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Theorem istrkgb 23716
Description: Property of being a Tarski geometry - betweenness part. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
istrkg.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
istrkg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
Assertion
Ref Expression
istrkgb  |-  ( G  e. TarskiGB  <->  ( G  e.  _V  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( y  e.  ( x I x )  ->  x  =  y )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( (
u  e.  ( x I z )  /\  v  e.  ( y
I z ) )  ->  E. a  e.  P  ( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) ) )  /\  A. s  e.  ~P  P A. t  e.  ~P  P ( E. a  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x I y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
s, t, u, v, x, y, z, I    P, a, b, s, t, u, v, x, y, z    .- , a, b, u, v, x, y, z
Allowed substitution hints:    G( x, y, z, v, u, t, s, a, b)    .- ( t,
s)

Proof of Theorem istrkgb
Dummy variables  f 
i  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istrkg.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 istrkg.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
3 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  ->  p  =  P )
43eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  ->  P  =  p )
54adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  ->  P  =  p )
6 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  i  =  I )
76eqcomd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  I  =  i )
87oveqd 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  (
x I x )  =  ( x i x ) )
98eleq2d 2537 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  (
y  e.  ( x I x )  <->  y  e.  ( x i x ) ) )
109imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  (
( y  e.  ( x I x )  ->  x  =  y )  <->  ( y  e.  ( x i x )  ->  x  =  y ) ) )
115, 10raleqbidva 3079 . . . . 5  |-  ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  ->  ( A. y  e.  P  ( y  e.  ( x I x )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  p  ( y  e.  ( x i x )  ->  x  =  y ) ) )
124, 11raleqbidva 3079 . . . 4  |-  ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  ->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( y  e.  ( x I x )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  p  A. y  e.  p  ( y  e.  ( x i x )  ->  x  =  y ) ) )
135adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  P  =  p )
1413adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  ->  P  =  p )
1514adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  ->  P  =  p )
16 simp-6r 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  i  =  I )
1716eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  I  =  i )
1817oveqd 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
x I z )  =  ( x i z ) )
1918eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
u  e.  ( x I z )  <->  u  e.  ( x i z ) ) )
2017oveqd 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
y I z )  =  ( y i z ) )
2120eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
v  e.  ( y I z )  <->  v  e.  ( y i z ) ) )
2219, 21anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
( u  e.  ( x I z )  /\  v  e.  ( y I z ) )  <->  ( u  e.  ( x i z )  /\  v  e.  ( y i z ) ) ) )
2315adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  P  =  p )
2417proplem3 14962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  ->  (
u I y )  =  ( u i y ) )
2524eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  ->  (
a  e.  ( u I y )  <->  a  e.  ( u i y ) ) )
2617proplem3 14962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  ->  (
v I x )  =  ( v i x ) )
2726eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  ->  (
a  e.  ( v I x )  <->  a  e.  ( v i x ) ) )
2825, 27anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  ->  (
( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) )  <->  ( a  e.  ( u i y )  /\  a  e.  ( v i x ) ) ) )
2923, 28rexeqbidva 3080 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  ( E. a  e.  P  ( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) )  <->  E. a  e.  p  ( a  e.  ( u i y )  /\  a  e.  ( v i x ) ) ) )
3022, 29imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
( ( u  e.  ( x I z )  /\  v  e.  ( y I z ) )  ->  E. a  e.  P  ( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) ) )  <->  ( (
u  e.  ( x i z )  /\  v  e.  ( y
i z ) )  ->  E. a  e.  p  ( a  e.  ( u i y )  /\  a  e.  ( v i x ) ) ) ) )
3115, 30raleqbidva 3079 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  ->  ( A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I z )  /\  v  e.  ( y I z ) )  ->  E. a  e.  P  ( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) ) )  <->  A. v  e.  p  ( (
u  e.  ( x i z )  /\  v  e.  ( y
i z ) )  ->  E. a  e.  p  ( a  e.  ( u i y )  /\  a  e.  ( v i x ) ) ) ) )
3214, 31raleqbidva 3079 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  ->  ( A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I z )  /\  v  e.  ( y I z ) )  ->  E. a  e.  P  ( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) ) )  <->  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
u  e.  ( x i z )  /\  v  e.  ( y
i z ) )  ->  E. a  e.  p  ( a  e.  ( u i y )  /\  a  e.  ( v i x ) ) ) ) )
3313, 32raleqbidva 3079 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  ( A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I z )  /\  v  e.  ( y I z ) )  ->  E. a  e.  P  ( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) ) )  <->  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
u  e.  ( x i z )  /\  v  e.  ( y
i z ) )  ->  E. a  e.  p  ( a  e.  ( u i y )  /\  a  e.  ( v i x ) ) ) ) )
345, 33raleqbidva 3079 . . . . 5  |-  ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  ->  ( A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I z )  /\  v  e.  ( y I z ) )  ->  E. a  e.  P  ( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) ) )  <->  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
u  e.  ( x i z )  /\  v  e.  ( y
i z ) )  ->  E. a  e.  p  ( a  e.  ( u i y )  /\  a  e.  ( v i x ) ) ) ) )
354, 34raleqbidva 3079 . . . 4  |-  ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  ->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I z )  /\  v  e.  ( y I z ) )  ->  E. a  e.  P  ( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) ) )  <->  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
u  e.  ( x i z )  /\  v  e.  ( y
i z ) )  ->  E. a  e.  p  ( a  e.  ( u i y )  /\  a  e.  ( v i x ) ) ) ) )
364pweqd 4021 . . . . 5  |-  ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  ->  ~P P  =  ~P p )
3736adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e. 
~P P )  ->  ~P P  =  ~P p )
384ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  ->  P  =  p )
39 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  /\  a  e.  P )  ->  i  =  I )
4039eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  /\  a  e.  P )  ->  I  =  i )
4140oveqd 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  /\  a  e.  P )  ->  (
a I y )  =  ( a i y ) )
4241eleq2d 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  /\  a  e.  P )  ->  (
x  e.  ( a I y )  <->  x  e.  ( a i y ) ) )
43422ralbidv 2911 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  /\  a  e.  P )  ->  ( A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a
I y )  <->  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a i y ) ) )
4438, 43rexeqbidva 3080 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  ->  ( E. a  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y )  <->  E. a  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a
i y ) ) )
45 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  /\  b  e.  P )  ->  i  =  I )
4645eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  /\  b  e.  P )  ->  I  =  i )
4746oveqd 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  /\  b  e.  P )  ->  (
x I y )  =  ( x i y ) )
4847eleq2d 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  /\  b  e.  P )  ->  (
b  e.  ( x I y )  <->  b  e.  ( x i y ) ) )
49482ralbidv 2911 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  /\  b  e.  P )  ->  ( A. x  e.  s  A. y  e.  t 
b  e.  ( x I y )  <->  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x i y ) ) )
5038, 49rexeqbidva 3080 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  ->  ( E. b  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x I y )  <->  E. b  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t 
b  e.  ( x i y ) ) )
5144, 50imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  ->  ( ( E. a  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a
I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t 
b  e.  ( x I y ) )  <-> 
( E. a  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a i y )  ->  E. b  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t 
b  e.  ( x i y ) ) ) )
5237, 51raleqbidva 3079 . . . . 5  |-  ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e. 
~P P )  -> 
( A. t  e. 
~P  P ( E. a  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x I y ) )  <->  A. t  e.  ~P  p ( E. a  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a i y )  ->  E. b  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x i y ) ) ) )
5336, 52raleqbidva 3079 . . . 4  |-  ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  ->  ( A. s  e. 
~P  P A. t  e.  ~P  P ( E. a  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x I y ) )  <->  A. s  e.  ~P  p A. t  e.  ~P  p ( E. a  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a i y )  ->  E. b  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x i y ) ) ) )
5412, 35, 533anbi123d 1299 . . 3  |-  ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  ->  ( ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( y  e.  ( x I x )  ->  x  =  y )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  (
( u  e.  ( x I z )  /\  v  e.  ( y I z ) )  ->  E. a  e.  P  ( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) ) )  /\  A. s  e.  ~P  P A. t  e.  ~P  P ( E. a  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x I y ) ) )  <->  ( A. x  e.  p  A. y  e.  p  (
y  e.  ( x i x )  ->  x  =  y )  /\  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( ( u  e.  ( x i z )  /\  v  e.  ( y i z ) )  ->  E. a  e.  p  ( a  e.  ( u i y )  /\  a  e.  ( v i x ) ) )  /\  A. s  e.  ~P  p A. t  e.  ~P  p ( E. a  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a i y )  ->  E. b  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x i y ) ) ) ) )
551, 2, 54sbcie2s 14549 . 2  |-  ( f  =  G  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. ( A. x  e.  p  A. y  e.  p  ( y  e.  ( x i x )  ->  x  =  y )  /\  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
u  e.  ( x i z )  /\  v  e.  ( y
i z ) )  ->  E. a  e.  p  ( a  e.  ( u i y )  /\  a  e.  ( v i x ) ) )  /\  A. s  e.  ~P  p A. t  e.  ~P  p ( E. a  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a i y )  ->  E. b  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x i y ) ) )  <->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
y  e.  ( x I x )  ->  x  =  y )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I z )  /\  v  e.  ( y I z ) )  ->  E. a  e.  P  ( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) ) )  /\  A. s  e.  ~P  P A. t  e.  ~P  P ( E. a  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x I y ) ) ) ) )
56 df-trkgb 23709 . 2  |- TarskiGB  =  { f  |  [. ( Base `  f
)  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. ( A. x  e.  p  A. y  e.  p  ( y  e.  ( x i x )  ->  x  =  y )  /\  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
u  e.  ( x i z )  /\  v  e.  ( y
i z ) )  ->  E. a  e.  p  ( a  e.  ( u i y )  /\  a  e.  ( v i x ) ) )  /\  A. s  e.  ~P  p A. t  e.  ~P  p ( E. a  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a i y )  ->  E. b  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x i y ) ) ) }
5755, 56elab4g 3259 1  |-  ( G  e. TarskiGB  <->  ( G  e.  _V  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( y  e.  ( x I x )  ->  x  =  y )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( (
u  e.  ( x I z )  /\  v  e.  ( y
I z ) )  ->  E. a  e.  P  ( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) ) )  /\  A. s  e.  ~P  P A. t  e.  ~P  P ( E. a  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x I y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   [.wsbc 3336   ~Pcpw 4016   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14506   distcds 14580  TarskiGBcstrkgb 23691  Itvcitv 23696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-nul 4582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-iota 5557  df-fv 5602  df-ov 6298  df-trkgb 23709
This theorem is referenced by:  axtgbtwnid  23727  axtgpasch  23728  axtgcont1  23729  f1otrg  24006  eengtrkg  24120
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