Theorem istrkg2ld 24495

Description: Property of fulfilling the lower dimension 2 axiom (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
istrkg.p	|- P = ( Base ` G )
istrkg.d	|- .- = ( dist ` G )
istrkg.i	|- I = (Itv ` G )

Assertion

Ref	Expression
istrkg2ld	|- ( G e. V -> ( GDimTarskiG≥ 2 <-> E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, I   x, P, y, z   x, .- , y, z

Allowed substitution hints:   G( x, y, z)   V( x, y, z)

Proof of Theorem istrkg2ld

Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 10970	. . . 4 |- 2 e. ZZ
2		uzid 11174	. . . 4 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
4		istrkg.p	. . . 4 |- P = ( Base ` G )
5		istrkg.d	. . . 4 |- .- = ( dist ` G )
6		istrkg.i	. . . 4 |- I = (Itv ` G )
7	4, 5, 6	istrkgld 24494	. . 3 |- ( ( G e. V /\ 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( GDimTarskiG≥ 2 <-> E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
8	3, 7	mpan2 675	. 2 |- ( G e. V -> ( GDimTarskiG≥ 2 <-> E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
9		r19.41v 2980	. . . . 5 |- ( E. x e. P ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) /\ f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) <-> ( E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) /\ f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) )
10		ancom 451	. . . . . 6 |- ( ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) /\ f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) <-> ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
11	10	rexbii 2927	. . . . 5 |- ( E. x e. P ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) /\ f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) <-> E. x e. P ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
12		ancom 451	. . . . 5 |- ( ( E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) /\ f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) <-> ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
13	9, 11, 12	3bitr3ri 279	. . . 4 |- ( ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. x e. P ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
14	13	exbii 1712	. . 3 |- ( E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. f E. x e. P ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
15		rexcom4 3101	. . 3 |- ( E. x e. P E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. f E. x e. P ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
16		simpr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) -> -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
17	16	reximi 2893	. . . . . . . . 9 |- ( E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) -> E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
18	17	reximi 2893	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) -> E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
19	18	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) -> E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
20	19	exlimiv 1766	. . . . . 6 |- ( E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) -> E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
21	20	adantl 467	. . . . 5 |- ( ( x e. P /\ E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) -> E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
22		1ex 9639	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. _V
23		vex 3084	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
24	22, 23	f1osn 5865	. . . . . . . . 9 |- { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-onto-> { x }
25		f1of1 5827	. . . . . . . . 9 |- ( { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-onto-> { x } -> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> { x } )
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( x e. P -> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> { x } )
27		snssi 4141	. . . . . . . 8 |- ( x e. P -> { x } C_ P )
28		f1ss 5798	. . . . . . . 8 |- ( ( { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> { x } /\ { x } C_ P ) -> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> P )
29	26, 27, 28	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( x e. P -> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> P )
30		fzo12sn 11996	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1..^ 2 ) = { 1 }
31		mpteq1 4501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1..^ 2 ) = { 1 } -> ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) = ( j e. { 1 } |-> x ) )
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) = ( j e. { 1 } |-> x )
33		fmptsn 6096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. _V /\ x e. _V ) -> { <. 1 , x >. } = ( j e. { 1 } |-> x ) )
34	22, 23, 33	mp2an 676	. . . . . . . . . . 11 |- { <. 1 , x >. } = ( j e. { 1 } |-> x )
35	32, 34	eqtr4i 2454	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) = { <. 1 , x >. }
36	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) = { <. 1 , x >. } )
37	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( 1..^ 2 ) = { 1 } )
38		eqidd 2423	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> P = P )
39	36, 37, 38	f1eq123d 5823	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P <-> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> P ) )
40	39	trud 1446	. . . . . . 7 |- ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P <-> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> P )
41	29, 40	sylibr 215	. . . . . 6 |- ( x e. P -> ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )
42		ral0 3902	. . . . . . . . . 10 |- A. j e. (/) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) )
43		fzo0 11943	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2..^ 2 ) = (/)
44	43	raleqi 3029	. . . . . . . . . 10 |- ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) <-> A. j e. (/) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) )
45	42, 44	mpbir 212	. . . . . . . . 9 |- A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) )
46	45	jctl 543	. . . . . . . 8 |- ( -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) -> ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )
47	46	reximi 2893	. . . . . . 7 |- ( E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) -> E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )
48	47	reximi 2893	. . . . . 6 |- ( E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) -> E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )
49		ovex 6330	. . . . . . . 8 |- ( 1..^ 2 ) e. _V
50	49	mptex 6148	. . . . . . 7 |- ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) e. _V
51		f1eq1 5788	. . . . . . . 8 |- ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) -> ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P <-> ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) )
52		nfmpt1 4510	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x )
53	52	nfeq2 2601	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x )
54		nfv 1751	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j ( y e. P /\ z e. P )
55	53, 54	nfan 1984	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) )
56		simpll 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) )
57	56	fveq1d 5880	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( f ` 1 ) = ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) )
58	57	oveq1d 6317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) )
59	56	fveq1d 5880	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( f ` j ) = ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) )
60	59	oveq1d 6317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` j ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) )
61	58, 60	eqeq12d 2444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) <-> ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) ) )
62	57	oveq1d 6317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) )
63	59	oveq1d 6317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` j ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) )
64	62, 63	eqeq12d 2444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) <-> ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) ) )
65	57	oveq1d 6317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) )
66	59	oveq1d 6317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` j ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) )
67	65, 66	eqeq12d 2444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) <-> ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) )
68	61, 64, 67	3anbi123d 1335	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) <-> ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) ) )
69	55, 68	ralbida 2858	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) -> ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) <-> A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) ) )
70	69	anbi1d 709	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) -> ( ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
71	70	2rexbidva 2945	. . . . . . . 8 |- ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) -> ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
72	51, 71	anbi12d 715	. . . . . . 7 |- ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) -> ( ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
73	50, 72	spcev 3173	. . . . . 6 |- ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) -> E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
74	41, 48, 73	syl2an 479	. . . . 5 |- ( ( x e. P /\ E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) -> E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
75	21, 74	impbida 840	. . . 4 |- ( x e. P -> ( E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )
76	75	rexbiia 2926	. . 3 |- ( E. x e. P E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
77	14, 15, 76	3bitr2i 276	. 2 |- ( E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
78	8, 77	syl6bb 264	1 |- ( G e. V -> ( GDimTarskiG≥ 2 <-> E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   \/ w3o 981   /\ w3a 982   = wceq 1437   T. wtru 1438   E.wex 1659   e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081   C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3996   <.cop 4002   class class class wbr 4420   |-> cmpt 4479   -1-1->wf1 5595   -1-1-onto->wf1o 5597   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   1c1 9541   2c2 10660   ZZcz 10938   ZZ>=cuz 11160  ..^cfzo 11916   Basecbs 15109   distcds 15187  Dim_TarskiG≥cstrkgld 24469  Itvcitv 24471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-trkgld 24487

This theorem is referenced by:  axtglowdim2  24505  tgdim01  24538