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Theorem istrkg2ld 24508
Description: Property of fulfilling the lower dimension 2 axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
istrkg.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
istrkg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
Assertion
Ref Expression
istrkg2ld  |-  ( G  e.  V  ->  ( GDimTarskiG 2 
<->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, I    x, P, y, z    x,  .- , y,
z
Allowed substitution hints:    G( x, y, z)    V( x, y, z)

Proof of Theorem istrkg2ld
Dummy variables  f 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 10969 . . . 4  |-  2  e.  ZZ
2 uzid 11173 . . . 4  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
4 istrkg.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  G
)
5 istrkg.d . . . 4  |-  .-  =  ( dist `  G )
6 istrkg.i . . . 4  |-  I  =  (Itv `  G )
74, 5, 6istrkgld 24507 . . 3  |-  ( ( G  e.  V  /\  2  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( GDimTarskiG 2  <->  E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
83, 7mpan2 677 . 2  |-  ( G  e.  V  ->  ( GDimTarskiG 2 
<->  E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
9 r19.41v 2942 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  P  ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  /\  f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )  <->  ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  /\  f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) )
10 ancom 452 . . . . . 6  |-  ( ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  /\  f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )  <->  ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
1110rexbii 2889 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  P  ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  /\  f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )  <->  E. x  e.  P  ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
12 ancom 452 . . . . 5  |-  ( ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  /\  f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )  <->  ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
139, 11, 123bitr3ri 280 . . . 4  |-  ( ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. x  e.  P  ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
1413exbii 1718 . . 3  |-  ( E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. f E. x  e.  P  ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
15 rexcom4 3067 . . 3  |-  ( E. x  e.  P  E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. f E. x  e.  P  ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
16 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  ->  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
1716reximi 2855 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  ->  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
1817reximi 2855 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  ->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
1918adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  ->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
2019exlimiv 1776 . . . . . 6  |-  ( E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  ->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
2120adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P  /\  E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )  ->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
22 1ex 9638 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  _V
23 vex 3048 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
2422, 23f1osn 5852 . . . . . . . . 9  |-  { <. 1 ,  x >. } : { 1 } -1-1-onto-> { x }
25 f1of1 5813 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 1 ,  x >. } : { 1 } -1-1-onto-> { x }  ->  {
<. 1 ,  x >. } : { 1 } -1-1-> { x } )
2624, 25mp1i 13 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  P  ->  { <. 1 ,  x >. } : { 1 }
-1-1-> { x } )
27 snssi 4116 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  P  ->  { x }  C_  P )
28 f1ss 5784 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 1 ,  x >. } : { 1 } -1-1-> { x }  /\  { x }  C_  P
)  ->  { <. 1 ,  x >. } : {
1 } -1-1-> P )
2926, 27, 28syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  P  ->  { <. 1 ,  x >. } : { 1 }
-1-1-> P )
30 fzo12sn 11996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1..^ 2 )  =  {
1 }
31 mpteq1 4483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1..^ 2 )  =  { 1 }  ->  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  =  ( j  e. 
{ 1 }  |->  x ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  =  ( j  e.  {
1 }  |->  x )
33 fmptsn 6084 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  x  e.  _V )  ->  { <. 1 ,  x >. }  =  ( j  e.  { 1 } 
|->  x ) )
3422, 23, 33mp2an 678 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. 1 ,  x >. }  =  ( j  e. 
{ 1 }  |->  x )
3532, 34eqtr4i 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  =  { <. 1 ,  x >. }
3635a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  =  { <. 1 ,  x >. } )
3730a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( 1..^ 2 )  =  { 1 } )
38 eqidd 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  P  =  P
)
3936, 37, 38f1eq123d 5809 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  <->  {
<. 1 ,  x >. } : { 1 } -1-1-> P ) )
4039trud 1453 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  <->  { <. 1 ,  x >. } : { 1 } -1-1-> P )
4129, 40sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( x  e.  P  ->  (
j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )
42 ral0 3874 . . . . . . . . . 10  |-  A. j  e.  (/)  ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j )  .-  x
)  /\  ( (
( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j )  .-  y
)  /\  ( (
( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j )  .-  z
) )
43 fzo0 11942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2..^ 2 )  =  (/)
4443raleqi 2991 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) )  <->  A. j  e.  (/)  ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j )  .-  x
)  /\  ( (
( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j )  .-  y
)  /\  ( (
( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j )  .-  z
) ) )
4542, 44mpbir 213 . . . . . . . . 9  |-  A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 1 )  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  j
)  .-  x )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  z ) )
4645jctl 544 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  ->  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
4746reximi 2855 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  ->  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
4847reximi 2855 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  ->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
49 ovex 6318 . . . . . . . 8  |-  ( 1..^ 2 )  e.  _V
5049mptex 6136 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  e. 
_V
51 f1eq1 5774 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x )  ->  (
f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  <->  ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P
) )
52 nfmpt1 4492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j
( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )
5352nfeq2 2607 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )
54 nfv 1761 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j ( y  e.  P  /\  z  e.  P
)
5553, 54nfan 2011 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )
56 simpll 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) )
5756fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( f `  1
)  =  ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 1 ) )
5857oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  x ) )
5956fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( f `  j
)  =  ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j ) )
6059oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( f `  j )  .-  x
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  x ) )
6158, 60eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( ( f `
 1 )  .-  x )  =  ( ( f `  j
)  .-  x )  <->  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x ) ) )
6257oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  y ) )
6359oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( f `  j )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  y ) )
6462, 63eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( ( f `
 1 )  .-  y )  =  ( ( f `  j
)  .-  y )  <->  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y ) ) )
6557oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  z ) )
6659oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( f `  j )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  z ) )
6765, 66eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( ( f `
 1 )  .-  z )  =  ( ( f `  j
)  .-  z )  <->  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) ) )
6861, 64, 673anbi123d 1339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( ( ( f `  1 ) 
.-  x )  =  ( ( f `  j )  .-  x
)  /\  ( (
f `  1 )  .-  y )  =  ( ( f `  j
)  .-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  <-> 
( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 1 )  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  j
)  .-  x )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  z ) ) ) )
6955, 68ralbida 2821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P
) )  ->  ( A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  <->  A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  z ) ) ) )
7069anbi1d 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P
) )  ->  (
( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `
 1 )  .-  x )  =  ( ( f `  j
)  .-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
71702rexbidva 2907 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x )  ->  ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
7251, 71anbi12d 717 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x )  ->  (
( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <-> 
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
7350, 72spcev 3141 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  ->  E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
7441, 48, 73syl2an 480 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  ->  E. f
( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
7521, 74impbida 843 . . . 4  |-  ( x  e.  P  ->  ( E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
7675rexbiia 2888 . . 3  |-  ( E. x  e.  P  E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
7714, 15, 763bitr2i 277 . 2  |-  ( E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
788, 77syl6bb 265 1  |-  ( G  e.  V  ->  ( GDimTarskiG 2 
<->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    \/ w3o 984    /\ w3a 985    = wceq 1444   T. wtru 1445   E.wex 1663    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   <.cop 3974   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   -1-1->wf1 5579   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   1c1 9540   2c2 10659   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159  ..^cfzo 11915   Basecbs 15121   distcds 15199  DimTarskiGcstrkgld 24482  Itvcitv 24484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-trkgld 24500
This theorem is referenced by:  axtglowdim2  24518  tgdim01  24551
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