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Theorem isucn 20608
Description: The predicate " F is a uniformly continuous function from uniform space  U to uniform space  V." (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
isucn  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    s, r, x, y, F    U, r,
s, x, y    V, r, s, x    X, r, s, x, y    Y, r, s, x
Allowed substitution hints:    V( y)    Y( y)

Proof of Theorem isucn
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ucnval 20607 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( U Cnu V
)  =  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) ) } )
21eleq2d 2537 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  F  e.  { f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) ) } ) )
3 fveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
4 fveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
53, 4breq12d 4460 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
) s ( f `
 y )  <->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) )
65imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) )  <->  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
76ralbidv 2903 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  ( A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) )  <->  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
87rexralbidv 2981 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) )  <->  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
98ralbidv 2903 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) )  <->  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
109elrab 3261 . . 3  |-  ( F  e.  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) }  <-> 
( F  e.  ( Y  ^m  X )  /\  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
112, 10syl6bb 261 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F  e.  ( Y  ^m  X
)  /\  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) ) )
12 elfvex 5893 . . . 4  |-  ( V  e.  (UnifOn `  Y
)  ->  Y  e.  _V )
13 elfvex 5893 . . . 4  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  X  e.  _V )
14 elmapg 7434 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  X  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( Y  ^m  X )  <-> 
F : X --> Y ) )
1512, 13, 14syl2anr 478 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( Y  ^m  X
)  <->  F : X --> Y ) )
1615anbi1d 704 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( ( F  e.  ( Y  ^m  X )  /\  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) )  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) ) )
1711, 16bitrd 253 1  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   class class class wbr 4447   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    ^m cmap 7421  UnifOncust 20529   Cnucucn 20605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-map 7423  df-ust 20530  df-ucn 20606
This theorem is referenced by:  isucn2  20609  ucnima  20611  iducn  20613  cstucnd  20614  ucncn  20615  fmucnd  20622  ucnextcn  20634
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