Theorem istrkg2ld 23602

Description: Property of fulfilling the lower dimension 2 axiom (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
istrkg.p	|- P = ( Base ` G )
istrkg.d	|- .- = ( dist ` G )
istrkg.i	|- I = (Itv ` G )

Assertion

Ref	Expression
istrkg2ld	|- ( G e. V -> ( GDimTarskiG≥ 2 <-> E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, I   x, P, y, z   x, .- , y, z

Allowed substitution hints:   G( x, y, z)   V( x, y, z)

Proof of Theorem istrkg2ld

Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 10895	. . . 4 |- 2 e. ZZ
2		uzid 11095	. . . 4 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
4		istrkg.p	. . . 4 |- P = ( Base ` G )
5		istrkg.d	. . . 4 |- .- = ( dist ` G )
6		istrkg.i	. . . 4 |- I = (Itv ` G )
7	4, 5, 6	istrkgld 23601	. . 3 |- ( ( G e. V /\ 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( GDimTarskiG≥ 2 <-> E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
8	3, 7	mpan2 671	. 2 |- ( G e. V -> ( GDimTarskiG≥ 2 <-> E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
9		r19.41v 3014	. . . . 5 |- ( E. x e. P ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) /\ f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) <-> ( E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) /\ f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) )
10		ancom 450	. . . . . 6 |- ( ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) /\ f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) <-> ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
11	10	rexbii 2965	. . . . 5 |- ( E. x e. P ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) /\ f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) <-> E. x e. P ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
12		ancom 450	. . . . 5 |- ( ( E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) /\ f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) <-> ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
13	9, 11, 12	3bitr3ri 276	. . . 4 |- ( ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. x e. P ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
14	13	exbii 1644	. . 3 |- ( E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. f E. x e. P ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
15		rexcom4 3133	. . 3 |- ( E. x e. P E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. f E. x e. P ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
16		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) -> -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
17	16	reximi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) -> E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
18	17	reximi 2932	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) -> E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
19	18	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) -> E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
20	19	exlimiv 1698	. . . . . 6 |- ( E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) -> E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
21	20	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( x e. P /\ E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) -> E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
22		1ex 9590	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. _V
23		vex 3116	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
24	22, 23	f1osn 5852	. . . . . . . . . 10 |- { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-onto-> { x }
25		f1of1 5814	. . . . . . . . . 10 |- ( { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-onto-> { x } -> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> { x } )
26	24, 25	mp1i 12	. . . . . . . . 9 |- ( x e. P -> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> { x } )
27		snssi 4171	. . . . . . . . 9 |- ( x e. P -> { x } C_ P )
28		f1ss 5785	. . . . . . . . 9 |- ( ( { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> { x } /\ { x } C_ P ) -> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> P )
29	26, 27, 28	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( x e. P -> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> P )
30		fzo12sn 11865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1..^ 2 ) = { 1 }
31		mpteq1 4527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1..^ 2 ) = { 1 } -> ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) = ( j e. { 1 } |-> x ) )
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) = ( j e. { 1 } |-> x )
33		fmptsn 6080	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. _V /\ x e. _V ) -> { <. 1 , x >. } = ( j e. { 1 } |-> x ) )
34	22, 23, 33	mp2an 672	. . . . . . . . . . . 12 |- { <. 1 , x >. } = ( j e. { 1 } |-> x )
35	32, 34	eqtr4i 2499	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) = { <. 1 , x >. }
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) = { <. 1 , x >. } )
37	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( 1..^ 2 ) = { 1 } )
38		eqidd 2468	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> P = P )
39	36, 37, 38	f1eq123d 5810	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P <-> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> P ) )
40	39	trud 1388	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P <-> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> P )
41	29, 40	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( x e. P -> ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )
42	41	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( x e. P /\ E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) -> ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )
43		ral0 3932	. . . . . . . . . . 11 |- A. j e. (/) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) )
44		fzo0 11816	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2..^ 2 ) = (/)
45	44	raleqi 3062	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) <-> A. j e. (/) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) )
46	43, 45	mpbir 209	. . . . . . . . . 10 |- A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) )
47	46	jctl 541	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) -> ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )
48	47	reximi 2932	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) -> E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )
49	48	reximi 2932	. . . . . . 7 |- ( E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) -> E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )
50	49	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( x e. P /\ E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) -> E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )
51		ovex 6308	. . . . . . . 8 |- ( 1..^ 2 ) e. _V
52	51	mptex 6130	. . . . . . 7 |- ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) e. _V
53		f1eq1 5775	. . . . . . . 8 |- ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) -> ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P <-> ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) )
54		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j f
55		nfmpt1 4536	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x )
56	54, 55	nfeq 2640	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x )
57		nfv 1683	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j ( y e. P /\ z e. P )
58	56, 57	nfan 1875	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) )
59		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) )
60		eqidd 2468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> 1 = 1 )
61	59, 60	fveq12d 5871	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( f ` 1 ) = ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) )
62	61	oveq1d 6298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) )
63		eqidd 2468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> j = j )
64	59, 63	fveq12d 5871	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( f ` j ) = ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) )
65	64	oveq1d 6298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` j ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) )
66	62, 65	eqeq12d 2489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) <-> ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) ) )
67	61	oveq1d 6298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) )
68	64	oveq1d 6298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` j ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) )
69	67, 68	eqeq12d 2489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) <-> ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) ) )
70	61	oveq1d 6298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) )
71	64	oveq1d 6298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` j ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) )
72	70, 71	eqeq12d 2489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) <-> ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) )
73	66, 69, 72	3anbi123d 1299	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) <-> ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) ) )
74	58, 73	ralbida 2897	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) -> ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) <-> A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) ) )
75	74	anbi1d 704	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) -> ( ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
76	75	2rexbidva 2979	. . . . . . . 8 |- ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) -> ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
77	53, 76	anbi12d 710	. . . . . . 7 |- ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) -> ( ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
78	52, 77	spcev 3205	. . . . . 6 |- ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) -> E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
79	42, 50, 78	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( x e. P /\ E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) -> E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
80	21, 79	impbida 830	. . . 4 |- ( x e. P -> ( E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )
81	80	rexbiia 2964	. . 3 |- ( E. x e. P E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
82	14, 15, 81	3bitr2i 273	. 2 |- ( E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
83	8, 82	syl6bb 261	1 |- ( G e. V -> ( GDimTarskiG≥ 2 <-> E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   \/ w3o 972   /\ w3a 973   = wceq 1379   T. wtru 1380   E.wex 1596   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   <.cop 4033   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   -1-1->wf1 5584   -1-1-onto->wf1o 5586   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   1c1 9492   2c2 10584   ZZcz 10863   ZZ>=cuz 11081  ..^cfzo 11791   Basecbs 14489   distcds 14563  Dim_TarskiG≥cstrkgld 23573  Itvcitv 23576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-trkgld 23592

This theorem is referenced by:  axtglowdim2  23612  tgdim01  23642