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Theorem istrkg2ld 24495
Description: Property of fulfilling the lower dimension 2 axiom (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
istrkg.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
istrkg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
Assertion
Ref Expression
istrkg2ld  |-  ( G  e.  V  ->  ( GDimTarskiG 2 
<->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, I    x, P, y, z    x,  .- , y,
z
Allowed substitution hints:    G( x, y, z)    V( x, y, z)

Proof of Theorem istrkg2ld
Dummy variables  f 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 10970 . . . 4  |-  2  e.  ZZ
2 uzid 11174 . . . 4  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
4 istrkg.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  G
)
5 istrkg.d . . . 4  |-  .-  =  ( dist `  G )
6 istrkg.i . . . 4  |-  I  =  (Itv `  G )
74, 5, 6istrkgld 24494 . . 3  |-  ( ( G  e.  V  /\  2  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( GDimTarskiG 2  <->  E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
83, 7mpan2 675 . 2  |-  ( G  e.  V  ->  ( GDimTarskiG 2 
<->  E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
9 r19.41v 2980 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  P  ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  /\  f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )  <->  ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  /\  f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) )
10 ancom 451 . . . . . 6  |-  ( ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  /\  f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )  <->  ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
1110rexbii 2927 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  P  ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  /\  f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )  <->  E. x  e.  P  ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
12 ancom 451 . . . . 5  |-  ( ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  /\  f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )  <->  ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
139, 11, 123bitr3ri 279 . . . 4  |-  ( ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. x  e.  P  ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
1413exbii 1712 . . 3  |-  ( E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. f E. x  e.  P  ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
15 rexcom4 3101 . . 3  |-  ( E. x  e.  P  E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. f E. x  e.  P  ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
16 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  ->  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
1716reximi 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  ->  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
1817reximi 2893 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  ->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
1918adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  ->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
2019exlimiv 1766 . . . . . 6  |-  ( E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  ->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
2120adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P  /\  E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )  ->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
22 1ex 9639 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  _V
23 vex 3084 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
2422, 23f1osn 5865 . . . . . . . . 9  |-  { <. 1 ,  x >. } : { 1 } -1-1-onto-> { x }
25 f1of1 5827 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 1 ,  x >. } : { 1 } -1-1-onto-> { x }  ->  {
<. 1 ,  x >. } : { 1 } -1-1-> { x } )
2624, 25mp1i 13 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  P  ->  { <. 1 ,  x >. } : { 1 }
-1-1-> { x } )
27 snssi 4141 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  P  ->  { x }  C_  P )
28 f1ss 5798 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 1 ,  x >. } : { 1 } -1-1-> { x }  /\  { x }  C_  P
)  ->  { <. 1 ,  x >. } : {
1 } -1-1-> P )
2926, 27, 28syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  P  ->  { <. 1 ,  x >. } : { 1 }
-1-1-> P )
30 fzo12sn 11996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1..^ 2 )  =  {
1 }
31 mpteq1 4501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1..^ 2 )  =  { 1 }  ->  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  =  ( j  e. 
{ 1 }  |->  x ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  =  ( j  e.  {
1 }  |->  x )
33 fmptsn 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  x  e.  _V )  ->  { <. 1 ,  x >. }  =  ( j  e.  { 1 } 
|->  x ) )
3422, 23, 33mp2an 676 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. 1 ,  x >. }  =  ( j  e. 
{ 1 }  |->  x )
3532, 34eqtr4i 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  =  { <. 1 ,  x >. }
3635a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  =  { <. 1 ,  x >. } )
3730a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( 1..^ 2 )  =  { 1 } )
38 eqidd 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  P  =  P
)
3936, 37, 38f1eq123d 5823 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  <->  {
<. 1 ,  x >. } : { 1 } -1-1-> P ) )
4039trud 1446 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  <->  { <. 1 ,  x >. } : { 1 } -1-1-> P )
4129, 40sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( x  e.  P  ->  (
j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )
42 ral0 3902 . . . . . . . . . 10  |-  A. j  e.  (/)  ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j )  .-  x
)  /\  ( (
( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j )  .-  y
)  /\  ( (
( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j )  .-  z
) )
43 fzo0 11943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2..^ 2 )  =  (/)
4443raleqi 3029 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) )  <->  A. j  e.  (/)  ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j )  .-  x
)  /\  ( (
( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j )  .-  y
)  /\  ( (
( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j )  .-  z
) ) )
4542, 44mpbir 212 . . . . . . . . 9  |-  A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 1 )  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  j
)  .-  x )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  z ) )
4645jctl 543 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  ->  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
4746reximi 2893 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  ->  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
4847reximi 2893 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  ->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
49 ovex 6330 . . . . . . . 8  |-  ( 1..^ 2 )  e.  _V
5049mptex 6148 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  e. 
_V
51 f1eq1 5788 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x )  ->  (
f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  <->  ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P
) )
52 nfmpt1 4510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j
( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )
5352nfeq2 2601 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )
54 nfv 1751 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j ( y  e.  P  /\  z  e.  P
)
5553, 54nfan 1984 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )
56 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) )
5756fveq1d 5880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( f `  1
)  =  ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 1 ) )
5857oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  x ) )
5956fveq1d 5880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( f `  j
)  =  ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j ) )
6059oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( f `  j )  .-  x
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  x ) )
6158, 60eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( ( f `
 1 )  .-  x )  =  ( ( f `  j
)  .-  x )  <->  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x ) ) )
6257oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  y ) )
6359oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( f `  j )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  y ) )
6462, 63eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( ( f `
 1 )  .-  y )  =  ( ( f `  j
)  .-  y )  <->  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y ) ) )
6557oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  z ) )
6659oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( f `  j )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  z ) )
6765, 66eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( ( f `
 1 )  .-  z )  =  ( ( f `  j
)  .-  z )  <->  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) ) )
6861, 64, 673anbi123d 1335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( ( ( f `  1 ) 
.-  x )  =  ( ( f `  j )  .-  x
)  /\  ( (
f `  1 )  .-  y )  =  ( ( f `  j
)  .-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  <-> 
( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 1 )  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  j
)  .-  x )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  z ) ) ) )
6955, 68ralbida 2858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P
) )  ->  ( A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  <->  A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  z ) ) ) )
7069anbi1d 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P
) )  ->  (
( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `
 1 )  .-  x )  =  ( ( f `  j
)  .-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
71702rexbidva 2945 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x )  ->  ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
7251, 71anbi12d 715 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x )  ->  (
( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <-> 
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
7350, 72spcev 3173 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  ->  E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
7441, 48, 73syl2an 479 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  ->  E. f
( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
7521, 74impbida 840 . . . 4  |-  ( x  e.  P  ->  ( E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
7675rexbiia 2926 . . 3  |-  ( E. x  e.  P  E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
7714, 15, 763bitr2i 276 . 2  |-  ( E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
788, 77syl6bb 264 1  |-  ( G  e.  V  ->  ( GDimTarskiG 2 
<->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    \/ w3o 981    /\ w3a 982    = wceq 1437   T. wtru 1438   E.wex 1659    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3996   <.cop 4002   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   -1-1->wf1 5595   -1-1-onto->wf1o 5597   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   1c1 9541   2c2 10660   ZZcz 10938   ZZ>=cuz 11160  ..^cfzo 11916   Basecbs 15109   distcds 15187  DimTarskiGcstrkgld 24469  Itvcitv 24471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-trkgld 24487
This theorem is referenced by:  axtglowdim2  24505  tgdim01  24538
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