Theorem isufil2 15565

Description: The maximal property of an ultrafilter.

Hypothesis

Ref	Expression
isufil.1	|- X = U.F

Assertion

Ref	Expression
isufil2	|- (F e. UFil <-> (F e. Fil /\ A.f e. Fil ((X = U.f /\ F C_ f) -> F = f)))

Distinct variable groups:   f,F   f,X

Proof of Theorem isufil2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isufil.1	. . 3 |- X = U.F
2	1	isufil 15564	. 2 |- (F e. UFil <-> (F e. Fil /\ A.x e. ~P X(x e. F \/ (X \ x) e. F)))
3		simpr 350	. . . . . . . . . 10 |- ((X = U.f /\ F C_ f) -> F C_ f)
4	3	a1i 8	. . . . . . . . 9 |- (((F e. Fil /\ f e. Fil) /\ A.x e. ~P X(x e. F \/ (X \ x) e. F)) -> ((X = U.f /\ F C_ f) -> F C_ f))
5		elssuni 3206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (t e. f -> t C_ U.f)
6		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- t e. _V
7	6	elpw 3037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (t e. ~PU.f <-> t C_ U.f)
8	5, 7	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (t e. f -> t e. ~PU.f)
9	8	ad2antrl 442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((F e. Fil /\ f e. Fil) /\ (t e. f /\ (X = U.f /\ F C_ f))) -> t e. ~PU.f)
10		pweq 3036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (X = U.f -> ~PX = ~PU.f)
11	10	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((X = U.f /\ F C_ f) -> ~PX = ~PU.f)
12	11	ad2antll 443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((F e. Fil /\ f e. Fil) /\ (t e. f /\ (X = U.f /\ F C_ f))) -> ~PX = ~PU.f)
13	9, 12	eleqtrrd 1974	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F e. Fil /\ f e. Fil) /\ (t e. f /\ (X = U.f /\ F C_ f))) -> t e. ~PX)
14		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = t -> (x e. F <-> t e. F))
15		difeq2 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x = t -> (X \ x) = (X \ t))
16	15	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = t -> ((X \ x) e. F <-> (X \ t) e. F))
17	14, 16	orbi12d 689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = t -> ((x e. F \/ (X \ x) e. F) <-> (t e. F \/ (X \ t) e. F)))
18	17	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (t e. ~PX -> (A.x e. ~P X(x e. F \/ (X \ x) e. F) -> (t e. F \/ (X \ t) e. F)))
19	13, 18	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((F e. Fil /\ f e. Fil) /\ (t e. f /\ (X = U.f /\ F C_ f))) -> (A.x e. ~P X(x e. F \/ (X \ x) e. F) -> (t e. F \/ (X \ t) e. F)))
20		filesn 10268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (f e. Fil -> -. (/) e. f)
21	20	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((F e. Fil /\ f e. Fil) /\ (t e. f /\ (X = U.f /\ F C_ f))) -> -. (/) e. f)
22		simpllr 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((F e. Fil /\ f e. Fil) /\ (t e. f /\ (X = U.f /\ F C_ f))) /\ (X \ t) e. F) -> f e. Fil)
23		simplrl 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((F e. Fil /\ f e. Fil) /\ (t e. f /\ (X = U.f /\ F C_ f))) /\ (X \ t) e. F) -> t e. f)
24		simprr 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((t e. f /\ (X = U.f /\ F C_ f)) -> F C_ f)
25	24	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((F e. Fil /\ f e. Fil) /\ (t e. f /\ (X = U.f /\ F C_ f))) /\ (X \ t) e. F) -> F C_ f)
26		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((F e. Fil /\ f e. Fil) /\ (t e. f /\ (X = U.f /\ F C_ f))) /\ (X \ t) e. F) -> (X \ t) e. F)
27	25, 26	sseldd 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((F e. Fil /\ f e. Fil) /\ (t e. f /\ (X = U.f /\ F C_ f))) /\ (X \ t) e. F) -> (X \ t) e. f)
28		filint 10269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((f e. Fil /\ t e. f /\ (X \ t) e. f) -> (t i^i (X \ t)) e. f)
29	22, 23, 27, 28	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((F e. Fil /\ f e. Fil) /\ (t e. f /\ (X = U.f /\ F C_ f))) /\ (X \ t) e. F) -> (t i^i (X \ t)) e. f)
30		difdisj 2945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (t i^i (X \ t)) = (/)
31	29, 30	syl5eqelr 1976	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((F e. Fil /\ f e. Fil) /\ (t e. f /\ (X = U.f /\ F C_ f))) /\ (X \ t) e. F) -> (/) e. f)
32	21, 31	mtand 520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((F e. Fil /\ f e. Fil) /\ (t e. f /\ (X = U.f /\ F C_ f))) -> -. (X \ t) e. F)
33		pm2.27 76	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (-. (X \ t) e. F -> ((-. (X \ t) e. F -> t e. F) -> t e. F))
34	32, 33	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F e. Fil /\ f e. Fil) /\ (t e. f /\ (X = U.f /\ F C_ f))) -> ((-. (X \ t) e. F -> t e. F) -> t e. F))
35		orcom 266	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((t e. F \/ (X \ t) e. F) <-> ((X \ t) e. F \/ t e. F))
36		df-or 241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((X \ t) e. F \/ t e. F) <-> (-. (X \ t) e. F -> t e. F))
37	35, 36	bitri 190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((t e. F \/ (X \ t) e. F) <-> (-. (X \ t) e. F -> t e. F))
38	34, 37	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((F e. Fil /\ f e. Fil) /\ (t e. f /\ (X = U.f /\ F C_ f))) -> ((t e. F \/ (X \ t) e. F) -> t e. F))
39	19, 38	syld 30	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F e. Fil /\ f e. Fil) /\ (t e. f /\ (X = U.f /\ F C_ f))) -> (A.x e. ~P X(x e. F \/ (X \ x) e. F) -> t e. F))
40	39	exp32 408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F e. Fil /\ f e. Fil) -> (t e. f -> ((X = U.f /\ F C_ f) -> (A.x e. ~P X(x e. F \/ (X \ x) e. F) -> t e. F))))
41	40	com24 41	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F e. Fil /\ f e. Fil) -> (A.x e. ~P X(x e. F \/ (X \ x) e. F) -> ((X = U.f /\ F C_ f) -> (t e. f -> t e. F))))
42	41	imp32 390	. . . . . . . . . . 11 |- (((F e. Fil /\ f e. Fil) /\ (A.x e. ~P X(x e. F \/ (X \ x) e. F) /\ (X = U.f /\ F C_ f))) -> (t e. f -> t e. F))
43	42	ssrdv 2622	. . . . . . . . . 10 |- (((F e. Fil /\ f e. Fil) /\ (A.x e. ~P X(x e. F \/ (X \ x) e. F) /\ (X = U.f /\ F C_ f))) -> f C_ F)
44	43	expr 418	. . . . . . . . 9 |- (((F e. Fil /\ f e. Fil) /\ A.x e. ~P X(x e. F \/ (X \ x) e. F)) -> ((X = U.f /\ F C_ f) -> f C_ F))
45	4, 44	jcad 661	. . . . . . . 8 |- (((F e. Fil /\ f e. Fil) /\ A.x e. ~P X(x e. F \/ (X \ x) e. F)) -> ((X = U.f /\ F C_ f) -> (F C_ f /\ f C_ F)))
46		eqss 2631	. . . . . . . 8 |- (F = f <-> (F C_ f /\ f C_ F))
47	45, 46	syl6ibr 230	. . . . . . 7 |- (((F e. Fil /\ f e. Fil) /\ A.x e. ~P X(x e. F \/ (X \ x) e. F)) -> ((X = U.f /\ F C_ f) -> F = f))
48	47	exp31 407	. . . . . 6 |- (F e. Fil -> (f e. Fil -> (A.x e. ~P X(x e. F \/ (X \ x) e. F) -> ((X = U.f /\ F C_ f) -> F = f))))
49	48	com23 36	. . . . 5 |- (F e. Fil -> (A.x e. ~P X(x e. F \/ (X \ x) e. F) -> (f e. Fil -> ((X = U.f /\ F C_ f) -> F = f))))
50	49	r19.21adv 2181	. . . 4 |- (F e. Fil -> (A.x e. ~P X(x e. F \/ (X \ x) e. F) -> A.f e. Fil ((X = U.f /\ F C_ f) -> F = f)))
51		ssequn2 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x C_ X <-> (X u. x) = X)
52	51	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x C_ X -> (X u. x) = X)
53	52	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> (X u. x) = X)
54		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- x e. _V
55	54	unisn 3193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- U.{x} = x
56	55	eqcomi 1888	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- x = U.{x}
57	1, 56	uneq12i 2753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (X u. x) = (U.F u. U.{x})
58		uniun 3196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U.(F u. {x}) = (U.F u. U.{x})
59	57, 58	eqtr4i 1911	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (X u. x) = U.(F u. {x})
60	53, 59	syl5reqr 1943	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> X = U.(F u. {x}))
61		snex 3492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- {x} e. _V
62		unexg 3798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((F e. Fil /\ {x} e. _V) -> (F u. {x}) e. _V)
63	61, 62	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (F e. Fil -> (F u. {x}) e. _V)
64		fiuni 10219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((F u. {x}) e. _V -> U.(F u. {x}) = U.( fi ` (F u. {x})))
65	63, 64	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (F e. Fil -> U.(F u. {x}) = U.( fi ` (F u. {x})))
66	65	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> U.(F u. {x}) = U.( fi ` (F u. {x})))
67		fsubbas 10281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((F u. {x}) e. _V -> (( fi ` (F u. {x})) e. fBas <-> ((F u. {x}) =/= (/) /\ (/) e/ ( fi ` (F u. {x})))))
68	63, 67	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (F e. Fil -> (( fi ` (F u. {x})) e. fBas <-> ((F u. {x}) =/= (/) /\ (/) e/ ( fi ` (F u. {x})))))
69	68	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> (( fi ` (F u. {x})) e. fBas <-> ((F u. {x}) =/= (/) /\ (/) e/ ( fi ` (F u. {x})))))
70	1	filusb 10267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (F e. Fil -> X e. F)
71		ne0i 2881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (X e. F -> F =/= (/))
72		ssun1 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F C_ (F u. {x})
73		ssn0 2905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((F C_ (F u. {x}) /\ F =/= (/)) -> (F u. {x}) =/= (/))
74	72, 73	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (F =/= (/) -> (F u. {x}) =/= (/))
75	70, 71, 74	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (F e. Fil -> (F u. {x}) =/= (/))
76	75	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> (F u. {x}) =/= (/))
77		ineq2 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (w = x -> (z i^i w) = (z i^i x))
78	77	neeq1d 2028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (w = x -> ((z i^i w) =/= (/) <-> (z i^i x) =/= (/)))
79		ineq1 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (y = z -> (y i^i x) = (z i^i x))
80	79	neeq1d 2028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (y = z -> ((y i^i x) =/= (/) <-> (z i^i x) =/= (/)))
81	80	rcla4cv 2377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (A.y e. F (y i^i x) =/= (/) -> (z e. F -> (z i^i x) =/= (/)))
82	81	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((F e. Fil /\ x C_ X) -> (A.y e. F (y i^i x) =/= (/) -> (z e. F -> (z i^i x) =/= (/))))
83	82	imp32 390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ (A.y e. F (y i^i x) =/= (/) /\ z e. F)) -> (z i^i x) =/= (/))
84	78, 83	syl5cbir 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ (A.y e. F (y i^i x) =/= (/) /\ z e. F)) -> (w = x -> (z i^i w) =/= (/)))
85	84	expr 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> (z e. F -> (w = x -> (z i^i w) =/= (/))))
86		elsn 3058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (w e. {x} <-> w = x)
87	85, 86	syl7ib 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> (z e. F -> (w e. {x} -> (z i^i w) =/= (/))))
88	87	imp3a 388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> ((z e. F /\ w e. {x}) -> (z i^i w) =/= (/)))
89	88	r19.21aivv 2183	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> A.z e. F A.w e. {x} (z i^i w) =/= (/))
90		filfbas 10276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (F e. Fil -> F e. fBas)
91	90	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> F e. fBas)
92		ineq1 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (y = X -> (y i^i x) = (X i^i x))
93	92	neeq1d 2028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (y = X -> ((y i^i x) =/= (/) <-> (X i^i x) =/= (/)))
94	93	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (X e. F -> (A.y e. F (y i^i x) =/= (/) -> (X i^i x) =/= (/)))
95	70, 94	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (F e. Fil -> (A.y e. F (y i^i x) =/= (/) -> (X i^i x) =/= (/)))
96	95	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((F e. Fil /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> (X i^i x) =/= (/))
97		inss2 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (X i^i x) C_ x
98		ssn0 2905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((X i^i x) C_ x /\ (X i^i x) =/= (/)) -> x =/= (/))
99	97, 98	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((X i^i x) =/= (/) -> x =/= (/))
100		oefil2 10275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((x e. _V /\ x =/= (/)) -> {x} e. Fil)
101	54, 100	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (x =/= (/) -> {x} e. Fil)
102	96, 99, 101	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((F e. Fil /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> {x} e. Fil)
103	102	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> {x} e. Fil)
104		filfbas 10276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ({x} e. Fil -> {x} e. fBas)
105	103, 104	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> {x} e. fBas)
106		fbunfip 10282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((F e. fBas /\ {x} e. fBas) -> ((/) e/ ( fi ` (F u. {x})) <-> A.z e. F A.w e. {x} (z i^i w) =/= (/)))
107	91, 105, 106	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> ((/) e/ ( fi ` (F u. {x})) <-> A.z e. F A.w e. {x} (z i^i w) =/= (/)))
108	89, 107	mpbird 213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> (/) e/ ( fi ` (F u. {x})))
109	69, 76, 108	mpbir2and 802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> ( fi ` (F u. {x})) e. fBas)
110		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U.( fi ` (F u. {x})) = U.( fi ` (F u. {x}))
111	110	fgbas 10286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (( fi ` (F u. {x})) e. fBas -> U.( fi ` (F u. {x})) = U.(filGen` ( fi ` (F u. {x}))))
112	109, 111	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> U.( fi ` (F u. {x})) = U.(filGen` ( fi ` (F u. {x}))))
113	60, 66, 112	3eqtrd 1929	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {x}))))
114	72	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> F C_ (F u. {x}))
115		abfi2 10216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((F u. {x}) e. _V -> (F u. {x}) C_ ( fi ` (F u. {x})))
116	63, 115	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (F e. Fil -> (F u. {x}) C_ ( fi ` (F u. {x})))
117	116	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> (F u. {x}) C_ ( fi ` (F u. {x})))
118	114, 117	sstrd 2627	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> F C_ ( fi ` (F u. {x})))
119		fbssfg 10285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (( fi ` (F u. {x})) e. fBas -> ( fi ` (F u. {x})) C_ (filGen` ( fi ` (F u. {x}))))
120	109, 119	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> ( fi ` (F u. {x})) C_ (filGen` ( fi ` (F u. {x}))))
121	118, 120	sstrd 2627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> F C_ (filGen` ( fi ` (F u. {x}))))
122	113, 121	jca 310	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> (X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {x}))) /\ F C_ (filGen` ( fi ` (F u. {x})))))
123		fgfil 10290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (( fi ` (F u. {x})) e. fBas -> (filGen` ( fi ` (F u. {x}))) e. Fil)
124		unieq 3185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (f = (filGen` ( fi ` (F u. {x}))) -> U.f = U.(filGen` ( fi ` (F u. {x}))))
125	124	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (f = (filGen` ( fi ` (F u. {x}))) -> (X = U.f <-> X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {x})))))
126		sseq2 2639	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (f = (filGen` ( fi ` (F u. {x}))) -> (F C_ f <-> F C_ (filGen` ( fi ` (F u. {x})))))
127	125, 126	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (f = (filGen` ( fi ` (F u. {x}))) -> ((X = U.f /\ F C_ f) <-> (X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {x}))) /\ F C_ (filGen` ( fi ` (F u. {x}))))))
128		eqeq2 1893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (f = (filGen` ( fi ` (F u. {x}))) -> (F = f <-> F = (filGen` ( fi ` (F u. {x})))))
129	127, 128	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (f = (filGen` ( fi ` (F u. {x}))) -> (((X = U.f /\ F C_ f) -> F = f) <-> ((X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {x}))) /\ F C_ (filGen` ( fi ` (F u. {x})))) -> F = (filGen` ( fi ` (F u. {x}))))))
130	129	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((filGen` ( fi ` (F u. {x}))) e. Fil -> (A.f e. Fil ((X = U.f /\ F C_ f) -> F = f) -> ((X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {x}))) /\ F C_ (filGen` ( fi ` (F u. {x})))) -> F = (filGen` ( fi ` (F u. {x}))))))
131	109, 123, 130	3syl 24	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> (A.f e. Fil ((X = U.f /\ F C_ f) -> F = f) -> ((X = U.(filGen` ( fi ` (F u. {x}))) /\ F C_ (filGen` ( fi ` (F u. {x})))) -> F = (filGen` ( fi ` (F u. {x}))))))
132	122, 131	mpid 58	. . . . . . . . . . . 12 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> (A.f e. Fil ((X = U.f /\ F C_ f) -> F = f) -> F = (filGen` ( fi ` (F u. {x})))))
133		eleq2 1958	. . . . . . . . . . . . 13 |- (F = (filGen` ( fi ` (F u. {x}))) -> (x e. F <-> x e. (filGen` ( fi ` (F u. {x})))))
134		ssun2 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- {x} C_ (F u. {x})
135	134	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> {x} C_ (F u. {x}))
136	135, 117	sstrd 2627	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> {x} C_ ( fi ` (F u. {x})))
137	136, 120	sstrd 2627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> {x} C_ (filGen` ( fi ` (F u. {x}))))
138	54	snid 3069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. {x}
139	138	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> x e. {x})
140	137, 139	sseldd 2620	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> x e. (filGen` ( fi ` (F u. {x}))))
141	133, 140	syl5cbir 228	. . . . . . . . . . . 12 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> (F = (filGen` ( fi ` (F u. {x}))) -> x e. F))
142	132, 141	syld 30	. . . . . . . . . . 11 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ A.y e. F (y i^i x) =/= (/)) -> (A.f e. Fil ((X = U.f /\ F C_ f) -> F = f) -> x e. F))
143	142	ex 402	. . . . . . . . . 10 |- ((F e. Fil /\ x C_ X) -> (A.y e. F (y i^i x) =/= (/) -> (A.f e. Fil ((X = U.f /\ F C_ f) -> F = f) -> x e. F)))
144		orc 291	. . . . . . . . . 10 |- (x e. F -> (x e. F \/ (X \ x) e. F))
145	143, 144	syl8 27	. . . . . . . . 9 |- ((F e. Fil /\ x C_ X) -> (A.y e. F (y i^i x) =/= (/) -> (A.f e. Fil ((X = U.f /\ F C_ f) -> F = f) -> (x e. F \/ (X \ x) e. F))))
146		simpll 448	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ (y e. F /\ (y i^i x) = (/))) -> F e. Fil)
147		simprl 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ (y e. F /\ (y i^i x) = (/))) -> y e. F)
148		difss 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (X \ x) C_ X
149	148	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ (y e. F /\ (y i^i x) = (/))) -> (X \ x) C_ X)
150		elssuni 3206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (y e. F -> y C_ U.F)
151	150, 1	syl6ssr 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y e. F -> y C_ X)
152		reldisj 2916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y C_ X -> ((y i^i x) = (/) <-> y C_ (X \ x)))
153	151, 152	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y e. F -> ((y i^i x) = (/) <-> y C_ (X \ x)))
154	153	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ y e. F) -> ((y i^i x) = (/) <-> y C_ (X \ x)))
155	154	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ y e. F) -> ((y i^i x) = (/) -> y C_ (X \ x)))
156	155	impr 422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ (y e. F /\ (y i^i x) = (/))) -> y C_ (X \ x))
157	147, 149, 156	3jca 1050	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ (y e. F /\ (y i^i x) = (/))) -> (y e. F /\ (X \ x) C_ X /\ y C_ (X \ x)))
158	1	fillsb 10270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (F e. Fil -> ((y e. F /\ (X \ x) C_ X /\ y C_ (X \ x)) -> (X \ x) e. F))
159	146, 157, 158	sylc 83	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F e. Fil /\ x C_ X) /\ (y e. F /\ (y i^i x) = (/))) -> (X \ x) e. F)
160	159	exp32 408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F e. Fil /\ x C_ X) -> (y e. F -> ((y i^i x) = (/) -> (X \ x) e. F)))
161	160	a1i4 15327	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F e. Fil /\ x C_ X) -> (y e. F -> ((y i^i x) = (/) -> (A.f e. Fil ((X = U.f /\ F C_ f) -> F = f) -> (X \ x) e. F))))
162	161	r19.23adv 2215	. . . . . . . . . . 11 |- ((F e. Fil /\ x C_ X) -> (E.y e. F (y i^i x) = (/) -> (A.f e. Fil ((X = U.f /\ F C_ f) -> F = f) -> (X \ x) e. F)))
163		rexnal 2114	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.y e. F -. (y i^i x) =/= (/) <-> -. A.y e. F (y i^i x) =/= (/))
164		nne 2021	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. (y i^i x) =/= (/) <-> (y i^i x) = (/))
165	164	rexbii 2128	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.y e. F -. (y i^i x) =/= (/) <-> E.y e. F (y i^i x) = (/))
166	163, 165	bitr3i 192	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.y e. F (y i^i x) =/= (/) <-> E.y e. F (y i^i x) = (/))
167	162, 166	syl5ib 223	. . . . . . . . . 10 |- ((F e. Fil /\ x C_ X) -> (-. A.y e. F (y i^i x) =/= (/) -> (A.f e. Fil ((X = U.f /\ F C_ f) -> F = f) -> (X \ x) e. F)))
168		olc 290	. . . . . . . . . 10 |- ((X \ x) e. F -> (x e. F \/ (X \ x) e. F))
169	167, 168	syl8 27	. . . . . . . . 9 |- ((F e. Fil /\ x C_ X) -> (-. A.y e. F (y i^i x) =/= (/) -> (A.f e. Fil ((X = U.f /\ F C_ f) -> F = f) -> (x e. F \/ (X \ x) e. F))))
170	145, 169	pm2.61d 141	. . . . . . . 8 |- ((F e. Fil /\ x C_ X) -> (A.f e. Fil ((X = U.f /\ F C_ f) -> F = f) -> (x e. F \/ (X \ x) e. F)))
171	170	ex 402	. . . . . . 7 |- (F e. Fil -> (x C_ X -> (A.f e. Fil ((X = U.f /\ F C_ f) -> F = f) -> (x e. F \/ (X \ x) e. F))))
172	171	com23 36	. . . . . 6 |- (F e. Fil -> (A.f e. Fil ((X = U.f /\ F C_ f) -> F = f) -> (x C_ X -> (x e. F \/ (X \ x) e. F))))
173	54	elpw 3037	. . . . . 6 |- (x e. ~PX <-> x C_ X)
174	172, 173	syl7ib 233	. . . . 5 |- (F e. Fil -> (A.f e. Fil ((X = U.f /\ F C_ f) -> F = f) -> (x e. ~PX -> (x e. F \/ (X \ x) e. F))))
175	174	r19.21adv 2181	. . . 4 |- (F e. Fil -> (A.f e. Fil ((X = U.f /\ F C_ f) -> F = f) -> A.x e. ~P X(x e. F \/ (X \ x) e. F)))
176	50, 175	impbid 574	. . 3 |- (F e. Fil -> (A.x e. ~P X(x e. F \/ (X \ x) e. F) <-> A.f e. Fil ((X = U.f /\ F C_ f) -> F = f)))
177	176	pm5.32i 707	. 2 |- ((F e. Fil /\ A.x e. ~P X(x e. F \/ (X \ x) e. F)) <-> (F e. Fil /\ A.f e. Fil ((X = U.f /\ F C_ f) -> F = f)))
178	2, 177	bitri 190	1 |- (F e. UFil <-> (F e. Fil /\ A.f e. Fil ((X = U.f /\ F C_ f) -> F = f)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   e/ wnel 2018  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   \ cdif 2590   u. cun 2591   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  ~Pcpw 3032  {csn 3044  U.cuni 3177  ` cfv 3998   fi cfi 10210  fBascfbas 10257  filGencfg 10258  Filcfil 10264  UFilcufil 15562

This theorem is referenced by:  ufilmax 15568  filssufil 15571  fmufil 15599

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-er 5318  df-en 5427  df-fin 5430  df-fi 10211  df-fbas 10259  df-fg 10260  df-fil 10265  df-ufil 15563

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