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Theorem istrkgc 23717
Description: Property of being a Tarski geometry - congruence part. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
istrkg.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
istrkg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
Assertion
Ref Expression
istrkgc  |-  ( G  e. TarskiGC  <->  ( G  e.  _V  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  .-  y )  =  ( y  .-  x )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  (
( x  .-  y
)  =  ( z 
.-  z )  ->  x  =  y )
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, I    x, P, y, z    x,  .- , y,
z
Allowed substitution hints:    G( x, y, z)

Proof of Theorem istrkgc
Dummy variables  f 
d  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istrkg.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 istrkg.d . . 3  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  )  ->  p  =  P )
43eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  )  ->  P  =  p )
54adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  )  /\  x  e.  P
)  ->  P  =  p )
6 simpllr 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  d  = 
.-  )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  d  =  .-  )
76eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  d  = 
.-  )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  .-  =  d )
87oveqd 6312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  d  = 
.-  )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  (
x  .-  y )  =  ( x d y ) )
97oveqd 6312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  d  = 
.-  )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  (
y  .-  x )  =  ( y d x ) )
108, 9eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  d  = 
.-  )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  (
( x  .-  y
)  =  ( y 
.-  x )  <->  ( x
d y )  =  ( y d x ) ) )
115, 10raleqbidva 3079 . . . . 5  |-  ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  )  /\  x  e.  P
)  ->  ( A. y  e.  P  (
x  .-  y )  =  ( y  .-  x )  <->  A. y  e.  p  ( x
d y )  =  ( y d x ) ) )
124, 11raleqbidva 3079 . . . 4  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  )  -> 
( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  .-  y )  =  ( y  .-  x )  <->  A. x  e.  p  A. y  e.  p  ( x d y )  =  ( y d x ) ) )
135adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  d  = 
.-  )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  P  =  p )
148adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  ->  (
x  .-  y )  =  ( x d y ) )
157proplem3 14963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  ->  (
z  .-  z )  =  ( z d z ) )
1614, 15eqeq12d 2489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  ->  (
( x  .-  y
)  =  ( z 
.-  z )  <->  ( x
d y )  =  ( z d z ) ) )
1716imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  ->  (
( ( x  .-  y )  =  ( z  .-  z )  ->  x  =  y )  <->  ( ( x d y )  =  ( z d z )  ->  x  =  y ) ) )
1813, 17raleqbidva 3079 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  d  = 
.-  )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  ( A. z  e.  P  ( ( x  .-  y )  =  ( z  .-  z )  ->  x  =  y )  <->  A. z  e.  p  ( ( x d y )  =  ( z d z )  ->  x  =  y ) ) )
195, 18raleqbidva 3079 . . . . 5  |-  ( ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  )  /\  x  e.  P
)  ->  ( A. y  e.  P  A. z  e.  P  (
( x  .-  y
)  =  ( z 
.-  z )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  p  A. z  e.  p  (
( x d y )  =  ( z d z )  ->  x  =  y )
) )
204, 19raleqbidva 3079 . . . 4  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  )  -> 
( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  ( ( x 
.-  y )  =  ( z  .-  z
)  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  ( (
x d y )  =  ( z d z )  ->  x  =  y ) ) )
2112, 20anbi12d 710 . . 3  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  )  -> 
( ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  .-  y )  =  ( y  .-  x )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  ( ( x 
.-  y )  =  ( z  .-  z
)  ->  x  =  y ) )  <->  ( A. x  e.  p  A. y  e.  p  (
x d y )  =  ( y d x )  /\  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  (
( x d y )  =  ( z d z )  ->  x  =  y )
) ) )
221, 2, 21sbcie2s 14550 . 2  |-  ( f  =  G  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  p ]. [. ( dist `  f
)  /  d ]. ( A. x  e.  p  A. y  e.  p  ( x d y )  =  ( y d x )  /\  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  (
( x d y )  =  ( z d z )  ->  x  =  y )
)  <->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  .-  y )  =  ( y  .-  x )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  ( ( x 
.-  y )  =  ( z  .-  z
)  ->  x  =  y ) ) ) )
23 df-trkgc 23710 . 2  |- TarskiGC  =  { f  |  [. ( Base `  f
)  /  p ]. [. ( dist `  f
)  /  d ]. ( A. x  e.  p  A. y  e.  p  ( x d y )  =  ( y d x )  /\  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  (
( x d y )  =  ( z d z )  ->  x  =  y )
) }
2422, 23elab4g 3259 1  |-  ( G  e. TarskiGC  <->  ( G  e.  _V  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  .-  y )  =  ( y  .-  x )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  (
( x  .-  y
)  =  ( z 
.-  z )  ->  x  =  y )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118   [.wsbc 3336   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   distcds 14581  TarskiGCcstrkgc 23692  Itvcitv 23698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-nul 4582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-iota 5557  df-fv 5602  df-ov 6298  df-trkgc 23710
This theorem is referenced by:  axtgcgrrflx  23725  axtgcgrid  23726  f1otrg  23997  xmstrkgc  24012  eengtrkg  24111
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