MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumdivc Structured version   Unicode version

Theorem isumdivc 13353
Description: An infinite sum divided by a constant. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumcl.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isumcl.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isumcl.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
isumcl.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
isumcl.5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
summulc.6  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
isumdivc.7  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
isumdivc  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  Z  A  /  B )  = 
sum_ k  e.  Z  ( A  /  B
) )
Distinct variable groups:    B, k    k, F    ph, k    k, Z   
k, M
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem isumdivc
StepHypRef Expression
1 isumcl.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 isumcl.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 isumcl.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
4 isumcl.4 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
5 isumcl.5 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
6 summulc.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
7 isumdivc.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
86, 7reccld 10215 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  B
)  e.  CC )
91, 2, 3, 4, 5, 8isummulc1 13352 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  Z  A  x.  ( 1  /  B ) )  =  sum_ k  e.  Z  ( A  x.  (
1  /  B ) ) )
101, 2, 3, 4, 5isumcl 13350 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  A  e.  CC )
1110, 6, 7divrecd 10225 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  Z  A  /  B )  =  ( sum_ k  e.  Z  A  x.  ( 1  /  B ) ) )
126adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
137adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  =/=  0 )
144, 12, 13divrecd 10225 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A  /  B )  =  ( A  x.  (
1  /  B ) ) )
1514sumeq2dv 13302 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  ( A  /  B
)  =  sum_ k  e.  Z  ( A  x.  ( 1  /  B
) ) )
169, 11, 153eqtr4d 2505 1  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  Z  A  /  B )  = 
sum_ k  e.  Z  ( A  /  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   dom cdm 4951   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9395   0cc0 9397   1c1 9398    + caddc 9400    x. cmul 9402    / cdiv 10108   ZZcz 10761   ZZ>=cuz 10976    seqcseq 11927    ~~> cli 13084   sum_csu 13285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7806  df-oi 7839  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-rp 11107  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-exp 11987  df-hash 12225  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712  df-sqr 12846  df-abs 12847  df-clim 13088  df-sum 13286
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator