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Theorem istrkgb 22930
Description: Property of being a Tarski geometry - betweenness part. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
istrkg.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
istrkg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
Assertion
Ref Expression
istrkgb  |-  ( G  e. TarskiGB  <->  ( G  e.  _V  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( y  e.  ( x I x )  ->  x  =  y )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( (
u  e.  ( x I z )  /\  v  e.  ( y
I z ) )  ->  E. a  e.  P  ( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) ) )  /\  A. s  e.  ~P  P A. t  e.  ~P  P ( E. a  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x I y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z    a, b, s, t, u, v, x, y, z, I    P, a, b, s, t, u, v, x, y, z    .- , a, b, u, v, x, y, z
Allowed substitution hints:    G( x, y, z, v, u, t, s, a, b)    .- ( t,
s)

Proof of Theorem istrkgb
Dummy variables  p  f  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istrkg.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 istrkg.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
3 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  ->  p  =  P )
43eqcomd 2448 . . . . 5  |-  ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  ->  P  =  p )
54adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  ->  P  =  p )
6 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  i  =  I )
76eqcomd 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  I  =  i )
87oveqd 6120 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  (
x I x )  =  ( x i x ) )
98eleq2d 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  (
y  e.  ( x I x )  <->  y  e.  ( x i x ) ) )
109imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  (
( y  e.  ( x I x )  ->  x  =  y )  <->  ( y  e.  ( x i x )  ->  x  =  y ) ) )
115, 10raleqbidva 2945 . . . . 5  |-  ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  ->  ( A. y  e.  P  ( y  e.  ( x I x )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  p  ( y  e.  ( x i x )  ->  x  =  y ) ) )
124, 11raleqbidva 2945 . . . 4  |-  ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  ->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( y  e.  ( x I x )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  p  A. y  e.  p  ( y  e.  ( x i x )  ->  x  =  y ) ) )
135adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  P  =  p )
1413adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  ->  P  =  p )
1514adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  ->  P  =  p )
16 simp-6r 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  i  =  I )
1716eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  I  =  i )
1817oveqd 6120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
x I z )  =  ( x i z ) )
1918eleq2d 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
u  e.  ( x I z )  <->  u  e.  ( x i z ) ) )
2017oveqd 6120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
y I z )  =  ( y i z ) )
2120eleq2d 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
v  e.  ( y I z )  <->  v  e.  ( y i z ) ) )
2219, 21anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
( u  e.  ( x I z )  /\  v  e.  ( y I z ) )  <->  ( u  e.  ( x i z )  /\  v  e.  ( y i z ) ) ) )
2315adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  P  =  p )
2417proplem3 14641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  ->  (
u I y )  =  ( u i y ) )
2524eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  ->  (
a  e.  ( u I y )  <->  a  e.  ( u i y ) ) )
2617proplem3 14641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  ->  (
v I x )  =  ( v i x ) )
2726eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  ->  (
a  e.  ( v I x )  <->  a  e.  ( v i x ) ) )
2825, 27anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  /\  a  e.  P )  ->  (
( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) )  <->  ( a  e.  ( u i y )  /\  a  e.  ( v i x ) ) ) )
2923, 28rexeqbidva 2946 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  ( E. a  e.  P  ( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) )  <->  E. a  e.  p  ( a  e.  ( u i y )  /\  a  e.  ( v i x ) ) ) )
3022, 29imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P )  ->  (
( ( u  e.  ( x I z )  /\  v  e.  ( y I z ) )  ->  E. a  e.  P  ( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) ) )  <->  ( (
u  e.  ( x i z )  /\  v  e.  ( y
i z ) )  ->  E. a  e.  p  ( a  e.  ( u i y )  /\  a  e.  ( v i x ) ) ) ) )
3115, 30raleqbidva 2945 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  /\  u  e.  P )  ->  ( A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I z )  /\  v  e.  ( y I z ) )  ->  E. a  e.  P  ( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) ) )  <->  A. v  e.  p  ( (
u  e.  ( x i z )  /\  v  e.  ( y
i z ) )  ->  E. a  e.  p  ( a  e.  ( u i y )  /\  a  e.  ( v i x ) ) ) ) )
3214, 31raleqbidva 2945 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  z  e.  P )  ->  ( A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I z )  /\  v  e.  ( y I z ) )  ->  E. a  e.  P  ( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) ) )  <->  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
u  e.  ( x i z )  /\  v  e.  ( y
i z ) )  ->  E. a  e.  p  ( a  e.  ( u i y )  /\  a  e.  ( v i x ) ) ) ) )
3313, 32raleqbidva 2945 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  ->  ( A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I z )  /\  v  e.  ( y I z ) )  ->  E. a  e.  P  ( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) ) )  <->  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
u  e.  ( x i z )  /\  v  e.  ( y
i z ) )  ->  E. a  e.  p  ( a  e.  ( u i y )  /\  a  e.  ( v i x ) ) ) ) )
345, 33raleqbidva 2945 . . . . 5  |-  ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  x  e.  P )  ->  ( A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I z )  /\  v  e.  ( y I z ) )  ->  E. a  e.  P  ( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) ) )  <->  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
u  e.  ( x i z )  /\  v  e.  ( y
i z ) )  ->  E. a  e.  p  ( a  e.  ( u i y )  /\  a  e.  ( v i x ) ) ) ) )
354, 34raleqbidva 2945 . . . 4  |-  ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  ->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I z )  /\  v  e.  ( y I z ) )  ->  E. a  e.  P  ( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) ) )  <->  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
u  e.  ( x i z )  /\  v  e.  ( y
i z ) )  ->  E. a  e.  p  ( a  e.  ( u i y )  /\  a  e.  ( v i x ) ) ) ) )
364pweqd 3877 . . . . 5  |-  ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  ->  ~P P  =  ~P p )
3736adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e. 
~P P )  ->  ~P P  =  ~P p )
384ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  ->  P  =  p )
39 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  /\  a  e.  P )  ->  i  =  I )
4039eqcomd 2448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  /\  a  e.  P )  ->  I  =  i )
4140oveqd 6120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  /\  a  e.  P )  ->  (
a I y )  =  ( a i y ) )
4241eleq2d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  /\  a  e.  P )  ->  (
x  e.  ( a I y )  <->  x  e.  ( a i y ) ) )
43422ralbidv 2769 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  /\  a  e.  P )  ->  ( A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a
I y )  <->  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a i y ) ) )
4438, 43rexeqbidva 2946 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  ->  ( E. a  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y )  <->  E. a  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a
i y ) ) )
45 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  /\  b  e.  P )  ->  i  =  I )
4645eqcomd 2448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  /\  b  e.  P )  ->  I  =  i )
4746oveqd 6120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  /\  b  e.  P )  ->  (
x I y )  =  ( x i y ) )
4847eleq2d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  /\  b  e.  P )  ->  (
b  e.  ( x I y )  <->  b  e.  ( x i y ) ) )
49482ralbidv 2769 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  /\  b  e.  P )  ->  ( A. x  e.  s  A. y  e.  t 
b  e.  ( x I y )  <->  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x i y ) ) )
5038, 49rexeqbidva 2946 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  ->  ( E. b  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x I y )  <->  E. b  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t 
b  e.  ( x i y ) ) )
5144, 50imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e.  ~P P )  /\  t  e.  ~P P
)  ->  ( ( E. a  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a
I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t 
b  e.  ( x I y ) )  <-> 
( E. a  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a i y )  ->  E. b  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t 
b  e.  ( x i y ) ) ) )
5237, 51raleqbidva 2945 . . . . 5  |-  ( ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  /\  s  e. 
~P P )  -> 
( A. t  e. 
~P  P ( E. a  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x I y ) )  <->  A. t  e.  ~P  p ( E. a  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a i y )  ->  E. b  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x i y ) ) ) )
5336, 52raleqbidva 2945 . . . 4  |-  ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  ->  ( A. s  e. 
~P  P A. t  e.  ~P  P ( E. a  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x I y ) )  <->  A. s  e.  ~P  p A. t  e.  ~P  p ( E. a  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a i y )  ->  E. b  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x i y ) ) ) )
5412, 35, 533anbi123d 1289 . . 3  |-  ( ( p  =  P  /\  i  =  I )  ->  ( ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( y  e.  ( x I x )  ->  x  =  y )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  (
( u  e.  ( x I z )  /\  v  e.  ( y I z ) )  ->  E. a  e.  P  ( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) ) )  /\  A. s  e.  ~P  P A. t  e.  ~P  P ( E. a  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x I y ) ) )  <->  ( A. x  e.  p  A. y  e.  p  (
y  e.  ( x i x )  ->  x  =  y )  /\  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( ( u  e.  ( x i z )  /\  v  e.  ( y i z ) )  ->  E. a  e.  p  ( a  e.  ( u i y )  /\  a  e.  ( v i x ) ) )  /\  A. s  e.  ~P  p A. t  e.  ~P  p ( E. a  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a i y )  ->  E. b  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x i y ) ) ) ) )
551, 2, 54sbcie2s 14229 . 2  |-  ( f  =  G  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. ( A. x  e.  p  A. y  e.  p  ( y  e.  ( x i x )  ->  x  =  y )  /\  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
u  e.  ( x i z )  /\  v  e.  ( y
i z ) )  ->  E. a  e.  p  ( a  e.  ( u i y )  /\  a  e.  ( v i x ) ) )  /\  A. s  e.  ~P  p A. t  e.  ~P  p ( E. a  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a i y )  ->  E. b  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x i y ) ) )  <->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
y  e.  ( x I x )  ->  x  =  y )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I z )  /\  v  e.  ( y I z ) )  ->  E. a  e.  P  ( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) ) )  /\  A. s  e.  ~P  P A. t  e.  ~P  P ( E. a  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x I y ) ) ) ) )
56 df-trkgb 22922 . 2  |- TarskiGB  =  { f  |  [. ( Base `  f
)  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. ( A. x  e.  p  A. y  e.  p  ( y  e.  ( x i x )  ->  x  =  y )  /\  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
u  e.  ( x i z )  /\  v  e.  ( y
i z ) )  ->  E. a  e.  p  ( a  e.  ( u i y )  /\  a  e.  ( v i x ) ) )  /\  A. s  e.  ~P  p A. t  e.  ~P  p ( E. a  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a i y )  ->  E. b  e.  p  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x i y ) ) ) }
5755, 56elab4g 3122 1  |-  ( G  e. TarskiGB  <->  ( G  e.  _V  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( y  e.  ( x I x )  ->  x  =  y )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( (
u  e.  ( x I z )  /\  v  e.  ( y
I z ) )  ->  E. a  e.  P  ( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) ) )  /\  A. s  e.  ~P  P A. t  e.  ~P  P ( E. a  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x I y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   E.wrex 2728   _Vcvv 2984   [.wsbc 3198   ~Pcpw 3872   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Basecbs 14186   distcds 14259  TarskiGBcstrkgb 22903  Itvcitv 22909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-nul 4433
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-iota 5393  df-fv 5438  df-ov 6106  df-trkgb 22922
This theorem is referenced by:  axtgbtwnid  22939  axtgpasch  22940  axtgcont1  22941  f1otrg  23129  eengtrkg  23243
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