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Theorem isucn2 20545
Description: The predicate " F is a uniformly continuous function from uniform space  U to uniform space  V." , expressed with filter bases for the entourages. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isucn2.u  |-  U  =  ( ( X  X.  X ) filGen R )
isucn2.v  |-  V  =  ( ( Y  X.  Y ) filGen S )
isucn2.1  |-  ( ph  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
isucn2.2  |-  ( ph  ->  V  e.  (UnifOn `  Y ) )
isucn2.3  |-  ( ph  ->  R  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) ) )
isucn2.4  |-  ( ph  ->  S  e.  ( fBas `  ( Y  X.  Y
) ) )
Assertion
Ref Expression
isucn2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. s  e.  S  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    s, r, x, y, F    R, r, x, y    S, s, x, y    U, r, s, x, y    V, s, x    X, r, s, x, y    Y, s, x, y    ph, r,
s, x, y
Allowed substitution hints:    R( s)    S( r)    V( y, r)    Y( r)

Proof of Theorem isucn2
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isucn2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
2 isucn2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  (UnifOn `  Y ) )
3 isucn 20544 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) ) ) ) )
41, 2, 3syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) ) ) ) )
5 isucn2.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  ( fBas `  ( Y  X.  Y
) ) )
6 ssfg 20136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  ( fBas `  ( Y  X.  Y ) )  ->  S  C_  (
( Y  X.  Y
) filGen S ) )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  C_  ( ( Y  X.  Y ) filGen S ) )
8 isucn2.v . . . . . . . . . . 11  |-  V  =  ( ( Y  X.  Y ) filGen S )
97, 8syl6sseqr 3551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  C_  V )
109adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  S  C_  V )
1110adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) ) )  ->  S  C_  V
)
1211sselda 3504 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) ) )  /\  s  e.  S )  ->  s  e.  V )
13 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) ) )  /\  s  e.  S )  ->  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
v ( F `  y ) ) )
14 breq 4449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  s  ->  (
( F `  x
) v ( F `
 y )  <->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) )
1514imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  s  ->  (
( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) )  <->  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
1615ralbidv 2903 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  s  ->  ( A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) )  <->  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
1716rexralbidv 2981 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  s  ->  ( E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) )  <->  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
1817rspcv 3210 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  V  ->  ( A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) )  ->  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) )
1918imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  V  /\  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) ) )  ->  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) )
2012, 13, 19syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) ) )  /\  s  e.  S )  ->  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) )
21 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  u  e.  U )
22 isucn2.u . . . . . . . . . . . 12  |-  U  =  ( ( X  X.  X ) filGen R )
2321, 22syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  u  e.  ( ( X  X.  X ) filGen R ) )
24 isucn2.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) ) )
25 elfg 20135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) )  ->  ( u  e.  ( ( X  X.  X ) filGen R )  <-> 
( u  C_  ( X  X.  X )  /\  E. r  e.  R  r 
C_  u ) ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( ( X  X.  X
) filGen R )  <->  ( u  C_  ( X  X.  X
)  /\  E. r  e.  R  r  C_  u ) ) )
2726biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( X  X.  X ) filGen R ) )  ->  ( u  C_  ( X  X.  X
)  /\  E. r  e.  R  r  C_  u ) )
2827simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( X  X.  X ) filGen R ) )  ->  E. r  e.  R  r  C_  u )
2923, 28syldan 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  E. r  e.  R  r  C_  u )
30 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r 
C_  u  ->  r  C_  u )
3130ssbrd 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r 
C_  u  ->  (
x r y  ->  x u y ) )
32 imim1 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x r y  ->  x u y )  ->  ( ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) )  -> 
( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r 
C_  u  ->  (
( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) )
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  r  C_  u )  ->  (
( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) )
3534ralrimivw 2879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  r  C_  u )  ->  A. y  e.  X  ( (
x u y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) )  ->  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
3635ralrimivw 2879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  r  C_  u )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x u y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) )  ->  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
37 ralim 2853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  X  (
( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) )  ->  ( A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) )  ->  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
3837ralimi 2857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) )  ->  A. x  e.  X  ( A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) )
39 ralim 2853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  X  ( A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
4036, 38, 393syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  r  C_  u )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) )
4140ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
r  C_  u  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) ) )
4241reximdva 2938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  R  r  C_  u  ->  E. r  e.  R  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) ) )
4342adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  ( E. r  e.  R  r  C_  u  ->  E. r  e.  R  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) ) )
4429, 43mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  E. r  e.  R  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
45 r19.37av 3011 . . . . . . . . 9  |-  ( E. r  e.  R  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) )  ->  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
4644, 45syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) )
4746rexlimdva 2955 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) )
4847ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) ) )  /\  s  e.  S )  ->  ( E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) )
4920, 48mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) ) )  /\  s  e.  S )  ->  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) )
5049ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) ) )  ->  A. s  e.  S  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) )
51 ssfg 20136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) )  ->  R  C_  (
( X  X.  X
) filGen R ) )
5224, 51syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  C_  ( ( X  X.  X ) filGen R ) )
5352, 22syl6sseqr 3551 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  C_  U )
54 ssrexv 3565 . . . . . . . . . 10  |-  ( R 
C_  U  ->  ( E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) )
55 breq 4449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  u  ->  (
x r y  <->  x u
y ) )
5655imbi1d 317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  u  ->  (
( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  <->  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
57562ralbidv 2908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  u  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
5857cbvrexv 3089 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) )  <->  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) )
5954, 58syl6ib 226 . . . . . . . . 9  |-  ( R 
C_  U  ->  ( E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) )
6053, 59syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) )
6160ralimdv 2874 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. s  e.  S  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) )
6261adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. s  e.  S  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) )
63 nfv 1683 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ s ( ph  /\  F : X --> Y )
64 nfra1 2845 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ s A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )
6563, 64nfan 1875 . . . . . . . . . 10  |-  F/ s ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) )
66 nfv 1683 . . . . . . . . . 10  |-  F/ s  v  e.  V
6765, 66nfan 1875 . . . . . . . . 9  |-  F/ s ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) )  /\  v  e.  V )
68 simp-4r 766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) )  /\  v  e.  V )  /\  s  e.  S )  /\  s  C_  v )  ->  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) )
69 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) )  /\  v  e.  V )  /\  s  e.  S )  /\  s  C_  v )  ->  s  e.  S )
70 rsp 2830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) )  ->  ( s  e.  S  ->  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) )
7170imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  /\  s  e.  S )  ->  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) )
7268, 69, 71syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) )  /\  v  e.  V )  /\  s  e.  S )  /\  s  C_  v )  ->  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) )
73 simp-4l 765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) )  /\  v  e.  V )  /\  s  e.  S )  /\  s  C_  v )  ->  ( ph  /\  F : X --> Y ) )
74 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) )  /\  v  e.  V )  /\  s  e.  S )  /\  s  C_  v )  ->  s  C_  v )
75 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s 
C_  v  ->  s  C_  v )
7675ssbrd 4488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s 
C_  v  ->  (
( F `  x
) s ( F `
 y )  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) ) )
7776adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  s  e.  S
)  /\  s  C_  v )  ->  (
( F `  x
) s ( F `
 y )  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) ) )
7877imim2d 52 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  s  e.  S
)  /\  s  C_  v )  ->  (
( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  ( x u y  ->  ( F `  x )
v ( F `  y ) ) ) )
7978ralimdv 2874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  s  e.  S
)  /\  s  C_  v )  ->  ( A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
v ( F `  y ) ) ) )
8079ralimdv 2874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  s  e.  S
)  /\  s  C_  v )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
v ( F `  y ) ) ) )
8180reximdv 2937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  s  e.  S
)  /\  s  C_  v )  ->  ( E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
v ( F `  y ) ) ) )
8273, 69, 74, 81syl21anc 1227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) )  /\  v  e.  V )  /\  s  e.  S )  /\  s  C_  v )  ->  ( E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
v ( F `  y ) ) ) )
8372, 82mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) )  /\  v  e.  V )  /\  s  e.  S )  /\  s  C_  v )  ->  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
v ( F `  y ) ) )
845ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) )  /\  v  e.  V )  ->  S  e.  ( fBas `  ( Y  X.  Y ) ) )
85 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) )  /\  v  e.  V )  ->  v  e.  V )
8685, 8syl6eleq 2565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) )  /\  v  e.  V )  ->  v  e.  ( ( Y  X.  Y ) filGen S ) )
87 elfg 20135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  ( fBas `  ( Y  X.  Y ) )  ->  ( v  e.  ( ( Y  X.  Y ) filGen S )  <-> 
( v  C_  ( Y  X.  Y )  /\  E. s  e.  S  s 
C_  v ) ) )
8887biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  ( fBas `  ( Y  X.  Y
) )  /\  v  e.  ( ( Y  X.  Y ) filGen S ) )  ->  ( v  C_  ( Y  X.  Y
)  /\  E. s  e.  S  s  C_  v ) )
8988simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  ( fBas `  ( Y  X.  Y
) )  /\  v  e.  ( ( Y  X.  Y ) filGen S ) )  ->  E. s  e.  S  s  C_  v )
9084, 86, 89syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) )  /\  v  e.  V )  ->  E. s  e.  S  s  C_  v )
9167, 83, 90r19.29af 3001 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) )  /\  v  e.  V )  ->  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
v ( F `  y ) ) )
9291ralrimiva 2878 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) )  ->  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
v ( F `  y ) ) )
9392ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. s  e.  S  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
v ( F `  y ) ) ) )
9462, 93syld 44 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. s  e.  S  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) )  ->  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
v ( F `  y ) ) ) )
9594imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  A. s  e.  S  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) )  ->  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
v ( F `  y ) ) )
9650, 95impbida 830 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) )  <->  A. s  e.  S  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
9796pm5.32da 641 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F : X
--> Y  /\  A. v  e.  V  E. u  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x )
v ( F `  y ) ) )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. s  e.  S  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) ) )
984, 97bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. s  e.  S  E. r  e.  R  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   fBascfbas 18205   filGencfg 18206  UnifOncust 20465   Cnucucn 20541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-map 7422  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-ust 20466  df-ucn 20542
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