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Theorem istos 15867
Description: The predicate "is a toset." (Contributed by FL, 17-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
istos.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
istos.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
istos  |-  ( K  e. Toset 
<->  ( K  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x,  .<_ , y
Allowed substitution hints:    K( x, y)

Proof of Theorem istos
Dummy variables  f 
b  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5848 . . . 4  |-  ( f  =  K  ->  ( Base `  f )  =  ( Base `  K
) )
2 fveq2 5848 . . . . 5  |-  ( f  =  K  ->  ( le `  f )  =  ( le `  K
) )
32sbceq1d 3329 . . . 4  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  [. ( le `  K )  /  r ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x ) ) )
41, 3sbceqbid 3331 . . 3  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  [. ( Base `  K
)  /  b ]. [. ( le `  K
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x ) ) )
5 fvex 5858 . . . 4  |-  ( Base `  K )  e.  _V
6 fvex 5858 . . . 4  |-  ( le
`  K )  e. 
_V
7 istos.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 eqtr 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  =  ( Base `  K )  /\  ( Base `  K )  =  B )  ->  b  =  B )
9 istos.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
10 eqtr 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  =  ( le
`  K )  /\  ( le `  K )  =  .<_  )  ->  r  =  .<_  )
11 breq 4441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  .<_  ->  ( x r y  <->  x  .<_  y ) )
12 breq 4441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  .<_  ->  ( y r x  <->  y  .<_  x ) )
1311, 12orbi12d 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  .<_  ->  ( ( x r y  \/  y r x )  <-> 
( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) )
14132ralbidv 2898 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  .<_  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  (
x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) )
15 raleq 3051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  B  ->  ( A. y  e.  b 
( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )  <->  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) ) )
1615raleqbi1dv 3059 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) ) )
1714, 16sylan9bb 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  =  .<_  /\  b  =  B )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) )
1817ex 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  .<_  ->  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) ) )
1910, 18syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  =  ( le
`  K )  /\  ( le `  K )  =  .<_  )  ->  ( b  =  B  -> 
( A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) ) ) )
2019expcom 433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( le `  K )  =  .<_  ->  ( r  =  ( le `  K )  ->  (
b  =  B  -> 
( A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) ) ) ) )
2120eqcoms 2466 . . . . . . . . . 10  |-  (  .<_  =  ( le `  K )  ->  (
r  =  ( le
`  K )  -> 
( b  =  B  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( x
r y  \/  y
r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) ) ) ) )
229, 21ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( le `  K )  ->  (
b  =  B  -> 
( A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) ) ) )
238, 22syl5com 30 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  =  ( Base `  K )  /\  ( Base `  K )  =  B )  ->  (
r  =  ( le
`  K )  -> 
( A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) ) ) )
2423expcom 433 . . . . . . 7  |-  ( (
Base `  K )  =  B  ->  ( b  =  ( Base `  K
)  ->  ( r  =  ( le `  K )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) ) ) )
2524eqcoms 2466 . . . . . 6  |-  ( B  =  ( Base `  K
)  ->  ( b  =  ( Base `  K
)  ->  ( r  =  ( le `  K )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) ) ) )
267, 25ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( b  =  ( Base `  K
)  ->  ( r  =  ( le `  K )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) ) )
2726imp 427 . . . 4  |-  ( ( b  =  ( Base `  K )  /\  r  =  ( le `  K ) )  -> 
( A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) ) )
285, 6, 27sbc2ie 3392 . . 3  |-  ( [. ( Base `  K )  /  b ]. [. ( le `  K )  / 
r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) )
294, 28syl6bb 261 . 2  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) )
30 df-toset 15866 . 2  |- Toset  =  {
f  e.  Poset  |  [. ( Base `  f )  /  b ]. [. ( le `  f )  / 
r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x ) }
3129, 30elrab2 3256 1  |-  ( K  e. Toset 
<->  ( K  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   [.wsbc 3324   class class class wbr 4439   ` cfv 5570   Basecbs 14719   lecple 14794   Posetcpo 15771  Tosetctos 15865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-nul 4568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-iota 5534  df-fv 5578  df-toset 15866
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