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Theorem istrkg2ld 23602
Description: Property of fulfilling the lower dimension 2 axiom (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
istrkg.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
istrkg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
Assertion
Ref Expression
istrkg2ld  |-  ( G  e.  V  ->  ( GDimTarskiG 2 
<->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, I    x, P, y, z    x,  .- , y,
z
Allowed substitution hints:    G( x, y, z)    V( x, y, z)

Proof of Theorem istrkg2ld
Dummy variables  f 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 10895 . . . 4  |-  2  e.  ZZ
2 uzid 11095 . . . 4  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
4 istrkg.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  G
)
5 istrkg.d . . . 4  |-  .-  =  ( dist `  G )
6 istrkg.i . . . 4  |-  I  =  (Itv `  G )
74, 5, 6istrkgld 23601 . . 3  |-  ( ( G  e.  V  /\  2  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( GDimTarskiG 2  <->  E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
83, 7mpan2 671 . 2  |-  ( G  e.  V  ->  ( GDimTarskiG 2 
<->  E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
9 r19.41v 3014 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  P  ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  /\  f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )  <->  ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  /\  f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) )
10 ancom 450 . . . . . 6  |-  ( ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  /\  f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )  <->  ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
1110rexbii 2965 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  P  ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  /\  f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )  <->  E. x  e.  P  ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
12 ancom 450 . . . . 5  |-  ( ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  /\  f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )  <->  ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
139, 11, 123bitr3ri 276 . . . 4  |-  ( ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. x  e.  P  ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
1413exbii 1644 . . 3  |-  ( E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. f E. x  e.  P  ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
15 rexcom4 3133 . . 3  |-  ( E. x  e.  P  E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. f E. x  e.  P  ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
16 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  ->  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
1716reximi 2932 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  ->  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
1817reximi 2932 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  ->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
1918adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  ->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
2019exlimiv 1698 . . . . . 6  |-  ( E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  ->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
2120adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P  /\  E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )  ->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
22 1ex 9590 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  _V
23 vex 3116 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
2422, 23f1osn 5852 . . . . . . . . . 10  |-  { <. 1 ,  x >. } : { 1 } -1-1-onto-> { x }
25 f1of1 5814 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 1 ,  x >. } : { 1 } -1-1-onto-> { x }  ->  {
<. 1 ,  x >. } : { 1 } -1-1-> { x } )
2624, 25mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  P  ->  { <. 1 ,  x >. } : { 1 }
-1-1-> { x } )
27 snssi 4171 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  P  ->  { x }  C_  P )
28 f1ss 5785 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { <. 1 ,  x >. } : { 1 } -1-1-> { x }  /\  { x }  C_  P
)  ->  { <. 1 ,  x >. } : {
1 } -1-1-> P )
2926, 27, 28syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  P  ->  { <. 1 ,  x >. } : { 1 }
-1-1-> P )
30 fzo12sn 11865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1..^ 2 )  =  {
1 }
31 mpteq1 4527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1..^ 2 )  =  { 1 }  ->  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  =  ( j  e. 
{ 1 }  |->  x ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  =  ( j  e.  {
1 }  |->  x )
33 fmptsn 6080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  x  e.  _V )  ->  { <. 1 ,  x >. }  =  ( j  e.  { 1 } 
|->  x ) )
3422, 23, 33mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  { <. 1 ,  x >. }  =  ( j  e. 
{ 1 }  |->  x )
3532, 34eqtr4i 2499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  =  { <. 1 ,  x >. }
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  =  { <. 1 ,  x >. } )
3730a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( 1..^ 2 )  =  { 1 } )
38 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  P  =  P
)
3936, 37, 38f1eq123d 5810 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  <->  {
<. 1 ,  x >. } : { 1 } -1-1-> P ) )
4039trud 1388 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  <->  { <. 1 ,  x >. } : { 1 } -1-1-> P )
4129, 40sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  P  ->  (
j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )
4241adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  ->  (
j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )
43 ral0 3932 . . . . . . . . . . 11  |-  A. j  e.  (/)  ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j )  .-  x
)  /\  ( (
( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j )  .-  y
)  /\  ( (
( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j )  .-  z
) )
44 fzo0 11816 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2..^ 2 )  =  (/)
4544raleqi 3062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) )  <->  A. j  e.  (/)  ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j )  .-  x
)  /\  ( (
( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j )  .-  y
)  /\  ( (
( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j )  .-  z
) ) )
4643, 45mpbir 209 . . . . . . . . . 10  |-  A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 1 )  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  j
)  .-  x )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  z ) )
4746jctl 541 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  ->  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
4847reximi 2932 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  ->  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
4948reximi 2932 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  ->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
5049adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  ->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
51 ovex 6308 . . . . . . . 8  |-  ( 1..^ 2 )  e.  _V
5251mptex 6130 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  e. 
_V
53 f1eq1 5775 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x )  ->  (
f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  <->  ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P
) )
54 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j
f
55 nfmpt1 4536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j
( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )
5654, 55nfeq 2640 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )
57 nfv 1683 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j ( y  e.  P  /\  z  e.  P
)
5856, 57nfan 1875 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )
59 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) )
60 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
1  =  1 )
6159, 60fveq12d 5871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( f `  1
)  =  ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 1 ) )
6261oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  x ) )
63 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
j  =  j )
6459, 63fveq12d 5871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( f `  j
)  =  ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j ) )
6564oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( f `  j )  .-  x
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  x ) )
6662, 65eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( ( f `
 1 )  .-  x )  =  ( ( f `  j
)  .-  x )  <->  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x ) ) )
6761oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  y ) )
6864oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( f `  j )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  y ) )
6967, 68eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( ( f `
 1 )  .-  y )  =  ( ( f `  j
)  .-  y )  <->  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y ) ) )
7061oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  z ) )
7164oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( f `  j )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  z ) )
7270, 71eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( ( f `
 1 )  .-  z )  =  ( ( f `  j
)  .-  z )  <->  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) ) )
7366, 69, 723anbi123d 1299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( ( ( f `  1 ) 
.-  x )  =  ( ( f `  j )  .-  x
)  /\  ( (
f `  1 )  .-  y )  =  ( ( f `  j
)  .-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  <-> 
( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 1 )  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  j
)  .-  x )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  z ) ) ) )
7458, 73ralbida 2897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P
) )  ->  ( A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  <->  A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  z ) ) ) )
7574anbi1d 704 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P
) )  ->  (
( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `
 1 )  .-  x )  =  ( ( f `  j
)  .-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
76752rexbidva 2979 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x )  ->  ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
7753, 76anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x )  ->  (
( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <-> 
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
7852, 77spcev 3205 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  ->  E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
7942, 50, 78syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  ->  E. f
( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
8021, 79impbida 830 . . . 4  |-  ( x  e.  P  ->  ( E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
8180rexbiia 2964 . . 3  |-  ( E. x  e.  P  E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
8214, 15, 813bitr2i 273 . 2  |-  ( E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
838, 82syl6bb 261 1  |-  ( G  e.  V  ->  ( GDimTarskiG 2 
<->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1379   T. wtru 1380   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   <.cop 4033   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   -1-1->wf1 5584   -1-1-onto->wf1o 5586   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   1c1 9492   2c2 10584   ZZcz 10863   ZZ>=cuz 11081  ..^cfzo 11791   Basecbs 14489   distcds 14563  DimTarskiGcstrkgld 23573  Itvcitv 23576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-trkgld 23592
This theorem is referenced by:  axtglowdim2  23612  tgdim01  23642
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