Theorem isufil2 20575

Description: The maximal property of an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 30-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isufil2	|- ( F e. ( UFil ` X ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) )

Distinct variable groups:   f, F   f, X

Proof of Theorem isufil2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ufilfil 20571	. . 3 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> F e. ( Fil ` X ) )
2		ufilmax 20574	. . . . 5 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ f e. ( Fil ` X ) /\ F C_ f ) -> F = f )
3	2	3expia 1196	. . . 4 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ f e. ( Fil ` X ) ) -> ( F C_ f -> F = f ) )
4	3	ralrimiva 2868	. . 3 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) )
5	1, 4	jca 530	. 2 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) )
6		simpl 455	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
7		selpw 4006	. . . . 5 |- ( x e. ~P X <-> x C_ X )
8		simpll 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
9		snex 4678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x } e. _V
10		unexg 6574	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ { x } e. _V ) -> ( F u. { x } ) e. _V )
11	8, 9, 10	sylancl 660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) e. _V )
12		ssfii 7871	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F u. { x } ) e. _V -> ( F u. { x } ) C_ ( fi ` ( F u. { x } ) ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) C_ ( fi ` ( F u. { x } ) ) )
14		filsspw 20518	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F C_ ~P X )
15	14	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> F C_ ~P X )
16	7	biimpri 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x C_ X -> x e. ~P X )
17	16	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x e. ~P X )
18	17	snssd 4161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> { x } C_ ~P X )
19	15, 18	unssd 3666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) C_ ~P X )
20		ssun2 3654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { x } C_ ( F u. { x } )
21		vex 3109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- x e. _V
22	21	snnz 4134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { x } =/= (/)
23		ssn0 3817	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( { x } C_ ( F u. { x } ) /\ { x } =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) =/= (/) )
24	20, 22, 23	mp2an 670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F u. { x } ) =/= (/)
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) =/= (/) )
26		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) )
27		ineq2 3680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f = x -> ( y i^i f ) = ( y i^i x ) )
28	27	neeq1d 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = x -> ( ( y i^i f ) =/= (/) <-> ( y i^i x ) =/= (/) ) )
29	21, 28	ralsn 4055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) <-> ( y i^i x ) =/= (/) )
30	29	ralbii 2885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. y e. F A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) <-> A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) )
31	26, 30	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> A. y e. F A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) )
32		filfbas 20515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )
33	32	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> F e. ( fBas ` X ) )
34		simplr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x C_ X )
35		inss2 3705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( X i^i x ) C_ x
36		filtop 20522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> X e. F )
37	36	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) -> X e. F )
38		ineq1 3679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = X -> ( y i^i x ) = ( X i^i x ) )
39	38	neeq1d 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = X -> ( ( y i^i x ) =/= (/) <-> ( X i^i x ) =/= (/) ) )
40	39	rspcva 3205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( X e. F /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( X i^i x ) =/= (/) )
41	37, 40	sylan 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( X i^i x ) =/= (/) )
42		ssn0 3817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( X i^i x ) C_ x /\ ( X i^i x ) =/= (/) ) -> x =/= (/) )
43	35, 41, 42	sylancr 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x =/= (/) )
44	36	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> X e. F )
45		snfbas 20533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x C_ X /\ x =/= (/) /\ X e. F ) -> { x } e. ( fBas ` X ) )
46	34, 43, 44, 45	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> { x } e. ( fBas ` X ) )
47		fbunfip 20536	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ { x } e. ( fBas ` X ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) <-> A. y e. F A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) ) )
48	33, 46, 47	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) <-> A. y e. F A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) ) )
49	31, 48	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) )
50		fsubbas 20534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X e. F -> ( ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. { x } ) C_ ~P X /\ ( F u. { x } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
51	44, 50	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. { x } ) C_ ~P X /\ ( F u. { x } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
52	19, 25, 49, 51	mpbir3and 1177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) )
53		ssfg 20539	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( fi ` ( F u. { x } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) )
54	52, 53	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( fi ` ( F u. { x } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) )
55	13, 54	sstrd 3499	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) )
56	55	unssad 3667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) )
57		fgcl 20545	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
58		sseq2 3511	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> ( F C_ f <-> F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
59		eqeq2 2469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> ( F = f <-> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
60	58, 59	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> ( ( F C_ f -> F = f ) <-> ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) ) )
61	60	rspcv 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) e. ( Fil ` X ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) -> ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) ) )
62	52, 57, 61	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) -> ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) ) )
63	56, 62	mpid 41	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) -> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
64		ssnid 4045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. { x }
65	20, 64	sselii 3486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. ( F u. { x } )
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x e. ( F u. { x } ) )
67	55, 66	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x e. ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) )
68		eleq2 2527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> ( x e. F <-> x e. ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
69	67, 68	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> x e. F ) )
70	63, 69	syld 44	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) -> x e. F ) )
71	70	impancom 438	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) -> ( A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) -> x e. F ) )
72	71	an32s 802	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) -> x e. F ) )
73	72	con3d 133	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( -. x e. F -> -. A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) )
74		rexnal 2902	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. F -. ( y i^i x ) =/= (/) <-> -. A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) )
75		nne 2655	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( y i^i x ) =/= (/) <-> ( y i^i x ) = (/) )
76		filelss 20519	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> y C_ X )
77		reldisj 3858	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C_ X -> ( ( y i^i x ) = (/) <-> y C_ ( X \ x ) ) )
78	76, 77	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> ( ( y i^i x ) = (/) <-> y C_ ( X \ x ) ) )
79		difss 3617	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X \ x ) C_ X
80		filss 20520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( y e. F /\ ( X \ x ) C_ X /\ y C_ ( X \ x ) ) ) -> ( X \ x ) e. F )
81	80	3exp2 1212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( y e. F -> ( ( X \ x ) C_ X -> ( y C_ ( X \ x ) -> ( X \ x ) e. F ) ) ) )
82	79, 81	mpii 43	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( y e. F -> ( y C_ ( X \ x ) -> ( X \ x ) e. F ) ) )
83	82	imp 427	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> ( y C_ ( X \ x ) -> ( X \ x ) e. F ) )
84	78, 83	sylbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> ( ( y i^i x ) = (/) -> ( X \ x ) e. F ) )
85	75, 84	syl5bi 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> ( -. ( y i^i x ) =/= (/) -> ( X \ x ) e. F ) )
86	85	rexlimdva 2946	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( E. y e. F -. ( y i^i x ) =/= (/) -> ( X \ x ) e. F ) )
87	74, 86	syl5bir 218	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( -. A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) -> ( X \ x ) e. F ) )
88	87	ad2antrr 723	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( -. A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) -> ( X \ x ) e. F ) )
89	73, 88	syld 44	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( -. x e. F -> ( X \ x ) e. F ) )
90	89	orrd 376	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) )
91	7, 90	sylan2b 473	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x e. ~P X ) -> ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) )
92	91	ralrimiva 2868	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) -> A. x e. ~P X ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) )
93		isufil 20570	. . 3 |- ( F e. ( UFil ` X ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. ~P X ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) ) )
94	6, 92, 93	sylanbrc 662	. 2 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) -> F e. ( UFil ` X ) )
95	5, 94	impbii 188	1 |- ( F e. ( UFil ` X ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   \ cdif 3458   u. cun 3459   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   {csn 4016   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ficfi 7862   fBascfbas 18601   filGencfg 18602   Filcfil 20512   UFilcufil 20566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-fin 7513  df-fi 7863  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-fil 20513  df-ufil 20568

This theorem is referenced by:  filssufilg  20578  fmufil  20626