Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  istotbnd Structured version   Unicode version

Theorem istotbnd 28666
Description: The predicate "is a totally bounded metric space". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
istotbnd  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
Distinct variable groups:    b, d,
v, x, M    X, b, d, v, x

Proof of Theorem istotbnd
Dummy variables  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5716 . 2  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  X  e.  _V )
2 elfvex 5716 . . 3  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  X  e.  _V )
32adantr 465 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )  ->  X  e.  _V )
4 fveq2 5690 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  ( Met `  y )  =  ( Met `  X
) )
5 eqeq2 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  ( U. v  =  y  <->  U. v  =  X ) )
6 rexeq 2917 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  ( E. x  e.  y 
b  =  ( x ( ball `  m
) d )  <->  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) )
76ralbidv 2734 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  ( A. b  e.  v  E. x  e.  y 
b  =  ( x ( ball `  m
) d )  <->  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) )
85, 7anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  (
( U. v  =  y  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  y  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) )  <->  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) ) )
98rexbidv 2735 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  ( E. v  e.  Fin  ( U. v  =  y  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  y  b  =  ( x ( ball `  m
) d ) )  <->  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m
) d ) ) ) )
109ralbidv 2734 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  y  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  y  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  m )
d ) ) ) )
114, 10rabeqbidv 2966 . . . . 5  |-  ( y  =  X  ->  { m  e.  ( Met `  y
)  |  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  y  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  y  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) }  =  {
m  e.  ( Met `  X )  |  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) } )
12 df-totbnd 28665 . . . . 5  |-  TotBnd  =  ( y  e.  _V  |->  { m  e.  ( Met `  y )  |  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  y  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  y  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) } )
13 fvex 5700 . . . . . 6  |-  ( Met `  X )  e.  _V
1413rabex 4442 . . . . 5  |-  { m  e.  ( Met `  X
)  |  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) }  e.  _V
1511, 12, 14fvmpt 5773 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  ( TotBnd `
 X )  =  { m  e.  ( Met `  X )  |  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m
) d ) ) } )
1615eleq2d 2509 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( M  e.  ( TotBnd `  X )  <->  M  e.  { m  e.  ( Met `  X )  |  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) } ) )
17 fveq2 5690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  ( ball `  m )  =  ( ball `  M
) )
1817oveqd 6107 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (
x ( ball `  m
) d )  =  ( x ( ball `  M ) d ) )
1918eqeq2d 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
b  =  ( x ( ball `  m
) d )  <->  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
2019rexbidv 2735 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  ( E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  m )
d )  <->  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
2120ralbidv 2734 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  ( A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  m )
d )  <->  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
2221anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) )  <->  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
2322rexbidv 2735 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  ( E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m
) d ) )  <->  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M
) d ) ) ) )
2423ralbidv 2734 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) ) ) )
2524elrab 3116 . . 3  |-  ( M  e.  { m  e.  ( Met `  X
)  |  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) }  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
2616, 25syl6bb 261 . 2  |-  ( X  e.  _V  ->  ( M  e.  ( TotBnd `  X )  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) ) )
271, 3, 26pm5.21nii 353 1  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714   E.wrex 2715   {crab 2718   _Vcvv 2971   U.cuni 4090   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   Fincfn 7309   RR+crp 10990   Metcme 17801   ballcbl 17802   TotBndctotbnd 28663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fv 5425  df-ov 6093  df-totbnd 28665
This theorem is referenced by:  istotbnd2  28667  istotbnd3  28668  totbndmet  28669  totbndss  28674  heibor1  28707  heibor  28718
  Copyright terms: Public domain W3C validator