 -> ((F` k) = A <-> (F` 0) = [_0 / k]_A))
22	13, 18, 21, 3	vtoclgaf 2350	. . . . . 6 |- (0 e. NN0 -> (F` 0) = [_0 / k]_A)
23	12, 22	ax-mp 7	. . . . 5 |- (F` 0) = [_0 / k]_A
24	5, 8, 9	cbvsumi 8246	. . . . . . 7 |- sum_k e. NN (F` k) = sum_j e. NN (F` j)
25	24	eqcomi 1888	. . . . . 6 |- sum_j e. NN (F` j) = sum_k e. NN (F` k)
26		nnnn0 7315	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> k e. NN0)
27	26, 3	syl 12	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> (F` k) = A)
28	27	sumeq2i 8248	. . . . . 6 |- sum_k e. NN (F` k) = sum_k e. NN A
29	25, 28	eqtri 1908	. . . . 5 |- sum_j e. NN (F` j) = sum_k e. NN A
30	23, 29	opreq12i 4894	. . . 4 |- ((F` 0) + sum_j e. NN (F` j)) = ([_0 / k]_A + sum_k e. NN A)
31	30	eqcomi 1888	. . 3 |- ([_0 / k]_A + sum_k e. NN A) = ((F` 0) + sum_j e. NN (F` j))
32	2, 11, 31	3eqtr4g 1953	. 2 |- ((A.j e. NN0 (F` j) e. CC /\ E.x( + seq1 F) ~~> x) -> sum_k e. NN0 A = ([_0 / k]_A + sum_k e. NN A))
33	3	eleq1d 1963	. . . 4 |- (k e. NN0 -> ((F` k) e. CC <-> A e. CC))
34	33	ralbiia 2133	. . 3 |- (A.k e. NN0 (F` k) e. CC <-> A.k e. NN0 A e. CC)
35		ax-17 1317	. . . 4 |- ((F` k) e. CC -> A.j(F` k) e. CC)
36		ax-17 1317	. . . . 5 |- (z e. CC -> A.k z e. CC)
37	8, 36	hbel 1996	. . . 4 |- ((F` j) e. CC -> A.k(F` j) e. CC)
38	9	eleq1d 1963	. . . 4 |- (k = j -> ((F` k) e. CC <-> (F` j) e. CC))
39	35, 37, 38	cbvral 2278	. . 3 |- (A.k e. NN0 (F` k) e. CC <-> A.j e. NN0 (F` j) e. CC)
40	34, 39	bitr3i 192	. 2 |- (A.k e. NN0 A e. CC <-> A.j e. NN0 (F` j) e. CC)
41	32, 40	sylanb 498	1 |- ((A.k e. NN0 A e. CC /\ E.x( + seq1 F) ~~> x) -> sum_k e. NN0 A = ([_0 / k]_A + sum_k e. NN A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  A.wral 2105  _Vcvv 2292  [_csb 2540   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386   + caddc 6389  NNcn 6449  NN0cn0 6450   seq1 cseq1 7720   ~~> cli 8234  sum_csu 8239

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240

Copyright terms: Public domain