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Theorem istrkg2d 23577
Description: Property of fulfilling dimension 2 axiom (Contributed by Thierry Arnoux, 29-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
istrkg.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
istrkg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
Assertion
Ref Expression
istrkg2d  |-  ( G  e. TarskiG2D  <->  ( G  e.  _V  /\  ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( (
( ( x  .-  u )  =  ( x  .-  v )  /\  ( y  .-  u )  =  ( y  .-  v )  /\  ( z  .-  u )  =  ( z  .-  v ) )  /\  u  =/=  v )  ->  (
z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    v, u, x, y, z, I    u, P, v, x, y, z   
u,  .- , v, x, y, z
Allowed substitution hints:    G( x, y, z, v, u)

Proof of Theorem istrkg2d
Dummy variables  f 
d  i  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istrkg.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 istrkg.d . . 3  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 istrkg.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
4 simp1 991 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  p  =  P )
54eqcomd 2468 . . . . 5  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  P  =  p )
6 simp3 993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  i  =  I )
76eqcomd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  I  =  i )
87oveqd 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
x I y )  =  ( x i y ) )
98eleq2d 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
z  e.  ( x I y )  <->  z  e.  ( x i y ) ) )
107oveqd 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
z I y )  =  ( z i y ) )
1110eleq2d 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
x  e.  ( z I y )  <->  x  e.  ( z i y ) ) )
127oveqd 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
x I z )  =  ( x i z ) )
1312eleq2d 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
y  e.  ( x I z )  <->  y  e.  ( x i z ) ) )
149, 11, 133orbi123d 1293 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  <->  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) )
1514notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  <->  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) )
165, 15rexeqbidv 3066 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  <->  E. z  e.  p  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) )
175, 16rexeqbidv 3066 . . . . 5  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  <->  E. y  e.  p  E. z  e.  p  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) )
185, 17rexeqbidv 3066 . . . 4  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  <->  E. x  e.  p  E. y  e.  p  E. z  e.  p  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) )
19 simp2 992 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  d  =  .-  )
2019eqcomd 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  .-  =  d )
2120oveqd 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
x  .-  u )  =  ( x d u ) )
2220oveqd 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
x  .-  v )  =  ( x d v ) )
2321, 22eqeq12d 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( x  .-  u
)  =  ( x 
.-  v )  <->  ( x
d u )  =  ( x d v ) ) )
2420oveqd 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
y  .-  u )  =  ( y d u ) )
2520oveqd 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
y  .-  v )  =  ( y d v ) )
2624, 25eqeq12d 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( y  .-  u
)  =  ( y 
.-  v )  <->  ( y
d u )  =  ( y d v ) ) )
2720oveqd 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
z  .-  u )  =  ( z d u ) )
2820oveqd 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
z  .-  v )  =  ( z d v ) )
2927, 28eqeq12d 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( z  .-  u
)  =  ( z 
.-  v )  <->  ( z
d u )  =  ( z d v ) ) )
3023, 26, 293anbi123d 1294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( ( x  .-  u )  =  ( x  .-  v )  /\  ( y  .-  u )  =  ( y  .-  v )  /\  ( z  .-  u )  =  ( z  .-  v ) )  <->  ( ( x d u )  =  ( x d v )  /\  ( y d u )  =  ( y d v )  /\  ( z d u )  =  ( z d v ) ) ) )
3130anbi1d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( ( ( x 
.-  u )  =  ( x  .-  v
)  /\  ( y  .-  u )  =  ( y  .-  v )  /\  ( z  .-  u )  =  ( z  .-  v ) )  /\  u  =/=  v )  <->  ( (
( x d u )  =  ( x d v )  /\  ( y d u )  =  ( y d v )  /\  ( z d u )  =  ( z d v ) )  /\  u  =/=  v
) ) )
3231, 14imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( ( ( ( x  .-  u )  =  ( x  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( y  .-  v )  /\  (
z  .-  u )  =  ( z  .-  v ) )  /\  u  =/=  v )  -> 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  ( (
( ( x d u )  =  ( x d v )  /\  ( y d u )  =  ( y d v )  /\  ( z d u )  =  ( z d v ) )  /\  u  =/=  v )  ->  (
z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) )
335, 32raleqbidv 3065 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( A. v  e.  P  ( ( ( ( x  .-  u )  =  ( x  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( y  .-  v )  /\  (
z  .-  u )  =  ( z  .-  v ) )  /\  u  =/=  v )  -> 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  A. v  e.  p  ( (
( ( x d u )  =  ( x d v )  /\  ( y d u )  =  ( y d v )  /\  ( z d u )  =  ( z d v ) )  /\  u  =/=  v )  ->  (
z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) )
345, 33raleqbidv 3065 . . . . . . 7  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( ( x  .-  u )  =  ( x  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( y  .-  v )  /\  (
z  .-  u )  =  ( z  .-  v ) )  /\  u  =/=  v )  -> 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
( ( x d u )  =  ( x d v )  /\  ( y d u )  =  ( y d v )  /\  ( z d u )  =  ( z d v ) )  /\  u  =/=  v )  ->  (
z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) )
355, 34raleqbidv 3065 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( ( x  .-  u )  =  ( x  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( y  .-  v )  /\  (
z  .-  u )  =  ( z  .-  v ) )  /\  u  =/=  v )  -> 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
( ( x d u )  =  ( x d v )  /\  ( y d u )  =  ( y d v )  /\  ( z d u )  =  ( z d v ) )  /\  u  =/=  v )  ->  (
z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) )
365, 35raleqbidv 3065 . . . . 5  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( ( x  .-  u )  =  ( x  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( y  .-  v )  /\  (
z  .-  u )  =  ( z  .-  v ) )  /\  u  =/=  v )  -> 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
( ( x d u )  =  ( x d v )  /\  ( y d u )  =  ( y d v )  /\  ( z d u )  =  ( z d v ) )  /\  u  =/=  v )  ->  (
z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) )
375, 36raleqbidv 3065 . . . 4  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( ( x  .-  u )  =  ( x  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( y  .-  v )  /\  (
z  .-  u )  =  ( z  .-  v ) )  /\  u  =/=  v )  -> 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
( ( x d u )  =  ( x d v )  /\  ( y d u )  =  ( y d v )  /\  ( z d u )  =  ( z d v ) )  /\  u  =/=  v )  ->  (
z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) )
3818, 37anbi12d 710 . . 3  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  (
( ( ( x 
.-  u )  =  ( x  .-  v
)  /\  ( y  .-  u )  =  ( y  .-  v )  /\  ( z  .-  u )  =  ( z  .-  v ) )  /\  u  =/=  v )  ->  (
z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  ( E. x  e.  p  E. y  e.  p  E. z  e.  p  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) )  /\  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
( ( x d u )  =  ( x d v )  /\  ( y d u )  =  ( y d v )  /\  ( z d u )  =  ( z d v ) )  /\  u  =/=  v )  ->  (
z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) ) )
391, 2, 3, 38sbcie3s 14523 . 2  |-  ( f  =  G  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  p ]. [. ( dist `  f
)  /  d ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. ( E. x  e.  p  E. y  e.  p  E. z  e.  p  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) )  /\  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
( ( x d u )  =  ( x d v )  /\  ( y d u )  =  ( y d v )  /\  ( z d u )  =  ( z d v ) )  /\  u  =/=  v )  ->  (
z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) )  <->  ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( (
( ( x  .-  u )  =  ( x  .-  v )  /\  ( y  .-  u )  =  ( y  .-  v )  /\  ( z  .-  u )  =  ( z  .-  v ) )  /\  u  =/=  v )  ->  (
z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
40 df-trkg2d 23570 . 2  |- TarskiG2D  =  { f  |  [. ( Base `  f
)  /  p ]. [. ( dist `  f
)  /  d ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. ( E. x  e.  p  E. y  e.  p  E. z  e.  p  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) )  /\  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
( ( x d u )  =  ( x d v )  /\  ( y d u )  =  ( y d v )  /\  ( z d u )  =  ( z d v ) )  /\  u  =/=  v )  ->  (
z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) }
4139, 40elab4g 3247 1  |-  ( G  e. TarskiG2D  <->  ( G  e.  _V  /\  ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( (
( ( x  .-  u )  =  ( x  .-  v )  /\  ( y  .-  u )  =  ( y  .-  v )  /\  ( z  .-  u )  =  ( z  .-  v ) )  /\  u  =/=  v )  ->  (
z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 967    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3106   [.wsbc 3324   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   distcds 14553  TarskiG2Dcstrkg2d 23551  Itvcitv 23553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-nul 4569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-iota 5542  df-fv 5587  df-ov 6278  df-trkg2d 23570
This theorem is referenced by:  axtglowdim2OLD  23588  axtgupdim2  23590
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