Theorem isumcl 8470

Description: The sum of a converging infinite series is a complex number.

Hypothesis

Ref	Expression
isumclt.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
isumcl	|- ((M e. ZZ /\ E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC)

Distinct variable groups:   x,k,F   x,M

Proof of Theorem isumcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumclt.1	. . . . 5 |- F e. _V
2	1	isumval 8453	. . . 4 |- (M e. ZZ -> sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) = U.{x | (<.M, + >. seq F) ~~> x})
3	2	eleq1d 1963	. . 3 |- (M e. ZZ -> (sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC <-> U.{x | (<.M, + >. seq F) ~~> x} e. CC))
4		hbreu1 2252	. . . . . 6 |- (E!x e. CC (<.M, + >. seq F) ~~> x -> A.xE!x e. CC (<.M, + >. seq F) ~~> x)
5		visset 2295	. . . . . . 7 |- x e. _V
6	5	climreu 8361	. . . . . 6 |- ((<.M, + >. seq F) ~~> x -> E!x e. CC (<.M, + >. seq F) ~~> x)
7	4, 6	19.23ai 1412	. . . . 5 |- (E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x -> E!x e. CC (<.M, + >. seq F) ~~> x)
8		reucl 3213	. . . . 5 |- (E!x e. CC (<.M, + >. seq F) ~~> x -> U.{x e. CC | (<.M, + >. seq F) ~~> x} e. CC)
9	7, 8	syl 12	. . . 4 |- (E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x -> U.{x e. CC | (<.M, + >. seq F) ~~> x} e. CC)
10		climcl 8238	. . . . . . . . 9 |- ((x e. _V /\ (<.M, + >. seq F) ~~> x) -> x e. CC)
11	5, 10	mpan 759	. . . . . . . 8 |- ((<.M, + >. seq F) ~~> x -> x e. CC)
12	11	pm4.71ri 700	. . . . . . 7 |- ((<.M, + >. seq F) ~~> x <-> (x e. CC /\ (<.M, + >. seq F) ~~> x))
13	12	abbii 2006	. . . . . 6 |- {x | (<.M, + >. seq F) ~~> x} = {x | (x e. CC /\ (<.M, + >. seq F) ~~> x)}
14		df-rab 2112	. . . . . 6 |- {x e. CC | (<.M, + >. seq F) ~~> x} = {x | (x e. CC /\ (<.M, + >. seq F) ~~> x)}
15	13, 14	eqtr4i 1911	. . . . 5 |- {x | (<.M, + >. seq F) ~~> x} = {x e. CC | (<.M, + >. seq F) ~~> x}
16	15	unieqi 3187	. . . 4 |- U.{x | (<.M, + >. seq F) ~~> x} = U.{x e. CC | (<.M, + >. seq F) ~~> x}
17	9, 16	syl5eqel 1975	. . 3 |- (E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x -> U.{x | (<.M, + >. seq F) ~~> x} e. CC)
18	3, 17	syl5bir 227	. 2 |- (M e. ZZ -> (E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x -> sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC))
19	18	imp 377	1 |- ((M e. ZZ /\ E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  E!wreu 2107  {crab 2108  _Vcvv 2292  <.cop 3046  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384   + caddc 6389  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586   seq cseqz 7774   ~~> cli 8234  sum_csu 8239

This theorem is referenced by:  isumspliti 8477  efcl 8574  eftlcl 8641  eirrlem5 8655  efsepi 8661  isumclf 15828

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240

Copyright terms: Public domain