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Theorem isucn 21224
Description: The predicate " F is a uniformly continuous function from uniform space  U to uniform space  V." (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
isucn  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    s, r, x, y, F    U, r,
s, x, y    V, r, s, x    X, r, s, x, y    Y, r, s, x
Allowed substitution hints:    V( y)    Y( y)

Proof of Theorem isucn
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ucnval 21223 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( U Cnu V
)  =  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) ) } )
21eleq2d 2499 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  F  e.  { f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) ) } ) )
3 fveq1 5880 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
4 fveq1 5880 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
53, 4breq12d 4439 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
) s ( f `
 y )  <->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) )
65imbi2d 317 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) )  <->  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
76ralbidv 2871 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  ( A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) )  <->  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
87rexralbidv 2954 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) )  <->  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
98ralbidv 2871 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) )  <->  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
109elrab 3235 . . 3  |-  ( F  e.  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) }  <-> 
( F  e.  ( Y  ^m  X )  /\  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
112, 10syl6bb 264 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F  e.  ( Y  ^m  X
)  /\  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) ) )
12 elfvex 5908 . . . 4  |-  ( V  e.  (UnifOn `  Y
)  ->  Y  e.  _V )
13 elfvex 5908 . . . 4  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  X  e.  _V )
14 elmapg 7493 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  X  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( Y  ^m  X )  <-> 
F : X --> Y ) )
1512, 13, 14syl2anr 480 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( Y  ^m  X
)  <->  F : X --> Y ) )
1615anbi1d 709 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( ( F  e.  ( Y  ^m  X )  /\  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) )  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) ) )
1711, 16bitrd 256 1  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   {crab 2786   _Vcvv 3087   class class class wbr 4426   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^m cmap 7480  UnifOncust 21145   Cnucucn 21221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-map 7482  df-ust 21146  df-ucn 21222
This theorem is referenced by:  isucn2  21225  ucnima  21227  iducn  21229  cstucnd  21230  ucncn  21231  fmucnd  21238  ucnextcn  21250
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