Theorem isummulc1iALT 8474

Description: Older isummulc1 8473 proved without using iserzmulc1 8396.

Hypothesis

Ref	Expression
isummulc1iALT.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
isummulc1iALT	|- (((M e. ZZ /\ C e. CC) /\ (A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC /\ E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x)) -> (C x. sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k)) = sum_k e. (ZZ>=` M)(C x. (F` k)))

Distinct variable groups:   x,k,C   k,F,x   k,M,x

Proof of Theorem isummulc1iALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isummulc1iALT.1	. . . . . . . . 9 |- F e. _V
2		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
3	1, 2	isumclim 8457	. . . . . . . 8 |- ((M e. ZZ /\ (<.M, + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) = x)
4	3	opreq2d 4898	. . . . . . 7 |- ((M e. ZZ /\ (<.M, + >. seq F) ~~> x) -> (C x. sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k)) = (C x. x))
5	4	3ad2antl1 1038	. . . . . 6 |- (((M e. ZZ /\ C e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) /\ (<.M, + >. seq F) ~~> x) -> (C x. sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k)) = (C x. x))
6		simpl1 879	. . . . . . 7 |- (((M e. ZZ /\ C e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) /\ (<.M, + >. seq F) ~~> x) -> M e. ZZ)
7		simp2 877	. . . . . . . . 9 |- ((M e. ZZ /\ C e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> C e. CC)
8	7	anim1i 361	. . . . . . . 8 |- (((M e. ZZ /\ C e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) /\ (<.M, + >. seq F) ~~> x) -> (C e. CC /\ (<.M, + >. seq F) ~~> x))
9	1	serzcl2 8309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((n e. (ZZ>=` M) /\ A.m e. (ZZ>=` M)(F` m) e. CC) -> ((<.M, + >. seq F)` n) e. CC)
10	9	3adant2 895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((n e. (ZZ>=` M) /\ C e. CC /\ A.m e. (ZZ>=` M)(F` m) e. CC) -> ((<.M, + >. seq F)` n) e. CC)
11		fvex 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (ZZ>=` M) e. _V
12	11	opabex2 4539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- {<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` M) /\ y = (C x. (F` k)))} e. _V
13	1, 12	serzmulc1 8317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((n e. (ZZ>=` M) /\ C e. CC /\ A.m e. (M...n)((F` m) e. CC /\ ({<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` M) /\ y = (C x. (F` k)))}` m) = (C x. (F` m)))) -> (C x. ((<.M, + >. seq F)` n)) = ((<.M, + >. seq {<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` M) /\ y = (C x. (F` k)))})` n))
14		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (k = m -> (F` k) = (F` m))
15	14	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (k = m -> (C x. (F` k)) = (C x. (F` m)))
16		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- {<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` M) /\ y = (C x. (F` k)))} = {<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` M) /\ y = (C x. (F` k)))}
17		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (C x. (F` m)) e. _V
18	15, 16, 17	fvopab4 4743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (m e. (ZZ>=` M) -> ({<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` M) /\ y = (C x. (F` k)))}` m) = (C x. (F` m)))
19	18	anim2i 362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((F` m) e. CC /\ m e. (ZZ>=` M)) -> ((F` m) e. CC /\ ({<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` M) /\ y = (C x. (F` k)))}` m) = (C x. (F` m))))
20	19	expcom 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (m e. (ZZ>=` M) -> ((F` m) e. CC -> ((F` m) e. CC /\ ({<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` M) /\ y = (C x. (F` k)))}` m) = (C x. (F` m)))))
21	20	a2i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((m e. (ZZ>=` M) -> (F` m) e. CC) -> (m e. (ZZ>=` M) -> ((F` m) e. CC /\ ({<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` M) /\ y = (C x. (F` k)))}` m) = (C x. (F` m)))))
22		elfzuz 7658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (m e. (M...n) -> m e. (ZZ>=` M))
23	21, 22	syl5 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((m e. (ZZ>=` M) -> (F` m) e. CC) -> (m e. (M...n) -> ((F` m) e. CC /\ ({<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` M) /\ y = (C x. (F` k)))}` m) = (C x. (F` m)))))
24	23	ralimi2 2165	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A.m e. (ZZ>=` M)(F` m) e. CC -> A.m e. (M...n)((F` m) e. CC /\ ({<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` M) /\ y = (C x. (F` k)))}` m) = (C x. (F` m))))
25	13, 24	syl3an3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((n e. (ZZ>=` M) /\ C e. CC /\ A.m e. (ZZ>=` M)(F` m) e. CC) -> (C x. ((<.M, + >. seq F)` n)) = ((<.M, + >. seq {<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` M) /\ y = (C x. (F` k)))})` n))
26	25	eqcomd 1889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((n e. (ZZ>=` M) /\ C e. CC /\ A.m e. (ZZ>=` M)(F` m) e. CC) -> ((<.M, + >. seq {<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` M) /\ y = (C x. (F` k)))})` n) = (C x. ((<.M, + >. seq F)` n)))
27	10, 26	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((n e. (ZZ>=` M) /\ C e. CC /\ A.m e. (ZZ>=` M)(F` m) e. CC) -> (((<.M, + >. seq F)` n) e. CC /\ ((<.M, + >. seq {<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` M) /\ y = (C x. (F` k)))})` n) = (C x. ((<.M, + >. seq F)` n))))
28	27	3coml 1075	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((C e. CC /\ A.m e. (ZZ>=` M)(F` m) e. CC /\ n e. (ZZ>=` M)) -> (((<.M, + >. seq F)` n) e. CC /\ ((<.M, + >. seq {<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` M) /\ y = (C x. (F` k)))})` n) = (C x. ((<.M, + >. seq F)` n))))
29	28	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((C e. CC /\ A.m e. (ZZ>=` M)(F` m) e. CC) /\ n e. (ZZ>=` M)) -> (((<.M, + >. seq F)` n) e. CC /\ ((<.M, + >. seq {<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` M) /\ y = (C x. (F` k)))})` n) = (C x. ((<.M, + >. seq F)` n))))
30	29	r19.21aiva 2176	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. CC /\ A.m e. (ZZ>=` M)(F` m) e. CC) -> A.n e. (ZZ>=` M)(((<.M, + >. seq F)` n) e. CC /\ ((<.M, + >. seq {<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` M) /\ y = (C x. (F` k)))})` n) = (C x. ((<.M, + >. seq F)` n))))
31	14	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . 13 |- (k = m -> ((F` k) e. CC <-> (F` m) e. CC))
32	31	cbvralv 2280	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC <-> A.m e. (ZZ>=` M)(F` m) e. CC)
33	30, 32	sylan2b 501	. . . . . . . . . . 11 |- ((C e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> A.n e. (ZZ>=` M)(((<.M, + >. seq F)` n) e. CC /\ ((<.M, + >. seq {<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` M) /\ y = (C x. (F` k)))})` n) = (C x. ((<.M, + >. seq F)` n))))
34	33	anim2i 362	. . . . . . . . . 10 |- ((M e. ZZ /\ (C e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC)) -> (M e. ZZ /\ A.n e. (ZZ>=` M)(((<.M, + >. seq F)` n) e. CC /\ ((<.M, + >. seq {<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` M) /\ y = (C x. (F` k)))})` n) = (C x. ((<.M, + >. seq F)` n)))))
35	34	3impb 1063	. . . . . . . . 9 |- ((M e. ZZ /\ C e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> (M e. ZZ /\ A.n e. (ZZ>=` M)(((<.M, + >. seq F)` n) e. CC /\ ((<.M, + >. seq {<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` M) /\ y = (C x. (F` k)))})` n) = (C x. ((<.M, + >. seq F)` n)))))
36	35	adantr 425	. . . . . . . 8 |- (((M e. ZZ /\ C e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) /\ (<.M, + >. seq F) ~~> x) -> (M e. ZZ /\ A.n e. (ZZ>=` M)(((<.M, + >. seq F)` n) e. CC /\ ((<.M, + >. seq {<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` M) /\ y = (C x. (F` k)))})` n) = (C x. ((<.M, + >. seq F)` n)))))
37		oprex 4907	. . . . . . . . 9 |- (<.M, + >. seq F) e. _V
38		oprex 4907	. . . . . . . . 9 |- (<.M, + >. seq {<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` M) /\ y = (C x. (F` k)))}) e. _V
39	37, 38, 2	climmulc2 8389	. . . . . . . 8 |- (((C e. CC /\ (<.M, + >. seq F) ~~> x) /\ (M e. ZZ /\ A.n e. (ZZ>=` M)(((<.M, + >. seq F)` n) e. CC /\ ((<.M, + >. seq {<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` M) /\ y = (C x. (F` k)))})` n) = (C x. ((<.M, + >. seq F)` n))))) -> (<.M, + >. seq {<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` M) /\ y = (C x. (F` k)))}) ~~> (C x. x))
40	8, 36, 39	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- (((M e. ZZ /\ C e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) /\ (<.M, + >. seq F) ~~> x) -> (<.M, + >. seq {<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` M) /\ y = (C x. (F` k)))}) ~~> (C x. x))
41		oprex 4907	. . . . . . . 8 |- (C x. (F` k)) e. _V
42		oprex 4907	. . . . . . . 8 |- (C x. x) e. _V
43	41, 16, 42	isumclim4 8462	. . . . . . 7 |- ((M e. ZZ /\ (<.M, + >. seq {<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` M) /\ y = (C x. (F` k)))}) ~~> (C x. x)) -> sum_k e. (ZZ>=` M)(C x. (F` k)) = (C x. x))
44	6, 40, 43	syl11anc 524	. . . . . 6 |- (((M e. ZZ /\ C e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) /\ (<.M, + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>=` M)(C x. (F` k)) = (C x. x))
45	5, 44	eqtr4d 1928	. . . . 5 |- (((M e. ZZ /\ C e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) /\ (<.M, + >. seq F) ~~> x) -> (C x. sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k)) = sum_k e. (ZZ>=` M)(C x. (F` k)))
46	45	ex 402	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ C e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> ((<.M, + >. seq F) ~~> x -> (C x. sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k)) = sum_k e. (ZZ>=` M)(C x. (F` k))))
47	46	19.23adv 1584	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ C e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> (E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x -> (C x. sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k)) = sum_k e. (ZZ>=` M)(C x. (F` k))))
48	47	3exp 1066	. 2 |- (M e. ZZ -> (C e. CC -> (A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC -> (E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x -> (C x. sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k)) = sum_k e. (ZZ>=` M)(C x. (F` k))))))
49	48	imp43 397	1 |- (((M e. ZZ /\ C e. CC) /\ (A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC /\ E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x)) -> (C x. sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k)) = sum_k e. (ZZ>=` M)(C x. (F` k)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  A.wral 2105  _Vcvv 2292  <.cop 3046   class class class wbr 3338  {copab 3395  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384   + caddc 6389   x. cmul 6391  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637   seq cseqz 7774   ~~> cli 8234  sum_csu 8239

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240

Copyright terms: Public domain