Theorem istrkg2ld 24508

Description: Property of fulfilling the lower dimension 2 axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
istrkg.p	|- P = ( Base ` G )
istrkg.d	|- .- = ( dist ` G )
istrkg.i	|- I = (Itv ` G )

Assertion

Ref	Expression
istrkg2ld	|- ( G e. V -> ( GDimTarskiG≥ 2 <-> E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, I   x, P, y, z   x, .- , y, z

Allowed substitution hints:   G( x, y, z)   V( x, y, z)

Proof of Theorem istrkg2ld

Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 10969	. . . 4 |- 2 e. ZZ
2		uzid 11173	. . . 4 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
4		istrkg.p	. . . 4 |- P = ( Base ` G )
5		istrkg.d	. . . 4 |- .- = ( dist ` G )
6		istrkg.i	. . . 4 |- I = (Itv ` G )
7	4, 5, 6	istrkgld 24507	. . 3 |- ( ( G e. V /\ 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( GDimTarskiG≥ 2 <-> E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
8	3, 7	mpan2 677	. 2 |- ( G e. V -> ( GDimTarskiG≥ 2 <-> E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
9		r19.41v 2942	. . . . 5 |- ( E. x e. P ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) /\ f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) <-> ( E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) /\ f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) )
10		ancom 452	. . . . . 6 |- ( ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) /\ f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) <-> ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
11	10	rexbii 2889	. . . . 5 |- ( E. x e. P ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) /\ f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) <-> E. x e. P ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
12		ancom 452	. . . . 5 |- ( ( E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) /\ f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) <-> ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
13	9, 11, 12	3bitr3ri 280	. . . 4 |- ( ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. x e. P ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
14	13	exbii 1718	. . 3 |- ( E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. f E. x e. P ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
15		rexcom4 3067	. . 3 |- ( E. x e. P E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. f E. x e. P ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
16		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) -> -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
17	16	reximi 2855	. . . . . . . . 9 |- ( E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) -> E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
18	17	reximi 2855	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) -> E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
19	18	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) -> E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
20	19	exlimiv 1776	. . . . . 6 |- ( E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) -> E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
21	20	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( x e. P /\ E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) -> E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
22		1ex 9638	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. _V
23		vex 3048	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
24	22, 23	f1osn 5852	. . . . . . . . 9 |- { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-onto-> { x }
25		f1of1 5813	. . . . . . . . 9 |- ( { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-onto-> { x } -> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> { x } )
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( x e. P -> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> { x } )
27		snssi 4116	. . . . . . . 8 |- ( x e. P -> { x } C_ P )
28		f1ss 5784	. . . . . . . 8 |- ( ( { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> { x } /\ { x } C_ P ) -> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> P )
29	26, 27, 28	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( x e. P -> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> P )
30		fzo12sn 11996	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1..^ 2 ) = { 1 }
31		mpteq1 4483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1..^ 2 ) = { 1 } -> ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) = ( j e. { 1 } |-> x ) )
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) = ( j e. { 1 } |-> x )
33		fmptsn 6084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. _V /\ x e. _V ) -> { <. 1 , x >. } = ( j e. { 1 } |-> x ) )
34	22, 23, 33	mp2an 678	. . . . . . . . . . 11 |- { <. 1 , x >. } = ( j e. { 1 } |-> x )
35	32, 34	eqtr4i 2476	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) = { <. 1 , x >. }
36	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) = { <. 1 , x >. } )
37	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( 1..^ 2 ) = { 1 } )
38		eqidd 2452	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> P = P )
39	36, 37, 38	f1eq123d 5809	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P <-> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> P ) )
40	39	trud 1453	. . . . . . 7 |- ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P <-> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> P )
41	29, 40	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( x e. P -> ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )
42		ral0 3874	. . . . . . . . . 10 |- A. j e. (/) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) )
43		fzo0 11942	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2..^ 2 ) = (/)
44	43	raleqi 2991	. . . . . . . . . 10 |- ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) <-> A. j e. (/) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) )
45	42, 44	mpbir 213	. . . . . . . . 9 |- A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) )
46	45	jctl 544	. . . . . . . 8 |- ( -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) -> ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )
47	46	reximi 2855	. . . . . . 7 |- ( E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) -> E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )
48	47	reximi 2855	. . . . . 6 |- ( E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) -> E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )
49		ovex 6318	. . . . . . . 8 |- ( 1..^ 2 ) e. _V
50	49	mptex 6136	. . . . . . 7 |- ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) e. _V
51		f1eq1 5774	. . . . . . . 8 |- ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) -> ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P <-> ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) )
52		nfmpt1 4492	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x )
53	52	nfeq2 2607	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x )
54		nfv 1761	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j ( y e. P /\ z e. P )
55	53, 54	nfan 2011	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) )
56		simpll 760	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) )
57	56	fveq1d 5867	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( f ` 1 ) = ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) )
58	57	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) )
59	56	fveq1d 5867	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( f ` j ) = ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) )
60	59	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` j ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) )
61	58, 60	eqeq12d 2466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) <-> ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) ) )
62	57	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) )
63	59	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` j ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) )
64	62, 63	eqeq12d 2466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) <-> ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) ) )
65	57	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) )
66	59	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` j ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) )
67	65, 66	eqeq12d 2466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) <-> ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) )
68	61, 64, 67	3anbi123d 1339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) <-> ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) ) )
69	55, 68	ralbida 2821	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) -> ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) <-> A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) ) )
70	69	anbi1d 711	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) -> ( ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
71	70	2rexbidva 2907	. . . . . . . 8 |- ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) -> ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
72	51, 71	anbi12d 717	. . . . . . 7 |- ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) -> ( ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
73	50, 72	spcev 3141	. . . . . 6 |- ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) -> E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
74	41, 48, 73	syl2an 480	. . . . 5 |- ( ( x e. P /\ E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) -> E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
75	21, 74	impbida 843	. . . 4 |- ( x e. P -> ( E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )
76	75	rexbiia 2888	. . 3 |- ( E. x e. P E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
77	14, 15, 76	3bitr2i 277	. 2 |- ( E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
78	8, 77	syl6bb 265	1 |- ( G e. V -> ( GDimTarskiG≥ 2 <-> E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   \/ w3o 984   /\ w3a 985   = wceq 1444   T. wtru 1445   E.wex 1663   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   <.cop 3974   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   -1-1->wf1 5579   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   1c1 9540   2c2 10659   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159  ..^cfzo 11915   Basecbs 15121   distcds 15199  Dim_TarskiG≥cstrkgld 24482  Itvcitv 24484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-trkgld 24500

This theorem is referenced by:  axtglowdim2  24518  tgdim01  24551