Theorem isufil2 20923

Description: The maximal property of an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 30-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isufil2	|- ( F e. ( UFil ` X ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) )

Distinct variable groups:   f, F   f, X

Proof of Theorem isufil2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ufilfil 20919	. . 3 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> F e. ( Fil ` X ) )
2		ufilmax 20922	. . . . 5 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ f e. ( Fil ` X ) /\ F C_ f ) -> F = f )
3	2	3expia 1210	. . . 4 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ f e. ( Fil ` X ) ) -> ( F C_ f -> F = f ) )
4	3	ralrimiva 2802	. . 3 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) )
5	1, 4	jca 535	. 2 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) )
6		simpl 459	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
7		selpw 3958	. . . . 5 |- ( x e. ~P X <-> x C_ X )
8		simpll 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
9		snex 4641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x } e. _V
10		unexg 6592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ { x } e. _V ) -> ( F u. { x } ) e. _V )
11	8, 9, 10	sylancl 668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) e. _V )
12		ssfii 7933	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F u. { x } ) e. _V -> ( F u. { x } ) C_ ( fi ` ( F u. { x } ) ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) C_ ( fi ` ( F u. { x } ) ) )
14		filsspw 20866	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F C_ ~P X )
15	14	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> F C_ ~P X )
16	7	biimpri 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x C_ X -> x e. ~P X )
17	16	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x e. ~P X )
18	17	snssd 4117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> { x } C_ ~P X )
19	15, 18	unssd 3610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) C_ ~P X )
20		ssun2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { x } C_ ( F u. { x } )
21		vex 3048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- x e. _V
22	21	snnz 4090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { x } =/= (/)
23		ssn0 3767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( { x } C_ ( F u. { x } ) /\ { x } =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) =/= (/) )
24	20, 22, 23	mp2an 678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F u. { x } ) =/= (/)
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) =/= (/) )
26		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) )
27		ineq2 3628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f = x -> ( y i^i f ) = ( y i^i x ) )
28	27	neeq1d 2683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = x -> ( ( y i^i f ) =/= (/) <-> ( y i^i x ) =/= (/) ) )
29	21, 28	ralsn 4010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) <-> ( y i^i x ) =/= (/) )
30	29	ralbii 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. y e. F A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) <-> A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) )
31	26, 30	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> A. y e. F A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) )
32		filfbas 20863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )
33	32	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> F e. ( fBas ` X ) )
34		simplr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x C_ X )
35		inss2 3653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( X i^i x ) C_ x
36		filtop 20870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> X e. F )
37	36	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) -> X e. F )
38		ineq1 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = X -> ( y i^i x ) = ( X i^i x ) )
39	38	neeq1d 2683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = X -> ( ( y i^i x ) =/= (/) <-> ( X i^i x ) =/= (/) ) )
40	39	rspcva 3148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( X e. F /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( X i^i x ) =/= (/) )
41	37, 40	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( X i^i x ) =/= (/) )
42		ssn0 3767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( X i^i x ) C_ x /\ ( X i^i x ) =/= (/) ) -> x =/= (/) )
43	35, 41, 42	sylancr 669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x =/= (/) )
44	36	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> X e. F )
45		snfbas 20881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x C_ X /\ x =/= (/) /\ X e. F ) -> { x } e. ( fBas ` X ) )
46	34, 43, 44, 45	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> { x } e. ( fBas ` X ) )
47		fbunfip 20884	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ { x } e. ( fBas ` X ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) <-> A. y e. F A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) ) )
48	33, 46, 47	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) <-> A. y e. F A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) ) )
49	31, 48	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) )
50		fsubbas 20882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X e. F -> ( ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. { x } ) C_ ~P X /\ ( F u. { x } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
51	44, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. { x } ) C_ ~P X /\ ( F u. { x } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
52	19, 25, 49, 51	mpbir3and 1191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) )
53		ssfg 20887	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( fi ` ( F u. { x } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) )
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( fi ` ( F u. { x } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) )
55	13, 54	sstrd 3442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) )
56	55	unssad 3611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) )
57		fgcl 20893	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
58		sseq2 3454	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> ( F C_ f <-> F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
59		eqeq2 2462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> ( F = f <-> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
60	58, 59	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> ( ( F C_ f -> F = f ) <-> ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) ) )
61	60	rspcv 3146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) e. ( Fil ` X ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) -> ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) ) )
62	52, 57, 61	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) -> ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) ) )
63	56, 62	mpid 42	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) -> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
64		ssnid 3997	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. { x }
65	20, 64	sselii 3429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. ( F u. { x } )
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x e. ( F u. { x } ) )
67	55, 66	sseldd 3433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x e. ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) )
68		eleq2 2518	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> ( x e. F <-> x e. ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
69	67, 68	syl5ibrcom 226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> x e. F ) )
70	63, 69	syld 45	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) -> x e. F ) )
71	70	impancom 442	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) -> ( A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) -> x e. F ) )
72	71	an32s 813	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) -> x e. F ) )
73	72	con3d 139	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( -. x e. F -> -. A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) )
74		rexnal 2836	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. F -. ( y i^i x ) =/= (/) <-> -. A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) )
75		nne 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( y i^i x ) =/= (/) <-> ( y i^i x ) = (/) )
76		filelss 20867	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> y C_ X )
77		reldisj 3808	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C_ X -> ( ( y i^i x ) = (/) <-> y C_ ( X \ x ) ) )
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> ( ( y i^i x ) = (/) <-> y C_ ( X \ x ) ) )
79		difss 3560	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X \ x ) C_ X
80		filss 20868	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( y e. F /\ ( X \ x ) C_ X /\ y C_ ( X \ x ) ) ) -> ( X \ x ) e. F )
81	80	3exp2 1227	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( y e. F -> ( ( X \ x ) C_ X -> ( y C_ ( X \ x ) -> ( X \ x ) e. F ) ) ) )
82	79, 81	mpii 44	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( y e. F -> ( y C_ ( X \ x ) -> ( X \ x ) e. F ) ) )
83	82	imp 431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> ( y C_ ( X \ x ) -> ( X \ x ) e. F ) )
84	78, 83	sylbid 219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> ( ( y i^i x ) = (/) -> ( X \ x ) e. F ) )
85	75, 84	syl5bi 221	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> ( -. ( y i^i x ) =/= (/) -> ( X \ x ) e. F ) )
86	85	rexlimdva 2879	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( E. y e. F -. ( y i^i x ) =/= (/) -> ( X \ x ) e. F ) )
87	74, 86	syl5bir 222	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( -. A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) -> ( X \ x ) e. F ) )
88	87	ad2antrr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( -. A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) -> ( X \ x ) e. F ) )
89	73, 88	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( -. x e. F -> ( X \ x ) e. F ) )
90	89	orrd 380	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) )
91	7, 90	sylan2b 478	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x e. ~P X ) -> ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) )
92	91	ralrimiva 2802	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) -> A. x e. ~P X ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) )
93		isufil 20918	. . 3 |- ( F e. ( UFil ` X ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. ~P X ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) ) )
94	6, 92, 93	sylanbrc 670	. 2 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) -> F e. ( UFil ` X ) )
95	5, 94	impbii 191	1 |- ( F e. ( UFil ` X ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {csn 3968   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ficfi 7924   fBascfbas 18958   filGencfg 18959   Filcfil 20860   UFilcufil 20914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-fin 7573  df-fi 7925  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-fil 20861  df-ufil 20916

This theorem is referenced by:  filssufilg  20926  fmufil  20974