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Theorem isufil2 21001
Description: The maximal property of an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 30-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isufil2 |- ( F e. ( UFil ` X ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) )
Distinct variable groups:   f, F   f, X
Proof of Theorem isufil2
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ufilfil 20997 . . 3 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> F e. ( Fil ` X ) )
2 ufilmax 21000 . . . . 5 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ f e. ( Fil ` X ) /\ F C_ f ) -> F = f )
323expia 1233 . . . 4 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ f e. ( Fil ` X ) ) -> ( F C_ f -> F = f ) )
43ralrimiva 2809 . . 3 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) )
51, 4jca 541 . 2 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) )
6 simpl 464 . . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
7 selpw 3949 . . . . 5 |- ( x e. ~P X <-> x C_ X )
8 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
9 snex 4641 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x } e. _V
10 unexg 6611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ { x } e. _V ) -> ( F u. { x } ) e. _V )
118, 9, 10sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) e. _V )
12 ssfii 7951 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F u. { x } ) e. _V -> ( F u. { x } ) C_ ( fi ` ( F u. { x } ) ) )
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) C_ ( fi ` ( F u. { x } ) ) )
14 filsspw 20944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F C_ ~P X )
1514ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> F C_ ~P X )
167biimpri 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x C_ X -> x e. ~P X )
1716ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x e. ~P X )
1817snssd 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> { x } C_ ~P X )
1915, 18unssd 3601 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) C_ ~P X )
20 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { x } C_ ( F u. { x } )
21 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- x e. _V
2221snnz 4081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { x } =/= (/)
23 ssn0 3770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( { x } C_ ( F u. { x } ) /\ { x } =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) =/= (/) )
2420, 22, 23mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F u. { x } ) =/= (/)
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) =/= (/) )
26 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) )
27 ineq2 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f = x -> ( y i^i f ) = ( y i^i x ) )
2827neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = x -> ( ( y i^i f ) =/= (/) <-> ( y i^i x ) =/= (/) ) )
2921, 28ralsn 4001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) <-> ( y i^i x ) =/= (/) )
3029ralbii 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. y e. F A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) <-> A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) )
3126, 30sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> A. y e. F A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) )
32 filfbas 20941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )
3332ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> F e. ( fBas ` X ) )
34 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x C_ X )
35 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( X i^i x ) C_ x
36 filtop 20948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> X e. F )
3736adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) -> X e. F )
38 ineq1 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = X -> ( y i^i x ) = ( X i^i x ) )
3938neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = X -> ( ( y i^i x ) =/= (/) <-> ( X i^i x ) =/= (/) ) )
4039rspcva 3134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( X e. F /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( X i^i x ) =/= (/) )
4137, 40sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( X i^i x ) =/= (/) )
42 ssn0 3770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( X i^i x ) C_ x /\ ( X i^i x ) =/= (/) ) -> x =/= (/) )
4335, 41, 42sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x =/= (/) )
4436ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> X e. F )
45 snfbas 20959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x C_ X /\ x =/= (/) /\ X e. F ) -> { x } e. ( fBas ` X ) )
4634, 43, 44, 45syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> { x } e. ( fBas ` X ) )
47 fbunfip 20962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ { x } e. ( fBas ` X ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) <-> A. y e. F A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) ) )
4833, 46, 47syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) <-> A. y e. F A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) ) )
4931, 48mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) )
50 fsubbas 20960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X e. F -> ( ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. { x } ) C_ ~P X /\ ( F u. { x } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
5144, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. { x } ) C_ ~P X /\ ( F u. { x } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
5219, 25, 49, 51mpbir3and 1213 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) )
53 ssfg 20965 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( fi ` ( F u. { x } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) )
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( fi ` ( F u. { x } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) )
5513, 54sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) )
5655unssad 3602 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) )
57 fgcl 20971 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
58 sseq2 3440 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> ( F C_ f <-> F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
59 eqeq2 2482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> ( F = f <-> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
6058, 59imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> ( ( F C_ f -> F = f ) <-> ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) ) )
6160rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) e. ( Fil ` X ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) -> ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) ) )
6252, 57, 613syl 18 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) -> ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) ) )
6356, 62mpid 41 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) -> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
64 ssnid 3989 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. { x }
6520, 64sselii 3415 . . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. ( F u. { x } )
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x e. ( F u. { x } ) )
6755, 66sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x e. ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) )
68 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> ( x e. F <-> x e. ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
6967, 68syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> x e. F ) )
7063, 69syld 44 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) -> x e. F ) )
7170impancom 447 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) -> ( A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) -> x e. F ) )
7271an32s 821 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) -> x e. F ) )
7372con3d 140 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( -. x e. F -> -. A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) )
74 rexnal 2836 . . . . . . . . 9 |- ( E. y e. F -. ( y i^i x ) =/= (/) <-> -. A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) )
75 nne 2647 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( y i^i x ) =/= (/) <-> ( y i^i x ) = (/) )
76 filelss 20945 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> y C_ X )
77 reldisj 3812 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C_ X -> ( ( y i^i x ) = (/) <-> y C_ ( X \ x ) ) )
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> ( ( y i^i x ) = (/) <-> y C_ ( X \ x ) ) )
79 difss 3549 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X \ x ) C_ X
80 filss 20946 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( y e. F /\ ( X \ x ) C_ X /\ y C_ ( X \ x ) ) ) -> ( X \ x ) e. F )
81803exp2 1251 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( y e. F -> ( ( X \ x ) C_ X -> ( y C_ ( X \ x ) -> ( X \ x ) e. F ) ) ) )
8279, 81mpii 43 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( y e. F -> ( y C_ ( X \ x ) -> ( X \ x ) e. F ) ) )
8382imp 436 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> ( y C_ ( X \ x ) -> ( X \ x ) e. F ) )
8478, 83sylbid 223 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> ( ( y i^i x ) = (/) -> ( X \ x ) e. F ) )
8575, 84syl5bi 225 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> ( -. ( y i^i x ) =/= (/) -> ( X \ x ) e. F ) )
8685rexlimdva 2871 . . . . . . . . 9 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( E. y e. F -. ( y i^i x ) =/= (/) -> ( X \ x ) e. F ) )
8774, 86syl5bir 226 . . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( -. A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) -> ( X \ x ) e. F ) )
8887ad2antrr 740 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( -. A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) -> ( X \ x ) e. F ) )
8973, 88syld 44 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( -. x e. F -> ( X \ x ) e. F ) )
9089orrd 385 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) )
917, 90sylan2b 483 . . . 4 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x e. ~P X ) -> ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) )
9291ralrimiva 2809 . . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) -> A. x e. ~P X ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) )
93 isufil 20996 . . 3 |- ( F e. ( UFil ` X ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. ~P X ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) ) )
946, 92, 93sylanbrc 677 . 2 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) -> F e. ( UFil ` X ) )
955, 94impbii 192 1 |- ( F e. ( UFil ` X ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ficfi 7942   fBascfbas 19035   filGencfg 19036   Filcfil 20938   UFilcufil 20992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-fil 20939  df-ufil 20994
This theorem is referenced by:  filssufilg  21004  fmufil  21052
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