MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  istps2 Structured version   Unicode version

Theorem istps2 18658
Description: Express the predicate "is a topological space." (Contributed by NM, 20-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
istps.a  |-  A  =  ( Base `  K
)
istps.j  |-  J  =  ( TopOpen `  K )
Assertion
Ref Expression
istps2  |-  ( K  e.  TopSp 
<->  ( J  e.  Top  /\  A  =  U. J
) )

Proof of Theorem istps2
StepHypRef Expression
1 istps.a . . 3  |-  A  =  ( Base `  K
)
2 istps.j . . 3  |-  J  =  ( TopOpen `  K )
31, 2istps 18657 . 2  |-  ( K  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  A ) )
4 istopon 18646 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  A  =  U. J ) )
53, 4bitri 249 1  |-  ( K  e.  TopSp 
<->  ( J  e.  Top  /\  A  =  U. J
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   U.cuni 4189   ` cfv 5516   Basecbs 14276   TopOpenctopn 14462   Topctop 18614  TopOnctopon 18615   TopSpctps 18617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fv 5524  df-top 18619  df-topon 18622  df-topsp 18623
This theorem is referenced by:  tpsuni  18659  tpstop  18660  istpsi  18665
  Copyright terms: Public domain W3C validator