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Theorem isucn 19853
Description: The predicate " F is a uniformly continuous function from uniform space  U to uniform space  V." (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
isucn  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    s, r, x, y, F    U, r,
s, x, y    V, r, s, x    X, r, s, x, y    Y, r, s, x
Allowed substitution hints:    V( y)    Y( y)

Proof of Theorem isucn
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ucnval 19852 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( U Cnu V
)  =  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) ) } )
21eleq2d 2510 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  F  e.  { f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) ) } ) )
3 fveq1 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
4 fveq1 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
53, 4breq12d 4305 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
) s ( f `
 y )  <->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) )
65imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) )  <->  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
76ralbidv 2735 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  ( A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) )  <->  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
87rexralbidv 2759 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) )  <->  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
98ralbidv 2735 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) )  <->  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
109elrab 3117 . . 3  |-  ( F  e.  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) }  <-> 
( F  e.  ( Y  ^m  X )  /\  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
112, 10syl6bb 261 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F  e.  ( Y  ^m  X
)  /\  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) ) )
12 elfvex 5717 . . . 4  |-  ( V  e.  (UnifOn `  Y
)  ->  Y  e.  _V )
13 elfvex 5717 . . . 4  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  X  e.  _V )
14 elmapg 7227 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  X  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( Y  ^m  X )  <-> 
F : X --> Y ) )
1512, 13, 14syl2anr 478 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( Y  ^m  X
)  <->  F : X --> Y ) )
1615anbi1d 704 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( ( F  e.  ( Y  ^m  X )  /\  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) )  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) ) )
1711, 16bitrd 253 1  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719   _Vcvv 2972   class class class wbr 4292   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    ^m cmap 7214  UnifOncust 19774   Cnucucn 19850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-map 7216  df-ust 19775  df-ucn 19851
This theorem is referenced by:  isucn2  19854  ucnima  19856  iducn  19858  cstucnd  19859  ucncn  19860  fmucnd  19867  ucnextcn  19879
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