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Theorem istrkgld 24396
Description: Property of fulfilling the lower dimension  N axiom (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
istrkg.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
istrkg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
Assertion
Ref Expression
istrkgld  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( GDimTarskiG
N  <->  E. f ( f : ( 1..^ N ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ N ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, G    f, j, x, y, z, I    P, f, j, x, y, z    .- , f,
j, x, y, z   
f, N, j, x, y, z
Allowed substitution hints:    G( x, y, z, j)    V( x, y, z, f, j)

Proof of Theorem istrkgld
Dummy variables  d 
g  i  n  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istrkg.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 istrkg.d . . 3  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 istrkg.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
4 eqidd 2421 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  f  =  f )
5 eqidd 2421 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ n ) )
6 simp1 1005 . . . . . . 7  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  p  =  P )
76eqcomd 2428 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  P  =  p )
84, 5, 7f1eq123d 5817 . . . . 5  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
f : ( 1..^ n ) -1-1-> P  <->  f :
( 1..^ n )
-1-1-> p ) )
9 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  d  =  .-  )
109eqcomd 2428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  .-  =  d )
1110oveqd 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 1 ) d x ) )
1210oveqd 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( f `  j
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j ) d x ) )
1311, 12eqeq12d 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  <->  ( (
f `  1 )
d x )  =  ( ( f `  j ) d x ) ) )
1410oveqd 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 1 ) d y ) )
1510oveqd 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( f `  j
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j ) d y ) )
1614, 15eqeq12d 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  <->  ( (
f `  1 )
d y )  =  ( ( f `  j ) d y ) ) )
1710oveqd 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 1 ) d z ) )
1810oveqd 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( f `  j
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j ) d z ) )
1917, 18eqeq12d 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z )  <->  ( (
f `  1 )
d z )  =  ( ( f `  j ) d z ) ) )
2013, 16, 193anbi123d 1335 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( ( ( f `
 1 )  .-  x )  =  ( ( f `  j
)  .-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  <-> 
( ( ( f `
 1 ) d x )  =  ( ( f `  j
) d x )  /\  ( ( f `
 1 ) d y )  =  ( ( f `  j
) d y )  /\  ( ( f `
 1 ) d z )  =  ( ( f `  j
) d z ) ) ) )
2120ralbidv 2862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( A. j  e.  (
2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  <->  A. j  e.  (
2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 ) d x )  =  ( ( f `  j ) d x )  /\  ( ( f ` 
1 ) d y )  =  ( ( f `  j ) d y )  /\  ( ( f ` 
1 ) d z )  =  ( ( f `  j ) d z ) ) ) )
22 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  i  =  I )
2322eqcomd 2428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  I  =  i )
2423oveqd 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
x I y )  =  ( x i y ) )
2524eleq2d 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
z  e.  ( x I y )  <->  z  e.  ( x i y ) ) )
2623oveqd 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
z I y )  =  ( z i y ) )
2726eleq2d 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
x  e.  ( z I y )  <->  x  e.  ( z i y ) ) )
2823oveqd 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
x I z )  =  ( x i z ) )
2928eleq2d 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
y  e.  ( x I z )  <->  y  e.  ( x i z ) ) )
3025, 27, 293orbi123d 1334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  <->  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) )
3130notbid 295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  <->  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) )
3221, 31anbi12d 715 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f `
 1 )  .-  x )  =  ( ( f `  j
)  .-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f `  1
) d x )  =  ( ( f `
 j ) d x )  /\  (
( f `  1
) d y )  =  ( ( f `
 j ) d y )  /\  (
( f `  1
) d z )  =  ( ( f `
 j ) d z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) )
337, 32rexeqbidv 3038 . . . . . . 7  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  E. z  e.  p  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f `  1
) d x )  =  ( ( f `
 j ) d x )  /\  (
( f `  1
) d y )  =  ( ( f `
 j ) d y )  /\  (
( f `  1
) d z )  =  ( ( f `
 j ) d z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) )
347, 33rexeqbidv 3038 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  E. y  e.  p  E. z  e.  p  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f `  1
) d x )  =  ( ( f `
 j ) d x )  /\  (
( f `  1
) d y )  =  ( ( f `
 j ) d y )  /\  (
( f `  1
) d z )  =  ( ( f `
 j ) d z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) )
357, 34rexeqbidv 3038 . . . . 5  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  E. x  e.  p  E. y  e.  p  E. z  e.  p  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f `  1
) d x )  =  ( ( f `
 j ) d x )  /\  (
( f `  1
) d y )  =  ( ( f `
 j ) d y )  /\  (
( f `  1
) d z )  =  ( ( f `
 j ) d z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) )
368, 35anbi12d 715 . . . 4  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( f : ( 1..^ n ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <-> 
( f : ( 1..^ n ) -1-1-> p  /\  E. x  e.  p  E. y  e.  p  E. z  e.  p  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 ) d x )  =  ( ( f `  j ) d x )  /\  ( ( f ` 
1 ) d y )  =  ( ( f `  j ) d y )  /\  ( ( f ` 
1 ) d z )  =  ( ( f `  j ) d z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) ) )
3736exbidv 1758 . . 3  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( E. f ( f : ( 1..^ n )
-1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. f
( f : ( 1..^ n ) -1-1-> p  /\  E. x  e.  p  E. y  e.  p  E. z  e.  p  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 ) d x )  =  ( ( f `  j ) d x )  /\  ( ( f ` 
1 ) d y )  =  ( ( f `  j ) d y )  /\  ( ( f ` 
1 ) d z )  =  ( ( f `  j ) d z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) ) )
381, 2, 3, 37sbcie3s 15119 . 2  |-  ( g  =  G  ->  ( [. ( Base `  g
)  /  p ]. [. ( dist `  g
)  /  d ]. [. (Itv `  g )  /  i ]. E. f ( f : ( 1..^ n )
-1-1-> p  /\  E. x  e.  p  E. y  e.  p  E. z  e.  p  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f `  1
) d x )  =  ( ( f `
 j ) d x )  /\  (
( f `  1
) d y )  =  ( ( f `
 j ) d y )  /\  (
( f `  1
) d z )  =  ( ( f `
 j ) d z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) )  <->  E. f
( f : ( 1..^ n ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
39 eqidd 2421 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  f  =  f )
40 oveq2 6304 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ N ) )
41 eqidd 2421 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  P  =  P )
4239, 40, 41f1eq123d 5817 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
f : ( 1..^ n ) -1-1-> P  <->  f :
( 1..^ N )
-1-1-> P ) )
43 oveq2 6304 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
2..^ n )  =  ( 2..^ N ) )
4443raleqdv 3029 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( A. j  e.  (
2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  <->  A. j  e.  (
2..^ N ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) ) ) )
4544anbi1d 709 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f `
 1 )  .-  x )  =  ( ( f `  j
)  .-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  ( A. j  e.  ( 2..^ N ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
4645rexbidv 2937 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ N ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
47462rexbidv 2944 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ N ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
4842, 47anbi12d 715 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
( f : ( 1..^ n ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <-> 
( f : ( 1..^ N ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ N ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
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1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
4948exbidv 1758 . 2  |-  ( n  =  N  ->  ( E. f ( f : ( 1..^ n )
-1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
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 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. f
( f : ( 1..^ N ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ N ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
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1 )  .-  z
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50 df-trkgld 24389 . 2  |- DimTarskiG =  { <. g ,  n >.  |  [. ( Base `  g )  /  p ]. [. ( dist `  g )  /  d ]. [. (Itv `  g
)  /  i ]. E. f ( f : ( 1..^ n )
-1-1-> p  /\  E. x  e.  p  E. y  e.  p  E. z  e.  p  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f `  1
) d x )  =  ( ( f `
 j ) d x )  /\  (
( f `  1
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 j ) d y )  /\  (
( f `  1
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 j ) d z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) }
5138, 49, 50brabg 4731 1  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( GDimTarskiG
N  <->  E. f ( f : ( 1..^ N ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ N ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    \/ w3o 981    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1867   A.wral 2773   E.wrex 2774   [.wsbc 3296   class class class wbr 4417   -1-1->wf1 5589   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   1c1 9529   2c2 10648   ZZ>=cuz 11148  ..^cfzo 11902   Basecbs 15073   distcds 15151  DimTarskiGcstrkgld 24371  Itvcitv 24373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pr 4652
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fv 5600  df-ov 6299  df-trkgld 24389
This theorem is referenced by:  istrkg2ld  24397  istrkg3ld  24398
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