MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumge0 Structured version   Unicode version

Theorem isumge0 13225
Description: An infinite sum of nonnegative terms is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumrecl.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isumrecl.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isumrecl.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
isumrecl.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  RR )
isumrecl.5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
isumge0.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
isumge0  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  Z  A )
Distinct variable groups:    k, F    k, M    ph, k    k, Z
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem isumge0
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumrecl.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 isumrecl.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 isumrecl.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
4 isumrecl.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  RR )
54recnd 9404 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
6 isumrecl.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
71, 2, 3, 5, 6isumclim2 13217 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  sum_ k  e.  Z  A )
8 fveq2 5686 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  ( F `  j )  =  ( F `  k ) )
98cbvsumv 13165 . . . . 5  |-  sum_ j  e.  Z  ( F `  j )  =  sum_ k  e.  Z  ( F `  k )
103sumeq2dv 13172 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  ( F `  k )  =  sum_ k  e.  Z  A )
119, 10syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  Z  ( F `  j )  =  sum_ k  e.  Z  A )
127, 11breqtrrd 4313 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  sum_ j  e.  Z  ( F `  j ) )
133, 4eqeltrd 2512 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
14 isumge0.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  A )
1514, 3breqtrrd 4313 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( F `  k
) )
161, 2, 12, 13, 15iserge0 13130 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ j  e.  Z  ( F `  j ) )
1716, 11breqtrd 4311 1  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  Z  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4287   dom cdm 4835   ` cfv 5413   RRcr 9273   0cc0 9274    + caddc 9277    <_ cle 9411   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853    seqcseq 11798    ~~> cli 12954   sum_csu 13155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156
This theorem is referenced by:  mertenslem1  13336  mertenslem2  13337  rpnnen2  13500  log2tlbnd  22315  esumcvg  26487  stirlinglem12  29833
  Copyright terms: Public domain W3C validator