Theorem isufil2 20236

Description: The maximal property of an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 30-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isufil2	|- ( F e. ( UFil ` X ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) )

Distinct variable groups:   f, F   f, X

Proof of Theorem isufil2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ufilfil 20232	. . 3 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> F e. ( Fil ` X ) )
2		ufilmax 20235	. . . . 5 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ f e. ( Fil ` X ) /\ F C_ f ) -> F = f )
3	2	3expia 1198	. . . 4 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ f e. ( Fil ` X ) ) -> ( F C_ f -> F = f ) )
4	3	ralrimiva 2878	. . 3 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) )
5	1, 4	jca 532	. 2 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) )
6		simpl 457	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
7		elpwi 4019	. . . . 5 |- ( x e. ~P X -> x C_ X )
8		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
9		snex 4688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x } e. _V
10		unexg 6586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ { x } e. _V ) -> ( F u. { x } ) e. _V )
11	8, 9, 10	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) e. _V )
12		ssfii 7880	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F u. { x } ) e. _V -> ( F u. { x } ) C_ ( fi ` ( F u. { x } ) ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) C_ ( fi ` ( F u. { x } ) ) )
14		filsspw 20179	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F C_ ~P X )
15	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> F C_ ~P X )
16		selpw 4017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ~P X <-> x C_ X )
17	16	biimpri 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x C_ X -> x e. ~P X )
18	17	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x e. ~P X )
19	18	snssd 4172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> { x } C_ ~P X )
20	15, 19	unssd 3680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) C_ ~P X )
21		ssun2 3668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { x } C_ ( F u. { x } )
22		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- x e. _V
23	22	snnz 4145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { x } =/= (/)
24		ssn0 3818	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( { x } C_ ( F u. { x } ) /\ { x } =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) =/= (/) )
25	21, 23, 24	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F u. { x } ) =/= (/)
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) =/= (/) )
27		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) )
28		ineq2 3694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f = x -> ( y i^i f ) = ( y i^i x ) )
29	28	neeq1d 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = x -> ( ( y i^i f ) =/= (/) <-> ( y i^i x ) =/= (/) ) )
30	22, 29	ralsn 4066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) <-> ( y i^i x ) =/= (/) )
31	30	ralbii 2895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. y e. F A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) <-> A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) )
32	27, 31	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> A. y e. F A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) )
33		filfbas 20176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )
34	33	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> F e. ( fBas ` X ) )
35		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x C_ X )
36		inss2 3719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( X i^i x ) C_ x
37		filtop 20183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> X e. F )
38	37	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) -> X e. F )
39		ineq1 3693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = X -> ( y i^i x ) = ( X i^i x ) )
40	39	neeq1d 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = X -> ( ( y i^i x ) =/= (/) <-> ( X i^i x ) =/= (/) ) )
41	40	rspcva 3212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( X e. F /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( X i^i x ) =/= (/) )
42	38, 41	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( X i^i x ) =/= (/) )
43		ssn0 3818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( X i^i x ) C_ x /\ ( X i^i x ) =/= (/) ) -> x =/= (/) )
44	36, 42, 43	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x =/= (/) )
45	37	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> X e. F )
46		snfbas 20194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x C_ X /\ x =/= (/) /\ X e. F ) -> { x } e. ( fBas ` X ) )
47	35, 44, 45, 46	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> { x } e. ( fBas ` X ) )
48		fbunfip 20197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ { x } e. ( fBas ` X ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) <-> A. y e. F A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) ) )
49	34, 47, 48	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) <-> A. y e. F A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) ) )
50	32, 49	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) )
51		fsubbas 20195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X e. F -> ( ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. { x } ) C_ ~P X /\ ( F u. { x } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
52	45, 51	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. { x } ) C_ ~P X /\ ( F u. { x } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
53	20, 26, 50, 52	mpbir3and 1179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) )
54		ssfg 20200	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( fi ` ( F u. { x } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) )
55	53, 54	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( fi ` ( F u. { x } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) )
56	13, 55	sstrd 3514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) )
57	56	unssad 3681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) )
58		fgcl 20206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
59		sseq2 3526	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> ( F C_ f <-> F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
60		eqeq2 2482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> ( F = f <-> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
61	59, 60	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> ( ( F C_ f -> F = f ) <-> ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) ) )
62	61	rspcv 3210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) e. ( Fil ` X ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) -> ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) ) )
63	53, 58, 62	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) -> ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) ) )
64	57, 63	mpid 41	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) -> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
65		ssnid 4056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. { x }
66	21, 65	sselii 3501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. ( F u. { x } )
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x e. ( F u. { x } ) )
68	56, 67	sseldd 3505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x e. ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) )
69		eleq2 2540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> ( x e. F <-> x e. ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
70	68, 69	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> x e. F ) )
71	64, 70	syld 44	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) -> x e. F ) )
72	71	impancom 440	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) -> ( A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) -> x e. F ) )
73	72	an32s 802	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) -> x e. F ) )
74	73	con3d 133	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( -. x e. F -> -. A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) )
75		rexnal 2912	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. F -. ( y i^i x ) =/= (/) <-> -. A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) )
76		nne 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( y i^i x ) =/= (/) <-> ( y i^i x ) = (/) )
77		filelss 20180	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> y C_ X )
78		reldisj 3870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C_ X -> ( ( y i^i x ) = (/) <-> y C_ ( X \ x ) ) )
79	77, 78	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> ( ( y i^i x ) = (/) <-> y C_ ( X \ x ) ) )
80		difss 3631	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X \ x ) C_ X
81		filss 20181	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( y e. F /\ ( X \ x ) C_ X /\ y C_ ( X \ x ) ) ) -> ( X \ x ) e. F )
82	81	3exp2 1214	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( y e. F -> ( ( X \ x ) C_ X -> ( y C_ ( X \ x ) -> ( X \ x ) e. F ) ) ) )
83	80, 82	mpii 43	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( y e. F -> ( y C_ ( X \ x ) -> ( X \ x ) e. F ) ) )
84	83	imp 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> ( y C_ ( X \ x ) -> ( X \ x ) e. F ) )
85	79, 84	sylbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> ( ( y i^i x ) = (/) -> ( X \ x ) e. F ) )
86	76, 85	syl5bi 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> ( -. ( y i^i x ) =/= (/) -> ( X \ x ) e. F ) )
87	86	rexlimdva 2955	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( E. y e. F -. ( y i^i x ) =/= (/) -> ( X \ x ) e. F ) )
88	75, 87	syl5bir 218	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( -. A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) -> ( X \ x ) e. F ) )
89	88	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( -. A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) -> ( X \ x ) e. F ) )
90	74, 89	syld 44	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( -. x e. F -> ( X \ x ) e. F ) )
91	90	orrd 378	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) )
92	7, 91	sylan2 474	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x e. ~P X ) -> ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) )
93	92	ralrimiva 2878	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) -> A. x e. ~P X ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) )
94		isufil 20231	. . 3 |- ( F e. ( UFil ` X ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. ~P X ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) ) )
95	6, 93, 94	sylanbrc 664	. 2 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) -> F e. ( UFil ` X ) )
96	5, 95	impbii 188	1 |- ( F e. ( UFil ` X ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   u. cun 3474   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   ficfi 7871   fBascfbas 18217   filGencfg 18218   Filcfil 20173   UFilcufil 20227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-fin 7521  df-fi 7872  df-fbas 18227  df-fg 18228  df-fil 20174  df-ufil 20229

This theorem is referenced by:  filssufilg  20239  fmufil  20287