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Theorem istotbnd3 31513
Description: A metric space is totally bounded iff there is a finite ε-net for every positive ε. This differs from the definition in providing a finite set of ball centers rather than a finite set of balls. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
istotbnd3  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X ) )
Distinct variable groups:    v, d, x, M    X, d, v, x

Proof of Theorem istotbnd3
Dummy variables  b 
f  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istotbnd 31511 . 2  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. w  e. 
Fin  ( U. w  =  X  /\  A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
2 oveq1 6239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( f `  b )  ->  (
x ( ball `  M
) d )  =  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) )
32eqeq2d 2414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( f `  b )  ->  (
b  =  ( x ( ball `  M
) d )  <->  b  =  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) )
43ac6sfi 7716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) )  ->  E. f ( f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )
54ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  Fin  ->  ( A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d )  ->  E. f
( f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) ) )
65ad2antlr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  U. w  =  X )  ->  ( A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d )  ->  E. f
( f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) ) )
7 simprrl 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  f :
w --> X )
8 frn 5674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : w --> X  ->  ran  f  C_  X )
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  ran  f  C_  X )
10 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  w  e.  Fin )
11 ffn 5668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : w --> X  -> 
f  Fn  w )
127, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  f  Fn  w )
13 dffn4 5738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  Fn  w  <->  f :
w -onto-> ran  f )
1412, 13sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  f :
w -onto-> ran  f )
15 fofi 7758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  f : w -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
1610, 14, 15syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  ran  f  e. 
Fin )
17 elfpw 7774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  f  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  <->  ( ran  f  C_  X  /\  ran  f  e.  Fin ) )
189, 16, 17sylanbrc 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  ran  f  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )
192eleq2d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( f `  b )  ->  (
v  e.  ( x ( ball `  M
) d )  <->  v  e.  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) )
2019rexrn 5965 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  Fn  w  ->  ( E. x  e.  ran  f  v  e.  (
x ( ball `  M
) d )  <->  E. b  e.  w  v  e.  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) )
2112, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  ( E. x  e.  ran  f  v  e.  ( x (
ball `  M )
d )  <->  E. b  e.  w  v  e.  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) )
22 eliun 4273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  M
) d )  <->  E. x  e.  ran  f  v  e.  ( x ( ball `  M ) d ) )
23 eliun 4273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  U_ b  e.  w  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d )  <->  E. b  e.  w  v  e.  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) )
2421, 22, 233bitr4g 288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  ( v  e.  U_ x  e.  ran  f ( x (
ball `  M )
d )  <->  v  e.  U_ b  e.  w  ( ( f `  b
) ( ball `  M
) d ) ) )
2524eqrdv 2397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  M
) d )  = 
U_ b  e.  w  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) )
26 simprrr 765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) )
27 iuneq2 4285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d )  ->  U_ b  e.  w  b  =  U_ b  e.  w  ( ( f `  b
) ( ball `  M
) d ) )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  U_ b  e.  w  b  =  U_ b  e.  w  (
( f `  b
) ( ball `  M
) d ) )
29 uniiun 4321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. w  =  U_ b  e.  w  b
30 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  U. w  =  X )
3129, 30syl5eqr 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  U_ b  e.  w  b  =  X )
3225, 28, 313eqtr2d 2447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  M
) d )  =  X )
33 iuneq1 4282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ran  f  ->  U_ x  e.  v 
( x ( ball `  M ) d )  =  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  M
) d ) )
3433eqeq1d 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ran  f  -> 
( U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  =  X  <->  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  M
) d )  =  X ) )
3534rspcev 3157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ran  f  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  M
) d )  =  X )  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X )
3618, 32, 35syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  ( U. w  =  X  /\  (
f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X )
3736expr 613 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  U. w  =  X )  ->  (
( f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) )  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X ) )
3837exlimdv 1743 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  U. w  =  X )  ->  ( E. f ( f : w --> X  /\  A. b  e.  w  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) )  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v 
( x ( ball `  M ) d )  =  X ) )
396, 38syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  /\  U. w  =  X )  ->  ( A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d )  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X ) )
4039expimpd 601 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  w  e.  Fin )  ->  (
( U. w  =  X  /\  A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) )  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X ) )
4140rexlimdva 2893 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( E. w  e.  Fin  ( U. w  =  X  /\  A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) )  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v 
( x ( ball `  M ) d )  =  X ) )
42 elfpw 7774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  <->  ( v  C_  X  /\  v  e. 
Fin ) )
4342simprbi 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  v  e.  Fin )
4443ad2antrl 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  =  X ) )  ->  v  e.  Fin )
45 mptfi 7771 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  Fin  ->  (
x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  e.  Fin )
46 rnfi 7757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M ) d ) )  e.  Fin )
4744, 45, 463syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  =  X ) )  ->  ran  ( x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  e.  Fin )
48 ovex 6260 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( ball `  M
) d )  e. 
_V
4948dfiun3 5197 . . . . . . . . 9  |-  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  =  U. ran  ( x  e.  v 
|->  ( x ( ball `  M ) d ) )
50 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  =  X ) )  ->  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  =  X )
5149, 50syl5eqr 2455 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  =  X ) )  ->  U. ran  ( x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  =  X )
52 eqid 2400 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  =  ( x  e.  v  |->  ( x (
ball `  M )
d ) )
5352rnmpt 5188 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  =  { b  |  E. x  e.  v  b  =  ( x ( ball `  M
) d ) }
5442simplbi 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  v  C_  X )
5554ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  =  X ) )  ->  v  C_  X
)
56 ssrexv 3501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v 
C_  X  ->  ( E. x  e.  v 
b  =  ( x ( ball `  M
) d )  ->  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  =  X ) )  ->  ( E. x  e.  v  b  =  ( x ( ball `  M ) d )  ->  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
5857ss2abdv 3509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  =  X ) )  ->  { b  |  E. x  e.  v  b  =  ( x ( ball `  M
) d ) } 
C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) } )
5953, 58syl5eqss 3483 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  =  X ) )  ->  ran  ( x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M
) d ) ) 
C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) } )
60 unieq 4196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ran  ( x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  U. w  =  U. ran  ( x  e.  v 
|->  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
6160eqeq1d 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ran  ( x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  ( U. w  =  X  <->  U. ran  ( x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  =  X ) )
62 ssabral 3507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w 
C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) }  <->  A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) )
63 sseq1 3460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ran  ( x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  ( w  C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) }  <->  ran  ( x  e.  v  |->  ( x (
ball `  M )
d ) )  C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) } ) )
6462, 63syl5bbr 259 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ran  ( x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  ( A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d )  <->  ran  ( x  e.  v 
|->  ( x ( ball `  M ) d ) )  C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) } ) )
6561, 64anbi12d 709 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ran  ( x  e.  v  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  ( ( U. w  =  X  /\  A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) )  <->  ( U. ran  ( x  e.  v 
|->  ( x ( ball `  M ) d ) )  =  X  /\  ran  ( x  e.  v 
|->  ( x ( ball `  M ) d ) )  C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) } ) ) )
6665rspcev 3157 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( x  e.  v  |->  ( x (
ball `  M )
d ) )  e. 
Fin  /\  ( U. ran  ( x  e.  v 
|->  ( x ( ball `  M ) d ) )  =  X  /\  ran  ( x  e.  v 
|->  ( x ( ball `  M ) d ) )  C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) } ) )  ->  E. w  e.  Fin  ( U. w  =  X  /\  A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
6747, 51, 59, 66syl12anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  =  X ) )  ->  E. w  e.  Fin  ( U. w  =  X  /\  A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M
) d ) ) )
6867expr 613 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  ( U_ x  e.  v 
( x ( ball `  M ) d )  =  X  ->  E. w  e.  Fin  ( U. w  =  X  /\  A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
6968rexlimdva 2893 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  (
x ( ball `  M
) d )  =  X  ->  E. w  e.  Fin  ( U. w  =  X  /\  A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
7041, 69impbid 191 . . . 4  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( E. w  e.  Fin  ( U. w  =  X  /\  A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) )  <->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X ) )
7170ralbidv 2840 . . 3  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( A. d  e.  RR+  E. w  e.  Fin  ( U. w  =  X  /\  A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v 
( x ( ball `  M ) d )  =  X ) )
7271pm5.32i 635 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  A. d  e.  RR+  E. w  e.  Fin  ( U. w  =  X  /\  A. b  e.  w  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X ) )
731, 72bitri 249 1  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1403   E.wex 1631    e. wcel 1840   {cab 2385   A.wral 2751   E.wrex 2752    i^i cin 3410    C_ wss 3411   ~Pcpw 3952   U.cuni 4188   U_ciun 4268    |-> cmpt 4450   ran crn 4941    Fn wfn 5518   -->wf 5519   -onto->wfo 5521   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   Fincfn 7472   RR+crp 11181   Metcme 18614   ballcbl 18615   TotBndctotbnd 31508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-fin 7476  df-totbnd 31510
This theorem is referenced by:  0totbnd  31515  sstotbnd2  31516  equivtotbnd  31520  totbndbnd  31531  prdstotbnd  31536
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