Theorem isum0spliti 8478

Description: Split off the first N terms of a 0-based infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
isum0split.1	|- N e. NN0
isum0split.2	|- F:NN0-->CC
isum0split.3	|- E.x( + seq0 F) ~~> x

Assertion

Ref	Expression
isum0spliti	|- sum_k e. NN0 (F` k) = (sum_k e. (0...N)(F` k) + sum_k e. (ZZ>=` (N + 1))(F` k))

Distinct variable groups:   k,F,x   k,N,x

Proof of Theorem isum0spliti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 7607	. . 3 |- NN0 = (ZZ>=` 0)
2	1	sumeq1i 8247	. 2 |- sum_k e. NN0 (F` k) = sum_k e. (ZZ>=` 0)(F` k)
3		0z 7355	. . 3 |- 0 e. ZZ
4		isum0split.1	. . . 4 |- N e. NN0
5	4, 1	eleqtri 1969	. . 3 |- N e. (ZZ>=` 0)
6		isum0split.2	. . . 4 |- F:NN0-->CC
7	1	feq2i 4559	. . . 4 |- (F:NN0-->CC <-> F:(ZZ>=` 0)-->CC)
8	6, 7	mpbi 206	. . 3 |- F:(ZZ>=` 0)-->CC
9		isum0split.3	. . . 4 |- E.x( + seq0 F) ~~> x
10		addex 6470	. . . . . . 7 |- + e. _V
11		nn0ex 7314	. . . . . . . 8 |- NN0 e. _V
12		fex 4595	. . . . . . . 8 |- ((F:NN0-->CC /\ NN0 e. _V) -> F e. _V)
13	6, 11, 12	mp2an 761	. . . . . . 7 |- F e. _V
14	10, 13	seq0seqz 7785	. . . . . 6 |- ( + seq0 F) = (<.0, + >. seq F)
15	14	breq1i 3345	. . . . 5 |- (( + seq0 F) ~~> x <-> (<.0, + >. seq F) ~~> x)
16	15	exbii 1398	. . . 4 |- (E.x( + seq0 F) ~~> x <-> E.x(<.0, + >. seq F) ~~> x)
17	9, 16	mpbi 206	. . 3 |- E.x(<.0, + >. seq F) ~~> x
18	3, 5, 8, 17	isumspliti 8477	. 2 |- sum_k e. (ZZ>=` 0)(F` k) = (sum_k e. (0...N)(F` k) + sum_k e. (ZZ>=` (N + 1))(F` k))
19	2, 18	eqtri 1908	1 |- sum_k e. NN0 (F` k) = (sum_k e. (0...N)(F` k) + sum_k e. (ZZ>=` (N + 1))(F` k))

Syntax hints:   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292  <.cop 3046   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389  NN0cn0 6450  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637   seq cseqz 7774   seq0 cseq0 7775   ~~> cli 8234  sum_csu 8239

This theorem is referenced by:  eirrlem5 8655

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240

Copyright terms: Public domain