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Theorem isufil2 21001
Description: The maximal property of an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 30-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isufil2  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) ) )
Distinct variable groups:    f, F    f, X

Proof of Theorem isufil2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ufilfil 20997 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2 ufilmax 21000 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  f
)  ->  F  =  f )
323expia 1233 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )
43ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )
51, 4jca 541 . 2  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) ) )
6 simpl 464 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  f  ->  F  =  f ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
7 selpw 3949 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P X  <->  x  C_  X
)
8 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
9 snex 4641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x }  e.  _V
10 unexg 6611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  {
x }  e.  _V )  ->  ( F  u.  { x } )  e. 
_V )
118, 9, 10sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( F  u.  {
x } )  e. 
_V )
12 ssfii 7951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  u.  { x } )  e.  _V  ->  ( F  u.  {
x } )  C_  ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) )
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( F  u.  {
x } )  C_  ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) )
14 filsspw 20944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  C_  ~P X )
1514ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  F  C_  ~P X )
167biimpri 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x 
C_  X  ->  x  e.  ~P X )
1716ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  x  e.  ~P X
)
1817snssd 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  { x }  C_  ~P X )
1915, 18unssd 3601 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( F  u.  {
x } )  C_  ~P X )
20 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { x }  C_  ( F  u.  { x } )
21 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  x  e. 
_V
2221snnz 4081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { x }  =/=  (/)
23 ssn0 3770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( { x }  C_  ( F  u.  { x } )  /\  {
x }  =/=  (/) )  -> 
( F  u.  {
x } )  =/=  (/) )
2420, 22, 23mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  u.  { x }
)  =/=  (/)
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( F  u.  {
x } )  =/=  (/) )
26 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  A. y  e.  F  ( y  i^i  x
)  =/=  (/) )
27 ineq2 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  x  ->  (
y  i^i  f )  =  ( y  i^i  x ) )
2827neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  x  ->  (
( y  i^i  f
)  =/=  (/)  <->  ( y  i^i  x )  =/=  (/) ) )
2921, 28ralsn 4001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. f  e.  { x }  ( y  i^i  f )  =/=  (/)  <->  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )
3029ralbii 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. y  e.  F  A. f  e.  { x }  ( y  i^i  f )  =/=  (/)  <->  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )
3126, 30sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  A. y  e.  F  A. f  e.  { x }  ( y  i^i  f )  =/=  (/) )
32 filfbas 20941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
3332ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  F  e.  ( fBas `  X ) )
34 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  x  C_  X )
35 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( X  i^i  x )  C_  x
36 filtop 20948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
3736adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  X  e.  F )
38 ineq1 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  X  ->  (
y  i^i  x )  =  ( X  i^i  x ) )
3938neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  X  ->  (
( y  i^i  x
)  =/=  (/)  <->  ( X  i^i  x )  =/=  (/) ) )
4039rspcva 3134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( X  e.  F  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  ( X  i^i  x )  =/=  (/) )
4137, 40sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( X  i^i  x
)  =/=  (/) )
42 ssn0 3770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( X  i^i  x
)  C_  x  /\  ( X  i^i  x
)  =/=  (/) )  ->  x  =/=  (/) )
4335, 41, 42sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  x  =/=  (/) )
4436ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  X  e.  F )
45 snfbas 20959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  C_  X  /\  x  =/=  (/)  /\  X  e.  F )  ->  { x }  e.  ( fBas `  X ) )
4634, 43, 44, 45syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  { x }  e.  ( fBas `  X )
)
47 fbunfip 20962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  {
x }  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  ( F  u.  { x } ) )  <->  A. y  e.  F  A. f  e.  { x }  (
y  i^i  f )  =/=  (/) ) )
4833, 46, 47syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { x }
) )  <->  A. y  e.  F  A. f  e.  { x }  (
y  i^i  f )  =/=  (/) ) )
4931, 48mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  { x } ) ) )
50 fsubbas 20960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  e.  F  ->  (
( fi `  ( F  u.  { x } ) )  e.  ( fBas `  X
)  <->  ( ( F  u.  { x }
)  C_  ~P X  /\  ( F  u.  {
x } )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) ) ) )
5144, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( ( fi `  ( F  u.  { x } ) )  e.  ( fBas `  X
)  <->  ( ( F  u.  { x }
)  C_  ~P X  /\  ( F  u.  {
x } )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) ) ) )
5219, 25, 49, 51mpbir3and 1213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( fi `  ( F  u.  { x } ) )  e.  ( fBas `  X
) )
53 ssfg 20965 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( fi `  ( F  u.  { x }
) )  e.  (
fBas `  X )  ->  ( fi `  ( F  u.  { x } ) )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) )
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( fi `  ( F  u.  { x } ) )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) )
5513, 54sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( F  u.  {
x } )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) )
5655unssad 3602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  F  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) ) )
57 fgcl 20971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( fi `  ( F  u.  { x }
) )  e.  (
fBas `  X )  ->  ( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { x } ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
58 sseq2 3440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) )  -> 
( F  C_  f  <->  F 
C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) ) ) )
59 eqeq2 2482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) )  -> 
( F  =  f  <-> 
F  =  ( X
filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) ) )
6058, 59imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) )  -> 
( ( F  C_  f  ->  F  =  f )  <->  ( F  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) )  ->  F  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) ) ) )
6160rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) )  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  f  ->  F  =  f )  -> 
( F  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) )  ->  F  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) ) ) )
6252, 57, 613syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f )  ->  ( F  C_  ( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { x } ) ) )  ->  F  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) ) ) )
6356, 62mpid 41 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f )  ->  F  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) ) )
64 ssnid 3989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
{ x }
6520, 64sselii 3415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e.  ( F  u.  {
x } )
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  x  e.  ( F  u.  { x } ) )
6755, 66sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  x  e.  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) )
68 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) )  -> 
( x  e.  F  <->  x  e.  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) ) ) )
6967, 68syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( F  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) )  ->  x  e.  F
) )
7063, 69syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f )  ->  x  e.  F ) )
7170impancom 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )  ->  ( A. y  e.  F  ( y  i^i  x
)  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) )
7271an32s 821 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )  /\  x  C_  X )  ->  ( A. y  e.  F  ( y  i^i  x
)  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) )
7372con3d 140 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )  /\  x  C_  X )  ->  ( -.  x  e.  F  ->  -.  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) ) )
74 rexnal 2836 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  F  -.  ( y  i^i  x
)  =/=  (/)  <->  -.  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )
75 nne 2647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( y  i^i  x
)  =/=  (/)  <->  ( y  i^i  x )  =  (/) )
76 filelss 20945 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  X )
77 reldisj 3812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  X  ->  (
( y  i^i  x
)  =  (/)  <->  y  C_  ( X  \  x
) ) )
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F )  ->  (
( y  i^i  x
)  =  (/)  <->  y  C_  ( X  \  x
) ) )
79 difss 3549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X 
\  x )  C_  X
80 filss 20946 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
y  e.  F  /\  ( X  \  x
)  C_  X  /\  y  C_  ( X  \  x ) ) )  ->  ( X  \  x )  e.  F
)
81803exp2 1251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( y  e.  F  ->  ( ( X  \  x ) 
C_  X  ->  (
y  C_  ( X  \  x )  ->  ( X  \  x )  e.  F ) ) ) )
8279, 81mpii 43 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( y  e.  F  ->  ( y 
C_  ( X  \  x )  ->  ( X  \  x )  e.  F ) ) )
8382imp 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F )  ->  (
y  C_  ( X  \  x )  ->  ( X  \  x )  e.  F ) )
8478, 83sylbid 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F )  ->  (
( y  i^i  x
)  =  (/)  ->  ( X  \  x )  e.  F ) )
8575, 84syl5bi 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F )  ->  ( -.  ( y  i^i  x
)  =/=  (/)  ->  ( X  \  x )  e.  F ) )
8685rexlimdva 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( E. y  e.  F  -.  ( y  i^i  x
)  =/=  (/)  ->  ( X  \  x )  e.  F ) )
8774, 86syl5bir 226 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( -.  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/)  ->  ( X  \  x )  e.  F
) )
8887ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )  /\  x  C_  X )  ->  ( -.  A. y  e.  F  ( y  i^i  x
)  =/=  (/)  ->  ( X  \  x )  e.  F ) )
8973, 88syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )  /\  x  C_  X )  ->  ( -.  x  e.  F  ->  ( X  \  x
)  e.  F ) )
9089orrd 385 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )  /\  x  C_  X )  ->  (
x  e.  F  \/  ( X  \  x
)  e.  F ) )
917, 90sylan2b 483 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )  /\  x  e.  ~P X )  -> 
( x  e.  F  \/  ( X  \  x
)  e.  F ) )
9291ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  f  ->  F  =  f ) )  ->  A. x  e.  ~P  X ( x  e.  F  \/  ( X 
\  x )  e.  F ) )
93 isufil 20996 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( x  e.  F  \/  ( X  \  x )  e.  F ) ) )
946, 92, 93sylanbrc 677 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  f  ->  F  =  f ) )  ->  F  e.  (
UFil `  X )
)
955, 94impbii 192 1  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ficfi 7942   fBascfbas 19035   filGencfg 19036   Filcfil 20938   UFilcufil 20992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-fil 20939  df-ufil 20994
This theorem is referenced by:  filssufilg  21004  fmufil  21052
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