Theorem istrkg2ld 24059

Description: Property of fulfilling the lower dimension 2 axiom (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
istrkg.p	|- P = ( Base ` G )
istrkg.d	|- .- = ( dist ` G )
istrkg.i	|- I = (Itv ` G )

Assertion

Ref	Expression
istrkg2ld	|- ( G e. V -> ( GDimTarskiG≥ 2 <-> E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, I   x, P, y, z   x, .- , y, z

Allowed substitution hints:   G( x, y, z)   V( x, y, z)

Proof of Theorem istrkg2ld

Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 10892	. . . 4 |- 2 e. ZZ
2		uzid 11096	. . . 4 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
4		istrkg.p	. . . 4 |- P = ( Base ` G )
5		istrkg.d	. . . 4 |- .- = ( dist ` G )
6		istrkg.i	. . . 4 |- I = (Itv ` G )
7	4, 5, 6	istrkgld 24058	. . 3 |- ( ( G e. V /\ 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( GDimTarskiG≥ 2 <-> E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
8	3, 7	mpan2 669	. 2 |- ( G e. V -> ( GDimTarskiG≥ 2 <-> E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
9		r19.41v 3006	. . . . 5 |- ( E. x e. P ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) /\ f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) <-> ( E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) /\ f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) )
10		ancom 448	. . . . . 6 |- ( ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) /\ f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) <-> ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
11	10	rexbii 2956	. . . . 5 |- ( E. x e. P ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) /\ f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) <-> E. x e. P ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
12		ancom 448	. . . . 5 |- ( ( E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) /\ f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) <-> ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
13	9, 11, 12	3bitr3ri 276	. . . 4 |- ( ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. x e. P ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
14	13	exbii 1672	. . 3 |- ( E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. f E. x e. P ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
15		rexcom4 3126	. . 3 |- ( E. x e. P E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. f E. x e. P ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
16		simpr 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) -> -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
17	16	reximi 2922	. . . . . . . . 9 |- ( E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) -> E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
18	17	reximi 2922	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) -> E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
19	18	adantl 464	. . . . . . 7 |- ( ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) -> E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
20	19	exlimiv 1727	. . . . . 6 |- ( E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) -> E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
21	20	adantl 464	. . . . 5 |- ( ( x e. P /\ E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) -> E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
22		1ex 9580	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. _V
23		vex 3109	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
24	22, 23	f1osn 5835	. . . . . . . . 9 |- { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-onto-> { x }
25		f1of1 5797	. . . . . . . . 9 |- ( { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-onto-> { x } -> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> { x } )
26	24, 25	mp1i 12	. . . . . . . 8 |- ( x e. P -> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> { x } )
27		snssi 4160	. . . . . . . 8 |- ( x e. P -> { x } C_ P )
28		f1ss 5768	. . . . . . . 8 |- ( ( { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> { x } /\ { x } C_ P ) -> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> P )
29	26, 27, 28	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( x e. P -> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> P )
30		fzo12sn 11879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1..^ 2 ) = { 1 }
31		mpteq1 4519	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1..^ 2 ) = { 1 } -> ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) = ( j e. { 1 } |-> x ) )
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) = ( j e. { 1 } |-> x )
33		fmptsn 6067	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. _V /\ x e. _V ) -> { <. 1 , x >. } = ( j e. { 1 } |-> x ) )
34	22, 23, 33	mp2an 670	. . . . . . . . . . 11 |- { <. 1 , x >. } = ( j e. { 1 } |-> x )
35	32, 34	eqtr4i 2486	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) = { <. 1 , x >. }
36	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) = { <. 1 , x >. } )
37	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( 1..^ 2 ) = { 1 } )
38		eqidd 2455	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> P = P )
39	36, 37, 38	f1eq123d 5793	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P <-> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> P ) )
40	39	trud 1407	. . . . . . 7 |- ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P <-> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> P )
41	29, 40	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( x e. P -> ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )
42		ral0 3922	. . . . . . . . . 10 |- A. j e. (/) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) )
43		fzo0 11826	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2..^ 2 ) = (/)
44	43	raleqi 3055	. . . . . . . . . 10 |- ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) <-> A. j e. (/) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) )
45	42, 44	mpbir 209	. . . . . . . . 9 |- A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) )
46	45	jctl 539	. . . . . . . 8 |- ( -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) -> ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )
47	46	reximi 2922	. . . . . . 7 |- ( E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) -> E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )
48	47	reximi 2922	. . . . . 6 |- ( E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) -> E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )
49		ovex 6298	. . . . . . . 8 |- ( 1..^ 2 ) e. _V
50	49	mptex 6118	. . . . . . 7 |- ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) e. _V
51		f1eq1 5758	. . . . . . . 8 |- ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) -> ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P <-> ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) )
52		nfmpt1 4528	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x )
53	52	nfeq2 2633	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x )
54		nfv 1712	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j ( y e. P /\ z e. P )
55	53, 54	nfan 1933	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) )
56		simpll 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) )
57	56	fveq1d 5850	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( f ` 1 ) = ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) )
58	57	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) )
59	56	fveq1d 5850	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( f ` j ) = ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) )
60	59	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` j ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) )
61	58, 60	eqeq12d 2476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) <-> ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) ) )
62	57	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) )
63	59	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` j ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) )
64	62, 63	eqeq12d 2476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) <-> ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) ) )
65	57	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) )
66	59	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` j ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) )
67	65, 66	eqeq12d 2476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) <-> ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) )
68	61, 64, 67	3anbi123d 1297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) <-> ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) ) )
69	55, 68	ralbida 2887	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) -> ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) <-> A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) ) )
70	69	anbi1d 702	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) -> ( ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
71	70	2rexbidva 2971	. . . . . . . 8 |- ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) -> ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
72	51, 71	anbi12d 708	. . . . . . 7 |- ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) -> ( ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
73	50, 72	spcev 3198	. . . . . 6 |- ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) -> E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
74	41, 48, 73	syl2an 475	. . . . 5 |- ( ( x e. P /\ E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) -> E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
75	21, 74	impbida 830	. . . 4 |- ( x e. P -> ( E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )
76	75	rexbiia 2955	. . 3 |- ( E. x e. P E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
77	14, 15, 76	3bitr2i 273	. 2 |- ( E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
78	8, 77	syl6bb 261	1 |- ( G e. V -> ( GDimTarskiG≥ 2 <-> E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   \/ w3o 970   /\ w3a 971   = wceq 1398   T. wtru 1399   E.wex 1617   e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   <.cop 4022   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   -1-1->wf1 5567   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   1c1 9482   2c2 10581   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082  ..^cfzo 11799   Basecbs 14719   distcds 14796  Dim_TarskiG≥cstrkgld 24030  Itvcitv 24033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-trkgld 24049

This theorem is referenced by:  axtglowdim2  24069  tgdim01  24102