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Theorem istrkgld 23682
Description: Property of fulfilling the lower dimension  N axiom (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
istrkg.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
istrkg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
Assertion
Ref Expression
istrkgld  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( GDimTarskiG
N  <->  E. f ( f : ( 1..^ N ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ N ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, G    f, j, x, y, z, I    P, f, j, x, y, z    .- , f,
j, x, y, z   
f, N, j, x, y, z
Allowed substitution hints:    G( x, y, z, j)    V( x, y, z, f, j)

Proof of Theorem istrkgld
Dummy variables  d 
g  i  n  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istrkg.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 istrkg.d . . 3  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 istrkg.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
4 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  f  =  f )
5 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ n ) )
6 simp1 996 . . . . . . 7  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  p  =  P )
76eqcomd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  P  =  p )
84, 5, 7f1eq123d 5811 . . . . 5  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
f : ( 1..^ n ) -1-1-> P  <->  f :
( 1..^ n )
-1-1-> p ) )
9 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  d  =  .-  )
109eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  .-  =  d )
1110oveqd 6302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 1 ) d x ) )
1210oveqd 6302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( f `  j
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j ) d x ) )
1311, 12eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  <->  ( (
f `  1 )
d x )  =  ( ( f `  j ) d x ) ) )
1410oveqd 6302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 1 ) d y ) )
1510oveqd 6302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( f `  j
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j ) d y ) )
1614, 15eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  <->  ( (
f `  1 )
d y )  =  ( ( f `  j ) d y ) ) )
1710oveqd 6302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 1 ) d z ) )
1810oveqd 6302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( f `  j
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j ) d z ) )
1917, 18eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z )  <->  ( (
f `  1 )
d z )  =  ( ( f `  j ) d z ) ) )
2013, 16, 193anbi123d 1299 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( ( ( f `
 1 )  .-  x )  =  ( ( f `  j
)  .-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  <-> 
( ( ( f `
 1 ) d x )  =  ( ( f `  j
) d x )  /\  ( ( f `
 1 ) d y )  =  ( ( f `  j
) d y )  /\  ( ( f `
 1 ) d z )  =  ( ( f `  j
) d z ) ) ) )
2120ralbidv 2903 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( A. j  e.  (
2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  <->  A. j  e.  (
2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 ) d x )  =  ( ( f `  j ) d x )  /\  ( ( f ` 
1 ) d y )  =  ( ( f `  j ) d y )  /\  ( ( f ` 
1 ) d z )  =  ( ( f `  j ) d z ) ) ) )
22 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  i  =  I )
2322eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  I  =  i )
2423oveqd 6302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
x I y )  =  ( x i y ) )
2524eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
z  e.  ( x I y )  <->  z  e.  ( x i y ) ) )
2623oveqd 6302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
z I y )  =  ( z i y ) )
2726eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
x  e.  ( z I y )  <->  x  e.  ( z i y ) ) )
2823oveqd 6302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
x I z )  =  ( x i z ) )
2928eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
y  e.  ( x I z )  <->  y  e.  ( x i z ) ) )
3025, 27, 293orbi123d 1298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  <->  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) )
3130notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  <->  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) )
3221, 31anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f `
 1 )  .-  x )  =  ( ( f `  j
)  .-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f `  1
) d x )  =  ( ( f `
 j ) d x )  /\  (
( f `  1
) d y )  =  ( ( f `
 j ) d y )  /\  (
( f `  1
) d z )  =  ( ( f `
 j ) d z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) )
337, 32rexeqbidv 3073 . . . . . . 7  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  E. z  e.  p  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f `  1
) d x )  =  ( ( f `
 j ) d x )  /\  (
( f `  1
) d y )  =  ( ( f `
 j ) d y )  /\  (
( f `  1
) d z )  =  ( ( f `
 j ) d z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) )
347, 33rexeqbidv 3073 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  E. y  e.  p  E. z  e.  p  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f `  1
) d x )  =  ( ( f `
 j ) d x )  /\  (
( f `  1
) d y )  =  ( ( f `
 j ) d y )  /\  (
( f `  1
) d z )  =  ( ( f `
 j ) d z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) )
357, 34rexeqbidv 3073 . . . . 5  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  E. x  e.  p  E. y  e.  p  E. z  e.  p  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f `  1
) d x )  =  ( ( f `
 j ) d x )  /\  (
( f `  1
) d y )  =  ( ( f `
 j ) d y )  /\  (
( f `  1
) d z )  =  ( ( f `
 j ) d z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) )
368, 35anbi12d 710 . . . 4  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( f : ( 1..^ n ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <-> 
( f : ( 1..^ n ) -1-1-> p  /\  E. x  e.  p  E. y  e.  p  E. z  e.  p  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 ) d x )  =  ( ( f `  j ) d x )  /\  ( ( f ` 
1 ) d y )  =  ( ( f `  j ) d y )  /\  ( ( f ` 
1 ) d z )  =  ( ( f `  j ) d z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) ) )
3736exbidv 1690 . . 3  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( E. f ( f : ( 1..^ n )
-1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. f
( f : ( 1..^ n ) -1-1-> p  /\  E. x  e.  p  E. y  e.  p  E. z  e.  p  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 ) d x )  =  ( ( f `  j ) d x )  /\  ( ( f ` 
1 ) d y )  =  ( ( f `  j ) d y )  /\  ( ( f ` 
1 ) d z )  =  ( ( f `  j ) d z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) ) )
381, 2, 3, 37sbcie3s 14537 . 2  |-  ( g  =  G  ->  ( [. ( Base `  g
)  /  p ]. [. ( dist `  g
)  /  d ]. [. (Itv `  g )  /  i ]. E. f ( f : ( 1..^ n )
-1-1-> p  /\  E. x  e.  p  E. y  e.  p  E. z  e.  p  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f `  1
) d x )  =  ( ( f `
 j ) d x )  /\  (
( f `  1
) d y )  =  ( ( f `
 j ) d y )  /\  (
( f `  1
) d z )  =  ( ( f `
 j ) d z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) )  <->  E. f
( f : ( 1..^ n ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
39 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  f  =  f )
40 oveq2 6293 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ N ) )
41 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  P  =  P )
4239, 40, 41f1eq123d 5811 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
f : ( 1..^ n ) -1-1-> P  <->  f :
( 1..^ N )
-1-1-> P ) )
43 oveq2 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  (
2..^ n )  =  ( 2..^ N ) )
44 raleq 3058 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2..^ n )  =  ( 2..^ N )  ->  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f `
 1 )  .-  x )  =  ( ( f `  j
)  .-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  <->  A. j  e.  (
2..^ N ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) ) ) )
4543, 44syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  ( A. j  e.  (
2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  <->  A. j  e.  (
2..^ N ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) ) ) )
4645anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f `
 1 )  .-  x )  =  ( ( f `  j
)  .-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  ( A. j  e.  ( 2..^ N ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
4746rexbidv 2973 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  ( E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ N ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
4847rexbidv 2973 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ N ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
4948rexbidv 2973 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ N ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
5042, 49anbi12d 710 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
( f : ( 1..^ n ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <-> 
( f : ( 1..^ N ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ N ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
5150exbidv 1690 . 2  |-  ( n  =  N  ->  ( E. f ( f : ( 1..^ n )
-1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. f
( f : ( 1..^ N ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ N ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
52 df-trkgld 23673 . 2  |- DimTarskiG =  { <. g ,  n >.  |  [. ( Base `  g )  /  p ]. [. ( dist `  g )  /  d ]. [. (Itv `  g
)  /  i ]. E. f ( f : ( 1..^ n )
-1-1-> p  /\  E. x  e.  p  E. y  e.  p  E. z  e.  p  ( A. j  e.  ( 2..^ n ) ( ( ( f `  1
) d x )  =  ( ( f `
 j ) d x )  /\  (
( f `  1
) d y )  =  ( ( f `
 j ) d y )  /\  (
( f `  1
) d z )  =  ( ( f `
 j ) d z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) }
5338, 51, 52brabg 4766 1  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( GDimTarskiG
N  <->  E. f ( f : ( 1..^ N ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ N ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   [.wsbc 3331   class class class wbr 4447   -1-1->wf1 5585   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   1c1 9494   2c2 10586   ZZ>=cuz 11083  ..^cfzo 11793   Basecbs 14493   distcds 14567  DimTarskiGcstrkgld 23654  Itvcitv 23657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fv 5596  df-ov 6288  df-trkgld 23673
This theorem is referenced by:  istrkg2ld  23683
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