MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumle Structured version   Unicode version

Theorem isumle 13622
Description: Comparison of two infinite sums. (Contributed by Paul Chapman, 13-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumle.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isumle.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isumle.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
isumle.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  RR )
isumle.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  B )
isumle.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
isumle.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  <_  B )
isumle.8  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
isumle.9  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
isumle  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  A  <_  sum_ k  e.  Z  B )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    k, M    ph, k    k, Z
Allowed substitution hints:    A( k)    B( k)

Proof of Theorem isumle
StepHypRef Expression
1 isumle.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 isumle.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 isumle.8 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
4 climdm 13343 . . . 4  |-  (  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
53, 4sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
6 isumle.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
7 climdm 13343 . . . 4  |-  (  seq M (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  <->  seq M (  +  ,  G )  ~~>  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  G ) ) )
86, 7sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G )  ~~>  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  G ) ) )
9 isumle.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
10 isumle.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  RR )
119, 10eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
12 isumle.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  B )
13 isumle.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
1412, 13eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
15 isumle.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  <_  B )
1615, 9, 123brtr4d 4477 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  <_  ( G `  k
) )
171, 2, 5, 8, 11, 14, 16iserle 13448 . 2  |-  ( ph  ->  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) )  <_  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  G ) ) )
1810recnd 9623 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
191, 2, 9, 18isum 13507 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  A  =  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
2013recnd 9623 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
211, 2, 12, 20isum 13507 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  B  =  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  G ) ) )
2217, 19, 213brtr4d 4477 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  A  <_  sum_ k  e.  Z  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ` cfv 5588   RRcr 9492    + caddc 9496    <_ cle 9630   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11083    seqcseq 12076    ~~> cli 13273   sum_csu 13474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-rlim 13278  df-sum 13475
This theorem is referenced by:  isumless  13623  eftlub  13708  eflegeo  13720  rpnnen2lem7  13818  aaliou3lem3  22566  abelthlem7  22659  log2tlbnd  23101
  Copyright terms: Public domain W3C validator