MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumless Structured version   Unicode version

Theorem isumless 13739
Description: A finite sum of nonnegative numbers is less or equal to its limit. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumless.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isumless.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isumless.3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
isumless.4  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
isumless.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  B )
isumless.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
isumless.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  B )
isumless.8  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
isumless  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  Z  B )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, M    ph, k    k, Z
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem isumless
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumless.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
21sselda 3489 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  Z )
3 isumless.6 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
43recnd 9611 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
52, 4syldan 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
65ralrimiva 2868 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
7 isumless.1 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
87eqimssi 3543 . . . . 5  |-  Z  C_  ( ZZ>= `  M )
98orci 388 . . . 4  |-  ( Z 
C_  ( ZZ>= `  M
)  \/  Z  e. 
Fin )
109a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Z  C_  ( ZZ>=
`  M )  \/  Z  e.  Fin )
)
11 sumss2 13630 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  Z  /\  A. k  e.  A  B  e.  CC )  /\  ( Z  C_  ( ZZ>=
`  M )  \/  Z  e.  Fin )
)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
121, 6, 10, 11syl21anc 1225 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
13 isumless.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
14 eleq1 2526 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  A  <->  k  e.  A ) )
15 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( F `  j )  =  ( F `  k ) )
1614, 15ifbieq1d 3952 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  if ( j  e.  A ,  ( F `  j ) ,  0 )  =  if ( k  e.  A , 
( F `  k
) ,  0 ) )
17 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A , 
( F `  j
) ,  0 ) )  =  ( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A , 
( F `  j
) ,  0 ) )
18 fvex 5858 . . . . . . 7  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
19 c0ex 9579 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
2018, 19ifex 3997 . . . . . 6  |-  if ( k  e.  A , 
( F `  k
) ,  0 )  e.  _V
2116, 17, 20fvmpt 5931 . . . . 5  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A ,  ( F `
 j ) ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
2221adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A ,  ( F `
 j ) ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
23 isumless.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  B )
2423ifeq1d 3947 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  A ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
2522, 24eqtrd 2495 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A ,  ( F `
 j ) ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
26 0re 9585 . . . 4  |-  0  e.  RR
27 ifcl 3971 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
0 )  e.  RR )
283, 26, 27sylancl 660 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  RR )
29 isumless.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  B )
30 leid 9669 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <_  B )
31 breq1 4442 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  -> 
( B  <_  B  <->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B ) )
32 breq1 4442 . . . . . 6  |-  ( 0  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  -> 
( 0  <_  B  <->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B ) )
3331, 32ifboth 3965 . . . . 5  |-  ( ( B  <_  B  /\  0  <_  B )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B )
3430, 33sylan 469 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B )
353, 29, 34syl2anc 659 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B )
36 isumless.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
377, 13, 36, 1, 25, 5fsumcvg3 13633 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A ,  ( F `  j ) ,  0 ) ) )  e.  dom  ~~>  )
38 isumless.8 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
397, 13, 25, 28, 23, 3, 35, 37, 38isumle 13738 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  sum_ k  e.  Z  B )
4012, 39eqbrtrd 4459 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  Z  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804    C_ wss 3461   ifcif 3929   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   ` cfv 5570   Fincfn 7509   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    + caddc 9484    <_ cle 9618   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082    seqcseq 12089    ~~> cli 13389   sum_csu 13590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591
This theorem is referenced by:  isumltss  13742  climcnds  13745  harmonic  13752  mertenslem1  13775  prmreclem5  14522  ovoliunlem1  22079  ovoliun2  22083  esumpcvgval  28307  eulerpartlems  28563  geomcau  30492
  Copyright terms: Public domain W3C validator