Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumclim3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem isumclim3 13897
 Description: The sequence of partial finite sums of a converging infinite series converge to the infinite sum of the series. Note that must not occur in . (Contributed by NM, 9-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumclim3.1
isumclim3.2
isumclim3.3
isumclim3.4
isumclim3.5
Assertion
Ref Expression
isumclim3
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem isumclim3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumclim3.3 . . 3
2 climdm 13695 . . 3
31, 2sylib 201 . 2
4 sumfc 13852 . . . 4
5 isumclim3.1 . . . . 5
6 isumclim3.2 . . . . 5
7 eqidd 2472 . . . . 5
8 isumclim3.4 . . . . . . 7
9 eqid 2471 . . . . . . 7
108, 9fmptd 6061 . . . . . 6
1110ffvelrnda 6037 . . . . 5
125, 6, 7, 11isum 13862 . . . 4
134, 12syl5eqr 2519 . . 3
14 seqex 12253 . . . . . . 7
1514a1i 11 . . . . . 6
16 isumclim3.5 . . . . . . 7
17 fzssuz 11865 . . . . . . . . . . . . . 14
1817, 5sseqtr4i 3451 . . . . . . . . . . . . 13
19 resmpt 5160 . . . . . . . . . . . . 13
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
2120fveq1i 5880 . . . . . . . . . . 11
22 fvres 5893 . . . . . . . . . . 11
2321, 22syl5reqr 2520 . . . . . . . . . 10
2423sumeq2i 13842 . . . . . . . . 9
25 sumfc 13852 . . . . . . . . 9
2624, 25eqtri 2493 . . . . . . . 8
27 eqidd 2472 . . . . . . . . 9
28 simpr 468 . . . . . . . . . 10
2928, 5syl6eleq 2559 . . . . . . . . 9
30 simpl 464 . . . . . . . . . 10
31 elfzuz 11822 . . . . . . . . . . 11
3231, 5syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . 10
3330, 32, 11syl2an 485 . . . . . . . . 9
3427, 29, 33fsumser 13873 . . . . . . . 8
3526, 34syl5eqr 2519 . . . . . . 7
3616, 35eqtr2d 2506 . . . . . 6
375, 15, 1, 6, 36climeq 13708 . . . . 5
3837iotabidv 5574 . . . 4
39 df-fv 5597 . . . 4
40 df-fv 5597 . . . 4
4138, 39, 403eqtr4g 2530 . . 3
4213, 41eqtrd 2505 . 2
433, 42breqtrrd 4422 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  cvv 3031   wss 3390   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   cres 4841  cio 5551  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555   caddc 9560  cz 10961  cuz 11182  cfz 11810   cseq 12251   cli 13625  csu 13829 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830 This theorem is referenced by:  esumcvg  28981
 Copyright terms: Public domain W3C validator