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Theorem istrkgcb 22918
Description: Property of being a Tarski geometry - congruence and betweenness part. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
istrkg.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
istrkg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
Assertion
Ref Expression
istrkgcb  |-  ( G  e. TarskiGCB  <->  ( G  e.  _V  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  E. z  e.  P  ( y  e.  ( x I z )  /\  ( y 
.-  z )  =  ( a  .-  b
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z    a, b, c, u, v, x, y, z, I    P, a, b, c, u, v, x, y, z    .- , a, b, c, u, v, x, y, z
Allowed substitution hints:    G( x, y, z, v, u, a, b, c)

Proof of Theorem istrkgcb
Dummy variables  p  d  f  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istrkg.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 istrkg.d . . 3  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 istrkg.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
4 simp1 988 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  p  =  P )
54eqcomd 2447 . . . . 5  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  P  =  p )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P
)  ->  P  =  p )
76adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  d  = 
.-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  P  =  p )
87adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  ->  P  =  p )
98adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  ->  P  =  p )
109adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  ->  P  =  p )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  = 
.-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  ->  P  =  p )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  ->  P  =  p )
13 biidd 237 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
x  =/=  y  <->  x  =/=  y ) )
14 simpll3 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  d  = 
.-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  i  =  I )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  ->  i  =  I )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  ->  i  =  I )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  ->  i  =  I )
1817adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  = 
.-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  ->  i  =  I )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  ->  i  =  I )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  i  =  I )
2120eqcomd 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  I  =  i )
2221oveqd 6107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
x I z )  =  ( x i z ) )
2322eleq2d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
y  e.  ( x I z )  <->  y  e.  ( x i z ) ) )
2421oveqd 6107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
a I c )  =  ( a i c ) )
2524eleq2d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
b  e.  ( a I c )  <->  b  e.  ( a i c ) ) )
2613, 23, 253anbi123d 1289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
( x  =/=  y  /\  y  e.  (
x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  <->  ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x i z )  /\  b  e.  ( a i c ) ) ) )
27 simpll2 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  d  = 
.-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  d  =  .-  )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  ->  d  =  .-  )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  ->  d  =  .-  )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  ->  d  =  .-  )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  = 
.-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  ->  d  =  .-  )
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  ->  d  =  .-  )
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  d  =  .-  )
3433eqcomd 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  .-  =  d )
3534oveqd 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
x  .-  y )  =  ( x d y ) )
3634oveqd 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
a  .-  b )  =  ( a d b ) )
3735, 36eqeq12d 2456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
( x  .-  y
)  =  ( a 
.-  b )  <->  ( x
d y )  =  ( a d b ) ) )
3834oveqd 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
y  .-  z )  =  ( y d z ) )
3934oveqd 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
b  .-  c )  =  ( b d c ) )
4038, 39eqeq12d 2456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
( y  .-  z
)  =  ( b 
.-  c )  <->  ( y
d z )  =  ( b d c ) ) )
4137, 40anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  <->  ( ( x d y )  =  ( a d b )  /\  ( y d z )  =  ( b d c ) ) ) )
4234oveqd 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
x  .-  u )  =  ( x d u ) )
4334oveqd 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
a  .-  v )  =  ( a d v ) )
4442, 43eqeq12d 2456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
( x  .-  u
)  =  ( a 
.-  v )  <->  ( x
d u )  =  ( a d v ) ) )
4534oveqd 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
y  .-  u )  =  ( y d u ) )
4634oveqd 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
b  .-  v )  =  ( b d v ) )
4745, 46eqeq12d 2456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
( y  .-  u
)  =  ( b 
.-  v )  <->  ( y
d u )  =  ( b d v ) ) )
4844, 47anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) )  <->  ( ( x d u )  =  ( a d v )  /\  ( y d u )  =  ( b d v ) ) ) )
4941, 48anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
( ( ( x 
.-  y )  =  ( a  .-  b
)  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) )  <-> 
( ( ( x d y )  =  ( a d b )  /\  ( y d z )  =  ( b d c ) )  /\  (
( x d u )  =  ( a d v )  /\  ( y d u )  =  ( b d v ) ) ) ) )
5026, 49anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  <->  ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x i z )  /\  b  e.  ( a i c ) )  /\  (
( ( x d y )  =  ( a d b )  /\  ( y d z )  =  ( b d c ) )  /\  ( ( x d u )  =  ( a d v )  /\  (
y d u )  =  ( b d v ) ) ) ) ) )
5134oveqd 6107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
z  .-  u )  =  ( z d u ) )
5234oveqd 6107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
c  .-  v )  =  ( c d v ) )
5351, 52eqeq12d 2456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
( z  .-  u
)  =  ( c 
.-  v )  <->  ( z
d u )  =  ( c d v ) ) )
5450, 53imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x
i z )  /\  b  e.  ( a
i c ) )  /\  ( ( ( x d y )  =  ( a d b )  /\  (
y d z )  =  ( b d c ) )  /\  ( ( x d u )  =  ( a d v )  /\  ( y d u )  =  ( b d v ) ) ) )  -> 
( z d u )  =  ( c d v ) ) ) )
5512, 54raleqbidva 2932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  c  e.  P )  ->  ( A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. v  e.  p  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x i z )  /\  b  e.  ( a i c ) )  /\  (
( ( x d y )  =  ( a d b )  /\  ( y d z )  =  ( b d c ) )  /\  ( ( x d u )  =  ( a d v )  /\  (
y d u )  =  ( b d v ) ) ) )  ->  ( z
d u )  =  ( c d v ) ) ) )
5611, 55raleqbidva 2932 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  = 
.-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  ->  ( A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. c  e.  p  A. v  e.  p  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x i z )  /\  b  e.  ( a i c ) )  /\  (
( ( x d y )  =  ( a d b )  /\  ( y d z )  =  ( b d c ) )  /\  ( ( x d u )  =  ( a d v )  /\  (
y d u )  =  ( b d v ) ) ) )  ->  ( z
d u )  =  ( c d v ) ) ) )
5710, 56raleqbidva 2932 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  a  e.  P )  ->  ( A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. b  e.  p  A. c  e.  p  A. v  e.  p  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x i z )  /\  b  e.  ( a i c ) )  /\  (
( ( x d y )  =  ( a d b )  /\  ( y d z )  =  ( b d c ) )  /\  ( ( x d u )  =  ( a d v )  /\  (
y d u )  =  ( b d v ) ) ) )  ->  ( z
d u )  =  ( c d v ) ) ) )
589, 57raleqbidva 2932 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  ->  ( A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. a  e.  p  A. b  e.  p  A. c  e.  p  A. v  e.  p  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x i z )  /\  b  e.  ( a i c ) )  /\  (
( ( x d y )  =  ( a d b )  /\  ( y d z )  =  ( b d c ) )  /\  ( ( x d u )  =  ( a d v )  /\  (
y d u )  =  ( b d v ) ) ) )  ->  ( z
d u )  =  ( c d v ) ) ) )
598, 58raleqbidva 2932 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  ->  ( A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. u  e.  p  A. a  e.  p  A. b  e.  p  A. c  e.  p  A. v  e.  p  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x i z )  /\  b  e.  ( a i c ) )  /\  (
( ( x d y )  =  ( a d b )  /\  ( y d z )  =  ( b d c ) )  /\  ( ( x d u )  =  ( a d v )  /\  (
y d u )  =  ( b d v ) ) ) )  ->  ( z
d u )  =  ( c d v ) ) ) )
607, 59raleqbidva 2932 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  d  = 
.-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  ( A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. a  e.  p  A. b  e.  p  A. c  e.  p  A. v  e.  p  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x i z )  /\  b  e.  ( a i c ) )  /\  (
( ( x d y )  =  ( a d b )  /\  ( y d z )  =  ( b d c ) )  /\  ( ( x d u )  =  ( a d v )  /\  (
y d u )  =  ( b d v ) ) ) )  ->  ( z
d u )  =  ( c d v ) ) ) )
616, 60raleqbidva 2932 . . . . 5  |-  ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P
)  ->  ( A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  (
( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. a  e.  p  A. b  e.  p  A. c  e.  p  A. v  e.  p  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x i z )  /\  b  e.  ( a i c ) )  /\  (
( ( x d y )  =  ( a d b )  /\  ( y d z )  =  ( b d c ) )  /\  ( ( x d u )  =  ( a d v )  /\  (
y d u )  =  ( b d v ) ) ) )  ->  ( z
d u )  =  ( c d v ) ) ) )
625, 61raleqbidva 2932 . . . 4  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. a  e.  p  A. b  e.  p  A. c  e.  p  A. v  e.  p  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x i z )  /\  b  e.  ( a i c ) )  /\  (
( ( x d y )  =  ( a d b )  /\  ( y d z )  =  ( b d c ) )  /\  ( ( x d u )  =  ( a d v )  /\  (
y d u )  =  ( b d v ) ) ) )  ->  ( z
d u )  =  ( c d v ) ) ) )
637adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  e.  P )  ->  P  =  p )
6463adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  ->  P  =  p )
6514ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  z  e.  P )  ->  i  =  I )
6665eqcomd 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  z  e.  P )  ->  I  =  i )
6766oveqd 6107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  z  e.  P )  ->  (
x I z )  =  ( x i z ) )
6867eleq2d 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  z  e.  P )  ->  (
y  e.  ( x I z )  <->  y  e.  ( x i z ) ) )
6927ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  z  e.  P )  ->  d  =  .-  )
7069eqcomd 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  z  e.  P )  ->  .-  =  d )
7170oveqd 6107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  z  e.  P )  ->  (
y  .-  z )  =  ( y d z ) )
7270oveqd 6107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  z  e.  P )  ->  (
a  .-  b )  =  ( a d b ) )
7371, 72eqeq12d 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  z  e.  P )  ->  (
( y  .-  z
)  =  ( a 
.-  b )  <->  ( y
d z )  =  ( a d b ) ) )
7468, 73anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  z  e.  P )  ->  (
( y  e.  ( x I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( a  .-  b ) )  <->  ( y  e.  ( x i z )  /\  ( y d z )  =  ( a d b ) ) ) )
7564, 74rexeqbidva 2933 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  ->  ( E. z  e.  P  ( y  e.  ( x I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( a  .-  b ) )  <->  E. z  e.  p  ( y  e.  ( x i z )  /\  ( y d z )  =  ( a d b ) ) ) )
7663, 75raleqbidva 2932 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  e.  P )  ->  ( A. b  e.  P  E. z  e.  P  ( y  e.  ( x I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( a  .-  b ) )  <->  A. b  e.  p  E. z  e.  p  ( y  e.  ( x i z )  /\  ( y d z )  =  ( a d b ) ) ) )
777, 76raleqbidva 2932 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  d  = 
.-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  ( A. a  e.  P  A. b  e.  P  E. z  e.  P  ( y  e.  ( x I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( a  .-  b ) )  <->  A. a  e.  p  A. b  e.  p  E. z  e.  p  ( y  e.  ( x i z )  /\  ( y d z )  =  ( a d b ) ) ) )
786, 77raleqbidva 2932 . . . . 5  |-  ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P
)  ->  ( A. y  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  E. z  e.  P  (
y  e.  ( x I z )  /\  ( y  .-  z
)  =  ( a 
.-  b ) )  <->  A. y  e.  p  A. a  e.  p  A. b  e.  p  E. z  e.  p  ( y  e.  ( x i z )  /\  ( y d z )  =  ( a d b ) ) ) )
795, 78raleqbidva 2932 . . . 4  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  E. z  e.  P  ( y  e.  ( x I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( a  .-  b ) )  <->  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. a  e.  p  A. b  e.  p  E. z  e.  p  ( y  e.  ( x i z )  /\  ( y d z )  =  ( a d b ) ) ) )
8062, 79anbi12d 710 . . 3  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a
I c ) )  /\  ( ( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  (
y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  -> 
( z  .-  u
)  =  ( c 
.-  v ) )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  E. z  e.  P  ( y  e.  ( x I z )  /\  ( y 
.-  z )  =  ( a  .-  b
) ) )  <->  ( A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. a  e.  p  A. b  e.  p  A. c  e.  p  A. v  e.  p  (
( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x i z )  /\  b  e.  ( a i c ) )  /\  (
( ( x d y )  =  ( a d b )  /\  ( y d z )  =  ( b d c ) )  /\  ( ( x d u )  =  ( a d v )  /\  (
y d u )  =  ( b d v ) ) ) )  ->  ( z
d u )  =  ( c d v ) )  /\  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. a  e.  p  A. b  e.  p  E. z  e.  p  (
y  e.  ( x i z )  /\  ( y d z )  =  ( a d b ) ) ) ) )
811, 2, 3, 80sbcie3s 14217 . 2  |-  ( f  =  G  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  p ]. [. ( dist `  f
)  /  d ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. ( A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. a  e.  p  A. b  e.  p  A. c  e.  p  A. v  e.  p  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x i z )  /\  b  e.  ( a i c ) )  /\  (
( ( x d y )  =  ( a d b )  /\  ( y d z )  =  ( b d c ) )  /\  ( ( x d u )  =  ( a d v )  /\  (
y d u )  =  ( b d v ) ) ) )  ->  ( z
d u )  =  ( c d v ) )  /\  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. a  e.  p  A. b  e.  p  E. z  e.  p  (
y  e.  ( x i z )  /\  ( y d z )  =  ( a d b ) ) )  <->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( (
( x  =/=  y  /\  y  e.  (
x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  ( ( ( x  .-  y
)  =  ( a 
.-  b )  /\  ( y  .-  z
)  =  ( b 
.-  c ) )  /\  ( ( x 
.-  u )  =  ( a  .-  v
)  /\  ( y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  -> 
( z  .-  u
)  =  ( c 
.-  v ) )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  E. z  e.  P  ( y  e.  ( x I z )  /\  ( y 
.-  z )  =  ( a  .-  b
) ) ) ) )
82 df-trkgcb 22910 . 2  |- TarskiGCB  =  { f  |  [. ( Base `  f
)  /  p ]. [. ( dist `  f
)  /  d ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. ( A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. a  e.  p  A. b  e.  p  A. c  e.  p  A. v  e.  p  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x i z )  /\  b  e.  ( a i c ) )  /\  (
( ( x d y )  =  ( a d b )  /\  ( y d z )  =  ( b d c ) )  /\  ( ( x d u )  =  ( a d v )  /\  (
y d u )  =  ( b d v ) ) ) )  ->  ( z
d u )  =  ( c d v ) )  /\  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. a  e.  p  A. b  e.  p  E. z  e.  p  (
y  e.  ( x i z )  /\  ( y d z )  =  ( a d b ) ) ) }
8381, 82elab4g 3109 1  |-  ( G  e. TarskiGCB  <->  ( G  e.  _V  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  E. z  e.  P  ( y  e.  ( x I z )  /\  ( y 
.-  z )  =  ( a  .-  b
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605   A.wral 2714   E.wrex 2715   _Vcvv 2971   [.wsbc 3185   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   Basecbs 14173   distcds 14246  TarskiGCBcstrkgcb 22891  Itvcitv 22896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-nul 4420
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-iota 5380  df-fv 5425  df-ov 6093  df-trkgcb 22910
This theorem is referenced by:  axtgsegcon  22924  axtg5seg  22925  f1otrg  23116  eengtrkg  23230
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