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Theorem istotbnd3 29868
Description: A metric space is totally bounded iff there is a finite ε-net for every positive ε. This differs from the definition in providing a finite set of ball centers rather than a finite set of balls. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
istotbnd3  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X ) )
Distinct variable groups:    v, d, x, M    X, d, v, x

Proof of Theorem istotbnd3
Dummy variables  b 
f  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istotbnd 29866 . 2  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. w  e. 
Fin  ( U. w  =  X  /\  A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
2 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( f `  b )  ->  (
x ( ball `  M
) d )  =  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) )
32eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( f `  b )  ->  (
b  =  ( x ( ball `  M
) d )  <->  b  =  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) )
43ac6sfi 7760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) )  ->  E. f ( f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )
54ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  Fin  ->  ( A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d )  ->  E. f
( f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) ) )
65ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  U. w  =  X )  ->  ( A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d )  ->  E. f
( f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) ) )
7 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  f :
w --> X )
8 frn 5735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : w --> X  ->  ran  f  C_  X )
97, 8syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  ran  f  C_  X )
10 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  w  e.  Fin )
11 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : w --> X  -> 
f  Fn  w )
127, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  f  Fn  w )
13 dffn4 5799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  Fn  w  <->  f :
w -onto-> ran  f )
1412, 13sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  f :
w -onto-> ran  f )
15 fofi 7802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  f : w -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
1610, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  ran  f  e. 
Fin )
17 elfpw 7818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  f  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  <->  ( ran  f  C_  X  /\  ran  f  e.  Fin ) )
189, 16, 17sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  ran  f  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )
192eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( f `  b )  ->  (
v  e.  ( x ( ball `  M
) d )  <->  v  e.  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) )
2019rexrn 6021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  Fn  w  ->  ( E. x  e.  ran  f  v  e.  (
x ( ball `  M
) d )  <->  E. b  e.  w  v  e.  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) )
2112, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  ( E. x  e.  ran  f  v  e.  ( x (
ball `  M )
d )  <->  E. b  e.  w  v  e.  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) )
22 eliun 4330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  M
) d )  <->  E. x  e.  ran  f  v  e.  ( x ( ball `  M ) d ) )
23 eliun 4330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  U_ b  e.  w  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d )  <->  E. b  e.  w  v  e.  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) )
2421, 22, 233bitr4g 288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  ( v  e.  U_ x  e.  ran  f ( x (
ball `  M )
d )  <->  v  e.  U_ b  e.  w  ( ( f `  b
) ( ball `  M
) d ) ) )
2524eqrdv 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  M
) d )  = 
U_ b  e.  w  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) )
26 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) )
27 iuneq2 4342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d )  ->  U_ b  e.  w  b  =  U_ b  e.  w  ( ( f `  b
) ( ball `  M
) d ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  U_ b  e.  w  b  =  U_ b  e.  w  (
( f `  b
) ( ball `  M
) d ) )
29 uniiun 4378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. w  =  U_ b  e.  w  b
30 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  U. w  =  X )
3129, 30syl5eqr 2522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  U_ b  e.  w  b  =  X )
3225, 28, 313eqtr2d 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  M
) d )  =  X )
33 iuneq1 4339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ran  f  ->  U_ x  e.  v 
( x ( ball `  M ) d )  =  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  M
) d ) )
3433eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ran  f  -> 
( U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  =  X  <->  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  M
) d )  =  X ) )
3534rspcev 3214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ran  f  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  M
) d )  =  X )  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X )
3618, 32, 35syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X )
3736expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  U. w  =  X )  ->  (
( f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) )  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X ) )
3837exlimdv 1700 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  U. w  =  X )  ->  ( E. f ( f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) )  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v 
( x ( ball `  M ) d )  =  X ) )
396, 38syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  U. w  =  X )  ->  ( A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d )  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X ) )
4039expimpd 603 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  ->  (
( U. w  =  X  /\  A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) )  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X ) )
4140rexlimdva 2955 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( E. w  e.  Fin  ( U. w  =  X  /\  A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) )  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v 
( x ( ball `  M ) d )  =  X ) )
42 elfpw 7818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  <->  ( v  C_  X  /\  v  e. 
Fin ) )
4342simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  v  e.  Fin )
4443ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  =  X ) )  ->  v  e.  Fin )
45 mptfi 7815 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  Fin  ->  (
x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  e.  Fin )
46 rnfi 7801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M ) d ) )  e.  Fin )
4744, 45, 463syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  =  X ) )  ->  ran  ( x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  e.  Fin )
48 ovex 6307 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( ball `  M
) d )  e. 
_V
4948dfiun3 5255 . . . . . . . . 9  |-  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  =  U. ran  ( x  e.  v 
|->  ( x ( ball `  M ) d ) )
50 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  =  X ) )  ->  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  =  X )
5149, 50syl5eqr 2522 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  =  X ) )  ->  U. ran  ( x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  =  X )
52 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  =  ( x  e.  v  |->  ( x (
ball `  M )
d ) )
5352rnmpt 5246 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  =  { b  |  E. x  e.  v  b  =  ( x ( ball `  M
) d ) }
5442simplbi 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  v  C_  X )
5554ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  =  X ) )  ->  v  C_  X
)
56 ssrexv 3565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v 
C_  X  ->  ( E. x  e.  v 
b  =  ( x ( ball `  M
) d )  ->  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  =  X ) )  ->  ( E. x  e.  v  b  =  ( x ( ball `  M ) d )  ->  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
5857ss2abdv 3573 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  =  X ) )  ->  { b  |  E. x  e.  v  b  =  ( x ( ball `  M
) d ) } 
C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) } )
5953, 58syl5eqss 3548 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  =  X ) )  ->  ran  ( x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M
) d ) ) 
C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) } )
60 unieq 4253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ran  ( x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  U. w  =  U. ran  ( x  e.  v 
|->  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
6160eqeq1d 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ran  ( x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  ( U. w  =  X  <->  U. ran  ( x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  =  X ) )
62 ssabral 3571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w 
C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) }  <->  A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) )
63 sseq1 3525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ran  ( x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  ( w  C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) }  <->  ran  ( x  e.  v  |->  ( x (
ball `  M )
d ) )  C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) } ) )
6462, 63syl5bbr 259 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ran  ( x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  ( A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d )  <->  ran  ( x  e.  v 
|->  ( x ( ball `  M ) d ) )  C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) } ) )
6561, 64anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ran  ( x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  ( ( U. w  =  X  /\  A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) )  <->  ( U. ran  ( x  e.  v 
|->  ( x ( ball `  M ) d ) )  =  X  /\  ran  ( x  e.  v 
|->  ( x ( ball `  M ) d ) )  C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) } ) ) )
6665rspcev 3214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( x  e.  v  |->  ( x (
ball `  M )
d ) )  e. 
Fin  /\  ( U. ran  ( x  e.  v 
|->  ( x ( ball `  M ) d ) )  =  X  /\  ran  ( x  e.  v 
|->  ( x ( ball `  M ) d ) )  C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) } ) )  ->  E. w  e.  Fin  ( U. w  =  X  /\  A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
6747, 51, 59, 66syl12anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  =  X ) )  ->  E. w  e.  Fin  ( U. w  =  X  /\  A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M
) d ) ) )
6867expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  ( U_ x  e.  v 
( x ( ball `  M ) d )  =  X  ->  E. w  e.  Fin  ( U. w  =  X  /\  A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
6968rexlimdva 2955 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  (
x ( ball `  M
) d )  =  X  ->  E. w  e.  Fin  ( U. w  =  X  /\  A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
7041, 69impbid 191 . . . 4  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( E. w  e.  Fin  ( U. w  =  X  /\  A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) )  <->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X ) )
7170ralbidv 2903 . . 3  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( A. d  e.  RR+  E. w  e.  Fin  ( U. w  =  X  /\  A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v 
( x ( ball `  M ) d )  =  X ) )
7271pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  A. d  e.  RR+  E. w  e.  Fin  ( U. w  =  X  /\  A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X ) )
731, 72bitri 249 1  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   U_ciun 4325    |-> cmpt 4505   ran crn 5000    Fn wfn 5581   -->wf 5582   -onto->wfo 5584   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   RR+crp 11216   Metcme 18172   ballcbl 18173   TotBndctotbnd 29863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-fin 7517  df-totbnd 29865
This theorem is referenced by:  0totbnd  29870  sstotbnd2  29871  equivtotbnd  29875  totbndbnd  29886  prdstotbnd  29891
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