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Theorem isucn2 21306
Description: The predicate " F is a uniformly continuous function from uniform space  U to uniform space  V." , expressed with filter bases for the entourages. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isucn2.u  |-  U  =  ( ( X  X.  X ) filGen R )
isucn2.v  |-  V  =  ( ( Y  X.  Y ) filGen S )
isucn2.1  |-  ( ph  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
isucn2.2  |-  ( ph  ->  V  e.  (UnifOn `  Y ) )
isucn2.3  |-  ( ph  ->  R  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) ) )
isucn2.4  |-  ( ph  ->  S  e.  ( fBas `  ( Y  X.  Y
) ) )
Assertion
Ref Expression
isucn2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. s  e.  S  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    s, r, x, y, F    R, r, x, y    S, s, x, y    U, r, s, x, y    V, s, x    X, r, s, x, y    Y, s, x, y    ph, r,
s, x, y
Allowed substitution hints:    R( s)    S( r)    V( y, r)    Y( r)

Proof of Theorem isucn2
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isucn2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
2 isucn2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  (UnifOn `  Y ) )
3 isucn 21305 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) ) ) ) )
41, 2, 3syl2anc 667 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) ) ) ) )
5 isucn2.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  ( fBas `  ( Y  X.  Y
) ) )
6 ssfg 20899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  ( fBas `  ( Y  X.  Y ) )  ->  S  C_  (
( Y  X.  Y
) filGen S ) )
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  C_  ( ( Y  X.  Y ) filGen S ) )
8 isucn2.v . . . . . . . . . . 11  |-  V  =  ( ( Y  X.  Y ) filGen S )
97, 8syl6sseqr 3481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  C_  V )
109adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  S  C_  V )
1110adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) ) )  ->  S  C_  V
)
1211sselda 3434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) ) )  /\  s  e.  S )  ->  s  e.  V )
13 simplr 763 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) ) )  /\  s  e.  S )  ->  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
v ( F `  y ) ) )
14 breq 4407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  s  ->  (
( F `  x
) v ( F `
 y )  <->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) )
1514imbi2d 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  s  ->  (
( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) )  <->  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
1615ralbidv 2829 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  s  ->  ( A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) )  <->  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
1716rexralbidv 2911 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  s  ->  ( E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) )  <->  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
1817rspcva 3150 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  V  /\  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) ) )  ->  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) )
1912, 13, 18syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) ) )  /\  s  e.  S )  ->  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) )
20 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  u  e.  U )
21 isucn2.u . . . . . . . . . . . 12  |-  U  =  ( ( X  X.  X ) filGen R )
2220, 21syl6eleq 2541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  u  e.  ( ( X  X.  X ) filGen R ) )
23 isucn2.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) ) )
24 elfg 20898 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) )  ->  ( u  e.  ( ( X  X.  X ) filGen R )  <-> 
( u  C_  ( X  X.  X )  /\  E. r  e.  R  r 
C_  u ) ) )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( ( X  X.  X
) filGen R )  <->  ( u  C_  ( X  X.  X
)  /\  E. r  e.  R  r  C_  u ) ) )
2625simplbda 630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( X  X.  X ) filGen R ) )  ->  E. r  e.  R  r  C_  u )
2722, 26syldan 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  E. r  e.  R  r  C_  u )
28 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r 
C_  u  ->  r  C_  u )
2928ssbrd 4447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r 
C_  u  ->  (
x r y  ->  x u y ) )
3029imim1d 78 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r 
C_  u  ->  (
( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) )
3130adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  r  C_  u )  ->  (
( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) )
3231ralrimivw 2805 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  r  C_  u )  ->  A. y  e.  X  ( (
x u y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) )  ->  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
3332ralrimivw 2805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  r  C_  u )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x u y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) )  ->  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
34 ralim 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  X  (
( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) )  ->  ( A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) )  ->  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
3534ralimi 2783 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) )  ->  A. x  e.  X  ( A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) )
36 ralim 2779 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  X  ( A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
3733, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  r  C_  u )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) )
3837ex 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
r  C_  u  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) ) )
3938reximdva 2864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  R  r  C_  u  ->  E. r  e.  R  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) ) )
4039adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  ( E. r  e.  R  r  C_  u  ->  E. r  e.  R  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) ) )
4127, 40mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  E. r  e.  R  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
42 r19.37v 2942 . . . . . . . . 9  |-  ( E. r  e.  R  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) )  ->  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) )
4443rexlimdva 2881 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) )
4544ad3antrrr 737 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) ) )  /\  s  e.  S )  ->  ( E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) )
4619, 45mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) ) )  /\  s  e.  S )  ->  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) )
4746ralrimiva 2804 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) ) )  ->  A. s  e.  S  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) )
48 ssfg 20899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) )  ->  R  C_  (
( X  X.  X
) filGen R ) )
4923, 48syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  C_  ( ( X  X.  X ) filGen R ) )
5049, 21syl6sseqr 3481 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  C_  U )
51 ssrexv 3496 . . . . . . . . . 10  |-  ( R 
C_  U  ->  ( E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) )
52 breq 4407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  u  ->  (
x r y  <->  x u
y ) )
5352imbi1d 319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  u  ->  (
( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  <->  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
54532ralbidv 2834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  u  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
5554cbvrexv 3022 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) )  <->  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) )
5651, 55syl6ib 230 . . . . . . . . 9  |-  ( R 
C_  U  ->  ( E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) )
5750, 56syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) )
5857ralimdv 2800 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. s  e.  S  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) )
5958adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. s  e.  S  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) )
60 nfv 1763 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ s ( ph  /\  F : X --> Y )
61 nfra1 2771 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ s A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )
6260, 61nfan 2013 . . . . . . . . . 10  |-  F/ s ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) )
63 nfv 1763 . . . . . . . . . 10  |-  F/ s  v  e.  V
6462, 63nfan 2013 . . . . . . . . 9  |-  F/ s ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) )  /\  v  e.  V )
65 simp-4r 778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) )  /\  v  e.  V )  /\  s  e.  S )  /\  s  C_  v )  ->  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) )
66 simplr 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) )  /\  v  e.  V )  /\  s  e.  S )  /\  s  C_  v )  ->  s  e.  S )
67 rspa 2757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  /\  s  e.  S )  ->  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) )
6865, 66, 67syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) )  /\  v  e.  V )  /\  s  e.  S )  /\  s  C_  v )  ->  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) )
69 simp-4l 777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) )  /\  v  e.  V )  /\  s  e.  S )  /\  s  C_  v )  ->  ( ph  /\  F : X --> Y ) )
70 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) )  /\  v  e.  V )  /\  s  e.  S )  /\  s  C_  v )  ->  s  C_  v )
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s 
C_  v  ->  s  C_  v )
7271ssbrd 4447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s 
C_  v  ->  (
( F `  x
) s ( F `
 y )  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) ) )
7372adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  s  e.  S
)  /\  s  C_  v )  ->  (
( F `  x
) s ( F `
 y )  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) ) )
7473imim2d 54 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  s  e.  S
)  /\  s  C_  v )  ->  (
( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  ( x u y  ->  ( F `  x )
v ( F `  y ) ) ) )
7574ralimdv 2800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  s  e.  S
)  /\  s  C_  v )  ->  ( A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
v ( F `  y ) ) ) )
7675ralimdv 2800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  s  e.  S
)  /\  s  C_  v )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
v ( F `  y ) ) ) )
7776reximdv 2863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  s  e.  S
)  /\  s  C_  v )  ->  ( E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
v ( F `  y ) ) ) )
7869, 66, 70, 77syl21anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) )  /\  v  e.  V )  /\  s  e.  S )  /\  s  C_  v )  ->  ( E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
v ( F `  y ) ) ) )
7968, 78mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) )  /\  v  e.  V )  /\  s  e.  S )  /\  s  C_  v )  ->  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
v ( F `  y ) ) )
805ad3antrrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) )  /\  v  e.  V )  ->  S  e.  ( fBas `  ( Y  X.  Y ) ) )
81 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) )  /\  v  e.  V )  ->  v  e.  V )
8281, 8syl6eleq 2541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) )  /\  v  e.  V )  ->  v  e.  ( ( Y  X.  Y ) filGen S ) )
83 elfg 20898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ( fBas `  ( Y  X.  Y ) )  ->  ( v  e.  ( ( Y  X.  Y ) filGen S )  <-> 
( v  C_  ( Y  X.  Y )  /\  E. s  e.  S  s 
C_  v ) ) )
8483simplbda 630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  ( fBas `  ( Y  X.  Y
) )  /\  v  e.  ( ( Y  X.  Y ) filGen S ) )  ->  E. s  e.  S  s  C_  v )
8580, 82, 84syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) )  /\  v  e.  V )  ->  E. s  e.  S  s  C_  v )
8664, 79, 85r19.29af 2932 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) )  /\  v  e.  V )  ->  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
v ( F `  y ) ) )
8786ralrimiva 2804 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) )  ->  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
v ( F `  y ) ) )
8887ex 436 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
v ( F `  y ) ) ) )
8959, 88syld 45 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. s  e.  S  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
v ( F `  y ) ) ) )
9089imp 431 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. s  e.  S  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) )  ->  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
v ( F `  y ) ) )
9147, 90impbida 844 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) )  <->  A. s  e.  S  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
9291pm5.32da 647 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F : X
--> Y  /\  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
v ( F `  y ) ) )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. s  e.  S  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) ) )
934, 92bitrd 257 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. s  e.  S  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740    C_ wss 3406   class class class wbr 4405    X. cxp 4835   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   fBascfbas 18970   filGencfg 18971  UnifOncust 21226   Cnucucn 21302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-map 7479  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-ust 21227  df-ucn 21303
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