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Theorem istotbnd 29857
Description: The predicate "is a totally bounded metric space". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
istotbnd  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
Distinct variable groups:    b, d,
v, x, M    X, b, d, v, x

Proof of Theorem istotbnd
Dummy variables  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5886 . 2  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  X  e.  _V )
2 elfvex 5886 . . 3  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  X  e.  _V )
32adantr 465 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )  ->  X  e.  _V )
4 fveq2 5859 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  ( Met `  y )  =  ( Met `  X
) )
5 eqeq2 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  ( U. v  =  y  <->  U. v  =  X ) )
6 rexeq 3054 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  ( E. x  e.  y 
b  =  ( x ( ball `  m
) d )  <->  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) )
76ralbidv 2898 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  ( A. b  e.  v  E. x  e.  y 
b  =  ( x ( ball `  m
) d )  <->  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) )
85, 7anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  (
( U. v  =  y  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  y  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) )  <->  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) ) )
98rexbidv 2968 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  ( E. v  e.  Fin  ( U. v  =  y  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  y  b  =  ( x ( ball `  m
) d ) )  <->  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m
) d ) ) ) )
109ralbidv 2898 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  y  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  y  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  m )
d ) ) ) )
114, 10rabeqbidv 3103 . . . . 5  |-  ( y  =  X  ->  { m  e.  ( Met `  y
)  |  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  y  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  y  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) }  =  {
m  e.  ( Met `  X )  |  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) } )
12 df-totbnd 29856 . . . . 5  |-  TotBnd  =  ( y  e.  _V  |->  { m  e.  ( Met `  y )  |  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  y  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  y  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) } )
13 fvex 5869 . . . . . 6  |-  ( Met `  X )  e.  _V
1413rabex 4593 . . . . 5  |-  { m  e.  ( Met `  X
)  |  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) }  e.  _V
1511, 12, 14fvmpt 5943 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  ( TotBnd `
 X )  =  { m  e.  ( Met `  X )  |  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m
) d ) ) } )
1615eleq2d 2532 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( M  e.  ( TotBnd `  X )  <->  M  e.  { m  e.  ( Met `  X )  |  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) } ) )
17 fveq2 5859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  ( ball `  m )  =  ( ball `  M
) )
1817oveqd 6294 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (
x ( ball `  m
) d )  =  ( x ( ball `  M ) d ) )
1918eqeq2d 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
b  =  ( x ( ball `  m
) d )  <->  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
2019rexbidv 2968 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  ( E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  m )
d )  <->  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
2120ralbidv 2898 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  ( A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  m )
d )  <->  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
2221anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) )  <->  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
2322rexbidv 2968 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  ( E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m
) d ) )  <->  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M
) d ) ) ) )
2423ralbidv 2898 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) ) ) )
2524elrab 3256 . . 3  |-  ( M  e.  { m  e.  ( Met `  X
)  |  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) }  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
2616, 25syl6bb 261 . 2  |-  ( X  e.  _V  ->  ( M  e.  ( TotBnd `  X )  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) ) )
271, 3, 26pm5.21nii 353 1  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   E.wrex 2810   {crab 2813   _Vcvv 3108   U.cuni 4240   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Fincfn 7508   RR+crp 11211   Metcme 18170   ballcbl 18171   TotBndctotbnd 29854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fv 5589  df-ov 6280  df-totbnd 29856
This theorem is referenced by:  istotbnd2  29858  istotbnd3  29859  totbndmet  29860  totbndss  29865  heibor1  29898  heibor  29909
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