Theorem isumclimtfi 8456

Description: Version of isumclim 8457 with a bound-variable hypothesis instead of a distinct variable condition.

Hypotheses

Ref	Expression
isumclimtf.1	|- (y e. F -> A.k y e. F)
isumclimtf.2	|- F e. _V
isumclimtf.3	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
isumclimtfi	|- ((M e. ZZ /\ (<.M, + >. seq F) ~~> A) -> sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) = A)

Distinct variable groups:   y,F   y,k

Proof of Theorem isumclimtfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumclimtf.2	. . . 4 |- F e. _V
2		isumclimtf.1	. . . 4 |- (y e. F -> A.k y e. F)
3	1, 2	isumvaltfi 8454	. . 3 |- (M e. ZZ -> sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) = U.{x | (<.M, + >. seq F) ~~> x})
4		rabab 2308	. . . 4 |- {x e. _V | (<.M, + >. seq F) ~~> x} = {x | (<.M, + >. seq F) ~~> x}
5	4	unieqi 3187	. . 3 |- U.{x e. _V | (<.M, + >. seq F) ~~> x} = U.{x | (<.M, + >. seq F) ~~> x}
6	3, 5	syl6eqr 1946	. 2 |- (M e. ZZ -> sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) = U.{x e. _V | (<.M, + >. seq F) ~~> x})
7		breq2 3342	. . . . 5 |- (x = A -> ((<.M, + >. seq F) ~~> x <-> (<.M, + >. seq F) ~~> A))
8	7	reuuni2 3811	. . . 4 |- ((A e. _V /\ E!x e. _V (<.M, + >. seq F) ~~> x) -> ((<.M, + >. seq F) ~~> A <-> U.{x e. _V | (<.M, + >. seq F) ~~> x} = A))
9		isumclimtf.3	. . . 4 |- A e. _V
10	9	climeu 8360	. . . . 5 |- ((<.M, + >. seq F) ~~> A -> E!x(<.M, + >. seq F) ~~> x)
11		df-reu 2111	. . . . . 6 |- (E!x e. _V (<.M, + >. seq F) ~~> x <-> E!x(x e. _V /\ (<.M, + >. seq F) ~~> x))
12		visset 2295	. . . . . . . 8 |- x e. _V
13	12	biantrur 794	. . . . . . 7 |- ((<.M, + >. seq F) ~~> x <-> (x e. _V /\ (<.M, + >. seq F) ~~> x))
14	13	eubii 1780	. . . . . 6 |- (E!x(<.M, + >. seq F) ~~> x <-> E!x(x e. _V /\ (<.M, + >. seq F) ~~> x))
15	11, 14	bitr4i 193	. . . . 5 |- (E!x e. _V (<.M, + >. seq F) ~~> x <-> E!x(<.M, + >. seq F) ~~> x)
16	10, 15	sylibr 217	. . . 4 |- ((<.M, + >. seq F) ~~> A -> E!x e. _V (<.M, + >. seq F) ~~> x)
17	8, 9, 16	sylancr 526	. . 3 |- ((<.M, + >. seq F) ~~> A -> ((<.M, + >. seq F) ~~> A <-> U.{x e. _V | (<.M, + >. seq F) ~~> x} = A))
18	17	ibi 652	. 2 |- ((<.M, + >. seq F) ~~> A -> U.{x e. _V | (<.M, + >. seq F) ~~> x} = A)
19	6, 18	sylan9eq 1948	1 |- ((M e. ZZ /\ (<.M, + >. seq F) ~~> A) -> sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E!weu 1771  {cab 1871  E!wreu 2107  {crab 2108  _Vcvv 2292  <.cop 3046  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884   + caddc 6389  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586   seq cseqz 7774   ~~> cli 8234  sum_csu 8239

This theorem is referenced by:  isumclim 8457  isumclim2f 8459  isumclim4 8462

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240

Copyright terms: Public domain