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Theorem istrkge 22919
Description: Property of fulfilling Euclid's axiom (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
istrkg.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
istrkg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
Assertion
Ref Expression
istrkge  |-  ( G  e. TarskiGE  <->  ( G  e.  _V  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  (
( u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  x  =/=  u
)  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z    a, b, u, v, x, y, z, I    P, a, b, u, v, x, y, z    .- , a,
b, u, v, x, y, z
Allowed substitution hints:    G( x, y, z, v, u, a, b)

Proof of Theorem istrkge
Dummy variables  p  f  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istrkg.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 istrkg.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
3 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  ->  p  =  P )
43eqcomd 2447 . . . 4  |-  ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  ->  P  =  p )
54adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  ->  P  =  p )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  P  =  p )
76adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  ->  P  =  p )
87adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  ->  P  =  p )
9 simp-6r 770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  i  =  I )
109eqcomd 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  I  =  i )
1110oveqd 6107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
x I v )  =  ( x i v ) )
1211eleq2d 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
u  e.  ( x I v )  <->  u  e.  ( x i v ) ) )
1310oveqd 6107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
y I z )  =  ( y i z ) )
1413eleq2d 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
u  e.  ( y I z )  <->  u  e.  ( y i z ) ) )
1512, 143anbi12d 1290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
( u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  x  =/=  u
)  <->  ( u  e.  ( x i v )  /\  u  e.  ( y i z )  /\  x  =/=  u ) ) )
168adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  P  =  p )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  ->  P  =  p )
189ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  ->  i  =  I )
1918eqcomd 2447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  ->  I  =  i )
2019oveqd 6107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  ->  (
x I a )  =  ( x i a ) )
2120eleq2d 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  ->  (
y  e.  ( x I a )  <->  y  e.  ( x i a ) ) )
2219oveqd 6107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  ->  (
x I b )  =  ( x i b ) )
2322eleq2d 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  ->  (
z  e.  ( x I b )  <->  z  e.  ( x i b ) ) )
2419oveqd 6107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  ->  (
a I b )  =  ( a i b ) )
2524eleq2d 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  ->  (
v  e.  ( a I b )  <->  v  e.  ( a i b ) ) )
2621, 23, 253anbi123d 1289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  ->  (
( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) )  <->  ( y  e.  ( x i a )  /\  z  e.  ( x i b )  /\  v  e.  ( a i b ) ) ) )
2717, 26rexeqbidva 2933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  ->  ( E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) )  <->  E. b  e.  p  ( y  e.  ( x i a )  /\  z  e.  ( x i b )  /\  v  e.  ( a i b ) ) ) )
2816, 27rexeqbidva 2933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  ( E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) )  <->  E. a  e.  p  E. b  e.  p  ( y  e.  ( x i a )  /\  z  e.  ( x i b )  /\  v  e.  ( a i b ) ) ) )
2915, 28imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
( ( u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) )  <->  ( (
u  e.  ( x i v )  /\  u  e.  ( y
i z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  p  E. b  e.  p  ( y  e.  ( x i a )  /\  z  e.  ( x i b )  /\  v  e.  ( a i b ) ) ) ) )
308, 29raleqbidva 2932 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  ->  ( A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) )  <->  A. v  e.  p  ( (
u  e.  ( x i v )  /\  u  e.  ( y
i z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  p  E. b  e.  p  ( y  e.  ( x i a )  /\  z  e.  ( x i b )  /\  v  e.  ( a i b ) ) ) ) )
317, 30raleqbidva 2932 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  ->  ( A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) )  <->  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
u  e.  ( x i v )  /\  u  e.  ( y
i z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  p  E. b  e.  p  ( y  e.  ( x i a )  /\  z  e.  ( x i b )  /\  v  e.  ( a i b ) ) ) ) )
326, 31raleqbidva 2932 . . . . 5  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  ( A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) )  <->  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
u  e.  ( x i v )  /\  u  e.  ( y
i z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  p  E. b  e.  p  ( y  e.  ( x i a )  /\  z  e.  ( x i b )  /\  v  e.  ( a i b ) ) ) ) )
335, 32raleqbidva 2932 . . . 4  |-  ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  ->  ( A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) )  <->  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
u  e.  ( x i v )  /\  u  e.  ( y
i z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  p  E. b  e.  p  ( y  e.  ( x i a )  /\  z  e.  ( x i b )  /\  v  e.  ( a i b ) ) ) ) )
344, 33raleqbidva 2932 . . 3  |-  ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  ->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) )  <->  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
u  e.  ( x i v )  /\  u  e.  ( y
i z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  p  E. b  e.  p  ( y  e.  ( x i a )  /\  z  e.  ( x i b )  /\  v  e.  ( a i b ) ) ) ) )
351, 2, 34sbcie2s 14216 . 2  |-  ( f  =  G  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  (
( u  e.  ( x i v )  /\  u  e.  ( y i z )  /\  x  =/=  u
)  ->  E. a  e.  p  E. b  e.  p  ( y  e.  ( x i a )  /\  z  e.  ( x i b )  /\  v  e.  ( a i b ) ) )  <->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( (
u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y
I z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) ) ) )
36 df-trkge 22911 . 2  |- TarskiGE  =  { f  |  [. ( Base `  f
)  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  (
( u  e.  ( x i v )  /\  u  e.  ( y i z )  /\  x  =/=  u
)  ->  E. a  e.  p  E. b  e.  p  ( y  e.  ( x i a )  /\  z  e.  ( x i b )  /\  v  e.  ( a i b ) ) ) }
3735, 36elab4g 3109 1  |-  ( G  e. TarskiGE  <->  ( G  e.  _V  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  (
( u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  x  =/=  u
)  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605   A.wral 2714   E.wrex 2715   _Vcvv 2971   [.wsbc 3185   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   Basecbs 14173   distcds 14246  TarskiGEcstrkge 22895  Itvcitv 22896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-nul 4420
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-iota 5380  df-fv 5425  df-ov 6093  df-trkge 22911
This theorem is referenced by:  axtgeucl  22932  f1otrge  23117  eengtrkge  23231
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