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Theorem istrkge 23979
Description: Property of fulfilling Euclid's axiom (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
istrkg.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
istrkg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
Assertion
Ref Expression
istrkge  |-  ( G  e. TarskiGE  <->  ( G  e.  _V  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  (
( u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  x  =/=  u
)  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    a, b, u, v, x, y, z, I    P, a, b, u, v, x, y, z    .- , a, b, u, v, x, y, z
Allowed substitution hints:    G( x, y, z, v, u, a, b)

Proof of Theorem istrkge
Dummy variables  f 
i  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istrkg.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 istrkg.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
3 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  ->  p  =  P )
43eqcomd 2465 . . . 4  |-  ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  ->  P  =  p )
54adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  ->  P  =  p )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  P  =  p )
76adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  ->  P  =  p )
87adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  ->  P  =  p )
9 simp-6r 772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  i  =  I )
109eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  I  =  i )
1110oveqd 6313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
x I v )  =  ( x i v ) )
1211eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
u  e.  ( x I v )  <->  u  e.  ( x i v ) ) )
1310oveqd 6313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
y I z )  =  ( y i z ) )
1413eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
u  e.  ( y I z )  <->  u  e.  ( y i z ) ) )
1512, 143anbi12d 1300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
( u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  x  =/=  u
)  <->  ( u  e.  ( x i v )  /\  u  e.  ( y i z )  /\  x  =/=  u ) ) )
168adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  P  =  p )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  ->  P  =  p )
189ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  ->  i  =  I )
1918eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  ->  I  =  i )
2019oveqd 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  ->  (
x I a )  =  ( x i a ) )
2120eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  ->  (
y  e.  ( x I a )  <->  y  e.  ( x i a ) ) )
2219oveqd 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  ->  (
x I b )  =  ( x i b ) )
2322eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  ->  (
z  e.  ( x I b )  <->  z  e.  ( x i b ) ) )
2419oveqd 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  ->  (
a I b )  =  ( a i b ) )
2524eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  ->  (
v  e.  ( a I b )  <->  v  e.  ( a i b ) ) )
2621, 23, 253anbi123d 1299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  ->  (
( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) )  <->  ( y  e.  ( x i a )  /\  z  e.  ( x i b )  /\  v  e.  ( a i b ) ) ) )
2717, 26rexeqbidva 3071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  ->  ( E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) )  <->  E. b  e.  p  ( y  e.  ( x i a )  /\  z  e.  ( x i b )  /\  v  e.  ( a i b ) ) ) )
2816, 27rexeqbidva 3071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  ( E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) )  <->  E. a  e.  p  E. b  e.  p  ( y  e.  ( x i a )  /\  z  e.  ( x i b )  /\  v  e.  ( a i b ) ) ) )
2915, 28imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
( ( u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) )  <->  ( (
u  e.  ( x i v )  /\  u  e.  ( y
i z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  p  E. b  e.  p  ( y  e.  ( x i a )  /\  z  e.  ( x i b )  /\  v  e.  ( a i b ) ) ) ) )
308, 29raleqbidva 3070 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  ->  ( A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) )  <->  A. v  e.  p  ( (
u  e.  ( x i v )  /\  u  e.  ( y
i z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  p  E. b  e.  p  ( y  e.  ( x i a )  /\  z  e.  ( x i b )  /\  v  e.  ( a i b ) ) ) ) )
317, 30raleqbidva 3070 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  ->  ( A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) )  <->  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
u  e.  ( x i v )  /\  u  e.  ( y
i z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  p  E. b  e.  p  ( y  e.  ( x i a )  /\  z  e.  ( x i b )  /\  v  e.  ( a i b ) ) ) ) )
326, 31raleqbidva 3070 . . . . 5  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  ( A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) )  <->  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
u  e.  ( x i v )  /\  u  e.  ( y
i z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  p  E. b  e.  p  ( y  e.  ( x i a )  /\  z  e.  ( x i b )  /\  v  e.  ( a i b ) ) ) ) )
335, 32raleqbidva 3070 . . . 4  |-  ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  ->  ( A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) )  <->  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
u  e.  ( x i v )  /\  u  e.  ( y
i z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  p  E. b  e.  p  ( y  e.  ( x i a )  /\  z  e.  ( x i b )  /\  v  e.  ( a i b ) ) ) ) )
344, 33raleqbidva 3070 . . 3  |-  ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  ->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) )  <->  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
u  e.  ( x i v )  /\  u  e.  ( y
i z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  p  E. b  e.  p  ( y  e.  ( x i a )  /\  z  e.  ( x i b )  /\  v  e.  ( a i b ) ) ) ) )
351, 2, 34sbcie2s 14688 . 2  |-  ( f  =  G  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  (
( u  e.  ( x i v )  /\  u  e.  ( y i z )  /\  x  =/=  u
)  ->  E. a  e.  p  E. b  e.  p  ( y  e.  ( x i a )  /\  z  e.  ( x i b )  /\  v  e.  ( a i b ) ) )  <->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( (
u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y
I z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) ) ) )
36 df-trkge 23972 . 2  |- TarskiGE  =  { f  |  [. ( Base `  f
)  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  (
( u  e.  ( x i v )  /\  u  e.  ( y i z )  /\  x  =/=  u
)  ->  E. a  e.  p  E. b  e.  p  ( y  e.  ( x i a )  /\  z  e.  ( x i b )  /\  v  e.  ( a i b ) ) ) }
3735, 36elab4g 3250 1  |-  ( G  e. TarskiGE  <->  ( G  e.  _V  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  (
( u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  x  =/=  u
)  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   [.wsbc 3327   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14643   distcds 14720  TarskiGEcstrkge 23956  Itvcitv 23957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-nul 4586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-iota 5557  df-fv 5602  df-ov 6299  df-trkge 23972
This theorem is referenced by:  axtgeucl  23995  f1otrge  24301  eengtrkge  24415
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