Theorem istps 8875

Description: Express the predicate "is a topological space."

Assertion

Ref	Expression
istps	|- (<.A, J>. e. TopSp <-> (J e. Top /\ A = U.J))

Proof of Theorem istps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpsex 8874	. 2 |- (<.A, J>. e. TopSp -> (A e. _V /\ J e. _V))
2		simpr 350	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A = U.J) -> A = U.J)
3		uniexg 3795	. . . . 5 |- (J e. Top -> U.J e. _V)
4	3	adantr 425	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A = U.J) -> U.J e. _V)
5	2, 4	eqeltrd 1971	. . 3 |- ((J e. Top /\ A = U.J) -> A e. _V)
6		elisset 2299	. . . 4 |- (J e. Top -> J e. _V)
7	6	adantr 425	. . 3 |- ((J e. Top /\ A = U.J) -> J e. _V)
8	5, 7	jca 310	. 2 |- ((J e. Top /\ A = U.J) -> (A e. _V /\ J e. _V))
9		eqeq1 1890	. . . . 5 |- (x = A -> (x = U.y <-> A = U.y))
10	9	anbi2d 678	. . . 4 |- (x = A -> ((y e. Top /\ x = U.y) <-> (y e. Top /\ A = U.y)))
11		eleq1 1957	. . . . 5 |- (y = J -> (y e. Top <-> J e. Top))
12		unieq 3185	. . . . . 6 |- (y = J -> U.y = U.J)
13	12	eqeq2d 1895	. . . . 5 |- (y = J -> (A = U.y <-> A = U.J))
14	11, 13	anbi12d 690	. . . 4 |- (y = J -> ((y e. Top /\ A = U.y) <-> (J e. Top /\ A = U.J)))
15	10, 14	opelopabg 3567	. . 3 |- ((A e. _V /\ J e. _V) -> (<.A, J>. e. {<.x, y>. | (y e. Top /\ x = U.y)} <-> (J e. Top /\ A = U.J)))
16		df-topsp 8862	. . . 4 |- TopSp = {<.x, y>. | (y e. Top /\ x = U.y)}
17	16	eleq2i 1961	. . 3 |- (<.A, J>. e. TopSp <-> <.A, J>. e. {<.x, y>. | (y e. Top /\ x = U.y)})
18	15, 17	syl5bb 591	. 2 |- ((A e. _V /\ J e. _V) -> (<.A, J>. e. TopSp <-> (J e. Top /\ A = U.J)))
19	1, 8, 18	pm5.21nii 743	1 |- (<.A, J>. e. TopSp <-> (J e. Top /\ A = U.J))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  <.cop 3046  U.cuni 3177  {copab 3395  Topctop 8857  TopSpctps 8858

This theorem is referenced by:  istps2 8876  retps 8928  stoiglem 10250  stoig2 10252  stoig3 10253  subtopsin2 14907  stoi 14998

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-top 8861  df-topsp 8862

Copyright terms: Public domain