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Theorem istrkg2d 22944
Description: Property of fulfilling dimension 2 axiom (Contributed by Thierry Arnoux, 29-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
istrkg.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
istrkg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
Assertion
Ref Expression
istrkg2d  |-  ( G  e. TarskiG2D  <->  ( G  e.  _V  /\  ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( (
( ( x  .-  u )  =  ( x  .-  v )  /\  ( y  .-  u )  =  ( y  .-  v )  /\  ( z  .-  u )  =  ( z  .-  v ) )  /\  u  =/=  v )  ->  (
z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z    v, u, x, y, z, I    u, P, v, x, y, z   
u,  .- , v, x, y, z
Allowed substitution hints:    G( x, y, z, v, u)

Proof of Theorem istrkg2d
Dummy variables  p  d  f  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istrkg.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 istrkg.d . . 3  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 istrkg.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
4 simp1 988 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  p  =  P )
54eqcomd 2448 . . . . 5  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  P  =  p )
6 simp3 990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  i  =  I )
76eqcomd 2448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  I  =  i )
87oveqd 6129 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
x I y )  =  ( x i y ) )
98eleq2d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
z  e.  ( x I y )  <->  z  e.  ( x i y ) ) )
107oveqd 6129 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
z I y )  =  ( z i y ) )
1110eleq2d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
x  e.  ( z I y )  <->  x  e.  ( z i y ) ) )
127oveqd 6129 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
x I z )  =  ( x i z ) )
1312eleq2d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
y  e.  ( x I z )  <->  y  e.  ( x i z ) ) )
149, 11, 133orbi123d 1288 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  <->  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) )
1514notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  <->  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) )
165, 15rexeqbidv 2953 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  <->  E. z  e.  p  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) )
175, 16rexeqbidv 2953 . . . . 5  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  <->  E. y  e.  p  E. z  e.  p  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) )
185, 17rexeqbidv 2953 . . . 4  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  <->  E. x  e.  p  E. y  e.  p  E. z  e.  p  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) )
19 simp2 989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  d  =  .-  )
2019eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  .-  =  d )
2120oveqd 6129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
x  .-  u )  =  ( x d u ) )
2220oveqd 6129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
x  .-  v )  =  ( x d v ) )
2321, 22eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( x  .-  u
)  =  ( x 
.-  v )  <->  ( x
d u )  =  ( x d v ) ) )
2420oveqd 6129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
y  .-  u )  =  ( y d u ) )
2520oveqd 6129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
y  .-  v )  =  ( y d v ) )
2624, 25eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( y  .-  u
)  =  ( y 
.-  v )  <->  ( y
d u )  =  ( y d v ) ) )
2720oveqd 6129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
z  .-  u )  =  ( z d u ) )
2820oveqd 6129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
z  .-  v )  =  ( z d v ) )
2927, 28eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( z  .-  u
)  =  ( z 
.-  v )  <->  ( z
d u )  =  ( z d v ) ) )
3023, 26, 293anbi123d 1289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( ( x  .-  u )  =  ( x  .-  v )  /\  ( y  .-  u )  =  ( y  .-  v )  /\  ( z  .-  u )  =  ( z  .-  v ) )  <->  ( ( x d u )  =  ( x d v )  /\  ( y d u )  =  ( y d v )  /\  ( z d u )  =  ( z d v ) ) ) )
3130anbi1d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( ( ( x 
.-  u )  =  ( x  .-  v
)  /\  ( y  .-  u )  =  ( y  .-  v )  /\  ( z  .-  u )  =  ( z  .-  v ) )  /\  u  =/=  v )  <->  ( (
( x d u )  =  ( x d v )  /\  ( y d u )  =  ( y d v )  /\  ( z d u )  =  ( z d v ) )  /\  u  =/=  v
) ) )
3231, 14imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( ( ( ( x  .-  u )  =  ( x  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( y  .-  v )  /\  (
z  .-  u )  =  ( z  .-  v ) )  /\  u  =/=  v )  -> 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  ( (
( ( x d u )  =  ( x d v )  /\  ( y d u )  =  ( y d v )  /\  ( z d u )  =  ( z d v ) )  /\  u  =/=  v )  ->  (
z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) )
335, 32raleqbidv 2952 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( A. v  e.  P  ( ( ( ( x  .-  u )  =  ( x  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( y  .-  v )  /\  (
z  .-  u )  =  ( z  .-  v ) )  /\  u  =/=  v )  -> 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  A. v  e.  p  ( (
( ( x d u )  =  ( x d v )  /\  ( y d u )  =  ( y d v )  /\  ( z d u )  =  ( z d v ) )  /\  u  =/=  v )  ->  (
z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) )
345, 33raleqbidv 2952 . . . . . . 7  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( ( x  .-  u )  =  ( x  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( y  .-  v )  /\  (
z  .-  u )  =  ( z  .-  v ) )  /\  u  =/=  v )  -> 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
( ( x d u )  =  ( x d v )  /\  ( y d u )  =  ( y d v )  /\  ( z d u )  =  ( z d v ) )  /\  u  =/=  v )  ->  (
z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) )
355, 34raleqbidv 2952 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( ( x  .-  u )  =  ( x  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( y  .-  v )  /\  (
z  .-  u )  =  ( z  .-  v ) )  /\  u  =/=  v )  -> 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
( ( x d u )  =  ( x d v )  /\  ( y d u )  =  ( y d v )  /\  ( z d u )  =  ( z d v ) )  /\  u  =/=  v )  ->  (
z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) )
365, 35raleqbidv 2952 . . . . 5  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( ( x  .-  u )  =  ( x  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( y  .-  v )  /\  (
z  .-  u )  =  ( z  .-  v ) )  /\  u  =/=  v )  -> 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
( ( x d u )  =  ( x d v )  /\  ( y d u )  =  ( y d v )  /\  ( z d u )  =  ( z d v ) )  /\  u  =/=  v )  ->  (
z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) )
375, 36raleqbidv 2952 . . . 4  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( ( x  .-  u )  =  ( x  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( y  .-  v )  /\  (
z  .-  u )  =  ( z  .-  v ) )  /\  u  =/=  v )  -> 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) )  <->  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
( ( x d u )  =  ( x d v )  /\  ( y d u )  =  ( y d v )  /\  ( z d u )  =  ( z d v ) )  /\  u  =/=  v )  ->  (
z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) )
3818, 37anbi12d 710 . . 3  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  (
( ( ( x 
.-  u )  =  ( x  .-  v
)  /\  ( y  .-  u )  =  ( y  .-  v )  /\  ( z  .-  u )  =  ( z  .-  v ) )  /\  u  =/=  v )  ->  (
z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )  <->  ( E. x  e.  p  E. y  e.  p  E. z  e.  p  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) )  /\  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
( ( x d u )  =  ( x d v )  /\  ( y d u )  =  ( y d v )  /\  ( z d u )  =  ( z d v ) )  /\  u  =/=  v )  ->  (
z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) ) )
391, 2, 3, 38sbcie3s 14239 . 2  |-  ( f  =  G  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  p ]. [. ( dist `  f
)  /  d ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. ( E. x  e.  p  E. y  e.  p  E. z  e.  p  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) )  /\  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
( ( x d u )  =  ( x d v )  /\  ( y d u )  =  ( y d v )  /\  ( z d u )  =  ( z d v ) )  /\  u  =/=  v )  ->  (
z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) )  <->  ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( (
( ( x  .-  u )  =  ( x  .-  v )  /\  ( y  .-  u )  =  ( y  .-  v )  /\  ( z  .-  u )  =  ( z  .-  v ) )  /\  u  =/=  v )  ->  (
z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
40 df-trkg2d 22937 . 2  |- TarskiG2D  =  { f  |  [. ( Base `  f
)  /  p ]. [. ( dist `  f
)  /  d ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. ( E. x  e.  p  E. y  e.  p  E. z  e.  p  -.  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) )  /\  A. x  e.  p  A. y  e.  p  A. z  e.  p  A. u  e.  p  A. v  e.  p  ( (
( ( x d u )  =  ( x d v )  /\  ( y d u )  =  ( y d v )  /\  ( z d u )  =  ( z d v ) )  /\  u  =/=  v )  ->  (
z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) ) ) }
4139, 40elab4g 3131 1  |-  ( G  e. TarskiG2D  <->  ( G  e.  _V  /\  ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( (
( ( x  .-  u )  =  ( x  .-  v )  /\  ( y  .-  u )  =  ( y  .-  v )  /\  ( z  .-  u )  =  ( z  .-  v ) )  /\  u  =/=  v )  ->  (
z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 2993   [.wsbc 3207   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Basecbs 14195   distcds 14268  TarskiG2Dcstrkg2d 22917  Itvcitv 22919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-nul 4442
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-iota 5402  df-fv 5447  df-ov 6115  df-trkg2d 22937
This theorem is referenced by:  axtglowdim2  22953  axtgupdim2  22954
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