Theorem isummulc1ai 8475

Description: Distribute a constant multiplier into an infinite sum of a class term A(k). See isummulc1 8473 for function value version.

Hypotheses

Ref	Expression
isummulc1a.1	|- A e. _V
isummulc1a.2	|- F e. _V
isummulc1a.3	|- (y e. F -> A.k y e. F)
isummulc1a.4	|- (k e. (ZZ>=` M) -> (F` k) = A)

Assertion

Ref	Expression
isummulc1ai	|- (((M e. ZZ /\ C e. CC) /\ (A.k e. (ZZ>=` M)A e. CC /\ E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x)) -> (C x. sum_k e. (ZZ>=` M)A) = sum_k e. (ZZ>=` M)(C x. A))

Distinct variable groups:   x,k,y,C   x,F,y   k,M,x,y

Proof of Theorem isummulc1ai

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isummulc1a.2	. . . 4 |- F e. _V
2	1	isummulc1 8473	. . 3 |- (((M e. ZZ /\ C e. CC) /\ (A.j e. (ZZ>=` M)(F` j) e. CC /\ E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x)) -> (C x. sum_j e. (ZZ>=` M)(F` j)) = sum_j e. (ZZ>=` M)(C x. (F` j)))
3		isummulc1a.4	. . . . . 6 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (F` k) = A)
4	3	sumeq2i 8248	. . . . 5 |- sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) = sum_k e. (ZZ>=` M)A
5		ax-17 1317	. . . . . 6 |- (y e. (F` k) -> A.j y e. (F` k))
6		isummulc1a.3	. . . . . . 7 |- (y e. F -> A.k y e. F)
7		ax-17 1317	. . . . . . 7 |- (y e. j -> A.k y e. j)
8	6, 7	hbfv 4686	. . . . . 6 |- (y e. (F` j) -> A.k y e. (F` j))
9		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (k = j -> (F` k) = (F` j))
10	5, 8, 9	cbvsumi 8246	. . . . 5 |- sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) = sum_j e. (ZZ>=` M)(F` j)
11	4, 10	eqtr3i 1910	. . . 4 |- sum_k e. (ZZ>=` M)A = sum_j e. (ZZ>=` M)(F` j)
12	11	opreq2i 4893	. . 3 |- (C x. sum_k e. (ZZ>=` M)A) = (C x. sum_j e. (ZZ>=` M)(F` j))
13	3	opreq2d 4898	. . . . 5 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (C x. (F` k)) = (C x. A))
14	13	sumeq2i 8248	. . . 4 |- sum_k e. (ZZ>=` M)(C x. (F` k)) = sum_k e. (ZZ>=` M)(C x. A)
15		ax-17 1317	. . . . 5 |- (y e. (C x. (F` k)) -> A.j y e. (C x. (F` k)))
16		ax-17 1317	. . . . . 6 |- (y e. C -> A.k y e. C)
17		ax-17 1317	. . . . . 6 |- (y e. x. -> A.k y e. x. )
18	16, 17, 8	hbopr 4904	. . . . 5 |- (y e. (C x. (F` j)) -> A.k y e. (C x. (F` j)))
19	9	opreq2d 4898	. . . . 5 |- (k = j -> (C x. (F` k)) = (C x. (F` j)))
20	15, 18, 19	cbvsumi 8246	. . . 4 |- sum_k e. (ZZ>=` M)(C x. (F` k)) = sum_j e. (ZZ>=` M)(C x. (F` j))
21	14, 20	eqtr3i 1910	. . 3 |- sum_k e. (ZZ>=` M)(C x. A) = sum_j e. (ZZ>=` M)(C x. (F` j))
22	2, 12, 21	3eqtr4g 1953	. 2 |- (((M e. ZZ /\ C e. CC) /\ (A.j e. (ZZ>=` M)(F` j) e. CC /\ E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x)) -> (C x. sum_k e. (ZZ>=` M)A) = sum_k e. (ZZ>=` M)(C x. A))
23	3	eleq1d 1963	. . . . 5 |- (k e. (ZZ>=` M) -> ((F` k) e. CC <-> A e. CC))
24	23	ralbiia 2133	. . . 4 |- (A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC <-> A.k e. (ZZ>=` M)A e. CC)
25		ax-17 1317	. . . . 5 |- ((F` k) e. CC -> A.j(F` k) e. CC)
26		ax-17 1317	. . . . . 6 |- (y e. CC -> A.k y e. CC)
27	8, 26	hbel 1996	. . . . 5 |- ((F` j) e. CC -> A.k(F` j) e. CC)
28	9	eleq1d 1963	. . . . 5 |- (k = j -> ((F` k) e. CC <-> (F` j) e. CC))
29	25, 27, 28	cbvral 2278	. . . 4 |- (A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC <-> A.j e. (ZZ>=` M)(F` j) e. CC)
30	24, 29	bitr3i 192	. . 3 |- (A.k e. (ZZ>=` M)A e. CC <-> A.j e. (ZZ>=` M)(F` j) e. CC)
31	30	anbi1i 539	. 2 |- ((A.k e. (ZZ>=` M)A e. CC /\ E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x) <-> (A.j e. (ZZ>=` M)(F` j) e. CC /\ E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x))
32	22, 31	sylan2b 501	1 |- (((M e. ZZ /\ C e. CC) /\ (A.k e. (ZZ>=` M)A e. CC /\ E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x)) -> (C x. sum_k e. (ZZ>=` M)A) = sum_k e. (ZZ>=` M)(C x. A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  A.wral 2105  _Vcvv 2292  <.cop 3046   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384   + caddc 6389   x. cmul 6391  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586   seq cseqz 7774   ~~> cli 8234  sum_csu 8239

This theorem is referenced by:  geoisum1c 8507

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240

Copyright terms: Public domain