MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  istrkg2ld Structured version   Unicode version

Theorem istrkg2ld 24059
Description: Property of fulfilling the lower dimension 2 axiom (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
istrkg.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
istrkg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
Assertion
Ref Expression
istrkg2ld  |-  ( G  e.  V  ->  ( GDimTarskiG 2 
<->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, I    x, P, y, z    x,  .- , y,
z
Allowed substitution hints:    G( x, y, z)    V( x, y, z)

Proof of Theorem istrkg2ld
Dummy variables  f 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 10892 . . . 4  |-  2  e.  ZZ
2 uzid 11096 . . . 4  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
4 istrkg.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  G
)
5 istrkg.d . . . 4  |-  .-  =  ( dist `  G )
6 istrkg.i . . . 4  |-  I  =  (Itv `  G )
74, 5, 6istrkgld 24058 . . 3  |-  ( ( G  e.  V  /\  2  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( GDimTarskiG 2  <->  E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
83, 7mpan2 669 . 2  |-  ( G  e.  V  ->  ( GDimTarskiG 2 
<->  E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
9 r19.41v 3006 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  P  ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  /\  f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )  <->  ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  /\  f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) )
10 ancom 448 . . . . . 6  |-  ( ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  /\  f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )  <->  ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
1110rexbii 2956 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  P  ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  /\  f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )  <->  E. x  e.  P  ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
12 ancom 448 . . . . 5  |-  ( ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  /\  f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )  <->  ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
139, 11, 123bitr3ri 276 . . . 4  |-  ( ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. x  e.  P  ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
1413exbii 1672 . . 3  |-  ( E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. f E. x  e.  P  ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
15 rexcom4 3126 . . 3  |-  ( E. x  e.  P  E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. f E. x  e.  P  ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
16 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  ->  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
1716reximi 2922 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  ->  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
1817reximi 2922 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  ->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
1918adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  ->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
2019exlimiv 1727 . . . . . 6  |-  ( E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  ->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
2120adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P  /\  E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )  ->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
22 1ex 9580 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  _V
23 vex 3109 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
2422, 23f1osn 5835 . . . . . . . . 9  |-  { <. 1 ,  x >. } : { 1 } -1-1-onto-> { x }
25 f1of1 5797 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 1 ,  x >. } : { 1 } -1-1-onto-> { x }  ->  {
<. 1 ,  x >. } : { 1 } -1-1-> { x } )
2624, 25mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  P  ->  { <. 1 ,  x >. } : { 1 }
-1-1-> { x } )
27 snssi 4160 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  P  ->  { x }  C_  P )
28 f1ss 5768 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 1 ,  x >. } : { 1 } -1-1-> { x }  /\  { x }  C_  P
)  ->  { <. 1 ,  x >. } : {
1 } -1-1-> P )
2926, 27, 28syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  P  ->  { <. 1 ,  x >. } : { 1 }
-1-1-> P )
30 fzo12sn 11879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1..^ 2 )  =  {
1 }
31 mpteq1 4519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1..^ 2 )  =  { 1 }  ->  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  =  ( j  e. 
{ 1 }  |->  x ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  =  ( j  e.  {
1 }  |->  x )
33 fmptsn 6067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  x  e.  _V )  ->  { <. 1 ,  x >. }  =  ( j  e.  { 1 } 
|->  x ) )
3422, 23, 33mp2an 670 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. 1 ,  x >. }  =  ( j  e. 
{ 1 }  |->  x )
3532, 34eqtr4i 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  =  { <. 1 ,  x >. }
3635a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  =  { <. 1 ,  x >. } )
3730a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( 1..^ 2 )  =  { 1 } )
38 eqidd 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  P  =  P
)
3936, 37, 38f1eq123d 5793 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  <->  {
<. 1 ,  x >. } : { 1 } -1-1-> P ) )
4039trud 1407 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  <->  { <. 1 ,  x >. } : { 1 } -1-1-> P )
4129, 40sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( x  e.  P  ->  (
j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )
42 ral0 3922 . . . . . . . . . 10  |-  A. j  e.  (/)  ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j )  .-  x
)  /\  ( (
( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j )  .-  y
)  /\  ( (
( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j )  .-  z
) )
43 fzo0 11826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2..^ 2 )  =  (/)
4443raleqi 3055 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) )  <->  A. j  e.  (/)  ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j )  .-  x
)  /\  ( (
( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j )  .-  y
)  /\  ( (
( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j )  .-  z
) ) )
4542, 44mpbir 209 . . . . . . . . 9  |-  A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 1 )  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  j
)  .-  x )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  z ) )
4645jctl 539 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  ->  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
4746reximi 2922 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  ->  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
4847reximi 2922 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  ->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
49 ovex 6298 . . . . . . . 8  |-  ( 1..^ 2 )  e.  _V
5049mptex 6118 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  e. 
_V
51 f1eq1 5758 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x )  ->  (
f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  <->  ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P
) )
52 nfmpt1 4528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j
( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )
5352nfeq2 2633 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )
54 nfv 1712 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j ( y  e.  P  /\  z  e.  P
)
5553, 54nfan 1933 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )
56 simpll 751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) )
5756fveq1d 5850 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( f `  1
)  =  ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 1 ) )
5857oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  x ) )
5956fveq1d 5850 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( f `  j
)  =  ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j ) )
6059oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( f `  j )  .-  x
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  x ) )
6158, 60eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( ( f `
 1 )  .-  x )  =  ( ( f `  j
)  .-  x )  <->  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x ) ) )
6257oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  y ) )
6359oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( f `  j )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  y ) )
6462, 63eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( ( f `
 1 )  .-  y )  =  ( ( f `  j
)  .-  y )  <->  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y ) ) )
6557oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  1 ) 
.-  z ) )
6659oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( f `  j )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  z ) )
6765, 66eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( ( f `
 1 )  .-  z )  =  ( ( f `  j
)  .-  z )  <->  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) ) )
6861, 64, 673anbi123d 1297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P ) )  /\  j  e.  ( 2..^ 2 ) )  -> 
( ( ( ( f `  1 ) 
.-  x )  =  ( ( f `  j )  .-  x
)  /\  ( (
f `  1 )  .-  y )  =  ( ( f `  j
)  .-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  <-> 
( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 1 )  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  j
)  .-  x )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  z ) ) ) )
6955, 68ralbida 2887 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P
) )  ->  ( A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  <->  A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  z ) ) ) )
7069anbi1d 702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x )  /\  ( y  e.  P  /\  z  e.  P
) )  ->  (
( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `
 1 )  .-  x )  =  ( ( f `  j
)  .-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
71702rexbidva 2971 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x )  ->  ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  x )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  x )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  y )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  y )  /\  (
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) `  1
)  .-  z )  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
7251, 71anbi12d 708 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x )  ->  (
( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <-> 
( ( j  e.  ( 1..^ 2 ) 
|->  x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
7350, 72spcev 3198 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  (
2..^ 2 ) ( ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( ( j  e.  ( 1..^ 2 )  |->  x ) `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  ->  E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
7441, 48, 73syl2an 475 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  ->  E. f
( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 
1 )  .-  x
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  x )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  y
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  y )  /\  ( ( f ` 
1 )  .-  z
)  =  ( ( f `  j ) 
.-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) )
7521, 74impbida 830 . . . 4  |-  ( x  e.  P  ->  ( E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
7675rexbiia 2955 . . 3  |-  ( E. x  e.  P  E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
7714, 15, 763bitr2i 273 . 2  |-  ( E. f ( f : ( 1..^ 2 )
-1-1-> P  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( A. j  e.  ( 2..^ 2 ) ( ( ( f `  1
)  .-  x )  =  ( ( f `
 j )  .-  x )  /\  (
( f `  1
)  .-  y )  =  ( ( f `
 j )  .-  y )  /\  (
( f `  1
)  .-  z )  =  ( ( f `
 j )  .-  z ) )  /\  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )
788, 77syl6bb 261 1  |-  ( G  e.  V  ->  ( GDimTarskiG 2 
<->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    \/ w3o 970    /\ w3a 971    = wceq 1398   T. wtru 1399   E.wex 1617    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   <.cop 4022   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   -1-1->wf1 5567   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   1c1 9482   2c2 10581   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082  ..^cfzo 11799   Basecbs 14719   distcds 14796  DimTarskiGcstrkgld 24030  Itvcitv 24033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-trkgld 24049
This theorem is referenced by:  axtglowdim2  24069  tgdim01  24102
  Copyright terms: Public domain W3C validator