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Theorem istotbnd 31528
Description: The predicate "is a totally bounded metric space". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
istotbnd  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
Distinct variable groups:    b, d,
v, x, M    X, b, d, v, x

Proof of Theorem istotbnd
Dummy variables  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5832 . 2  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  X  e.  _V )
2 elfvex 5832 . . 3  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  X  e.  _V )
32adantr 463 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )  ->  X  e.  _V )
4 fveq2 5805 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  ( Met `  y )  =  ( Met `  X
) )
5 eqeq2 2417 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  ( U. v  =  y  <->  U. v  =  X ) )
6 rexeq 3004 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  ( E. x  e.  y 
b  =  ( x ( ball `  m
) d )  <->  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) )
76ralbidv 2842 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  ( A. b  e.  v  E. x  e.  y 
b  =  ( x ( ball `  m
) d )  <->  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) )
85, 7anbi12d 709 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  (
( U. v  =  y  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  y  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) )  <->  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) ) )
98rexbidv 2917 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  ( E. v  e.  Fin  ( U. v  =  y  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  y  b  =  ( x ( ball `  m
) d ) )  <->  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m
) d ) ) ) )
109ralbidv 2842 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  y  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  y  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  m )
d ) ) ) )
114, 10rabeqbidv 3053 . . . . 5  |-  ( y  =  X  ->  { m  e.  ( Met `  y
)  |  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  y  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  y  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) }  =  {
m  e.  ( Met `  X )  |  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) } )
12 df-totbnd 31527 . . . . 5  |-  TotBnd  =  ( y  e.  _V  |->  { m  e.  ( Met `  y )  |  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  y  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  y  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) } )
13 fvex 5815 . . . . . 6  |-  ( Met `  X )  e.  _V
1413rabex 4544 . . . . 5  |-  { m  e.  ( Met `  X
)  |  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) }  e.  _V
1511, 12, 14fvmpt 5888 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  ( TotBnd `
 X )  =  { m  e.  ( Met `  X )  |  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m
) d ) ) } )
1615eleq2d 2472 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( M  e.  ( TotBnd `  X )  <->  M  e.  { m  e.  ( Met `  X )  |  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) } ) )
17 fveq2 5805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  ( ball `  m )  =  ( ball `  M
) )
1817oveqd 6251 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (
x ( ball `  m
) d )  =  ( x ( ball `  M ) d ) )
1918eqeq2d 2416 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
b  =  ( x ( ball `  m
) d )  <->  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
2019rexbidv 2917 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  ( E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  m )
d )  <->  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
2120ralbidv 2842 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  ( A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  m )
d )  <->  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
2221anbi2d 702 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) )  <->  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
2322rexbidv 2917 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  ( E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m
) d ) )  <->  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M
) d ) ) ) )
2423ralbidv 2842 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) ) ) )
2524elrab 3206 . . 3  |-  ( M  e.  { m  e.  ( Met `  X
)  |  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) }  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
2616, 25syl6bb 261 . 2  |-  ( X  e.  _V  ->  ( M  e.  ( TotBnd `  X )  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) ) )
271, 3, 26pm5.21nii 351 1  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754   {crab 2757   _Vcvv 3058   U.cuni 4190   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Fincfn 7474   RR+crp 11183   Metcme 18616   ballcbl 18617   TotBndctotbnd 31525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fv 5533  df-ov 6237  df-totbnd 31527
This theorem is referenced by:  istotbnd2  31529  istotbnd3  31530  totbndmet  31531  totbndss  31536  heibor1  31569  heibor  31580
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