Theorem istopgrp 14971

Description: The predicate "is a topological group". Bourbaki TG III.1

Assertion

Ref	Expression
istopgrp	|- (J e. A -> (<.G, J>. e. TopGrp <-> ((G e. Grp /\ J e. Top) /\ G e. ((J X.t J) Cn J) /\ (inv` G) e. (J Cn J))))

Proof of Theorem istopgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 3339	. . . . 5 |- (GTopGrpJ <-> <.G, J>. e. TopGrp)
2		relopab 4104	. . . . . . 7 |- Rel {<.x, y>. | ((x e. Grp /\ y e. Top) /\ x e. ((y X.t y) Cn y) /\ (inv` x) e. (y Cn y))}
3		df-topgrp 14970	. . . . . . . 8 |- TopGrp = {<.x, y>. | ((x e. Grp /\ y e. Top) /\ x e. ((y X.t y) Cn y) /\ (inv` x) e. (y Cn y))}
4	3	releqi 4072	. . . . . . 7 |- (Rel TopGrp <-> Rel {<.x, y>. | ((x e. Grp /\ y e. Top) /\ x e. ((y X.t y) Cn y) /\ (inv` x) e. (y Cn y))})
5	2, 4	mpbir 207	. . . . . 6 |- Rel TopGrp
6	5	brrelexi 4029	. . . . 5 |- (GTopGrpJ -> G e. _V)
7	1, 6	sylbir 218	. . . 4 |- (<.G, J>. e. TopGrp -> G e. _V)
8	7	adantl 424	. . 3 |- ((J e. A /\ <.G, J>. e. TopGrp) -> G e. _V)
9		simpl 346	. . 3 |- ((J e. A /\ <.G, J>. e. TopGrp) -> J e. A)
10	8, 9	jca 310	. 2 |- ((J e. A /\ <.G, J>. e. TopGrp) -> (G e. _V /\ J e. A))
11		elisset 2299	. . . . . 6 |- (G e. Grp -> G e. _V)
12	11	adantr 425	. . . . 5 |- ((G e. Grp /\ J e. Top) -> G e. _V)
13	12	3ad2ant1 897	. . . 4 |- (((G e. Grp /\ J e. Top) /\ G e. ((J X.t J) Cn J) /\ (inv` G) e. (J Cn J)) -> G e. _V)
14	13	adantl 424	. . 3 |- ((J e. A /\ ((G e. Grp /\ J e. Top) /\ G e. ((J X.t J) Cn J) /\ (inv` G) e. (J Cn J))) -> G e. _V)
15		simpl 346	. . 3 |- ((J e. A /\ ((G e. Grp /\ J e. Top) /\ G e. ((J X.t J) Cn J) /\ (inv` G) e. (J Cn J))) -> J e. A)
16	14, 15	jca 310	. 2 |- ((J e. A /\ ((G e. Grp /\ J e. Top) /\ G e. ((J X.t J) Cn J) /\ (inv` G) e. (J Cn J))) -> (G e. _V /\ J e. A))
17		eleq1 1957	. . . . . 6 |- (g = G -> (g e. Grp <-> G e. Grp))
18	17	anbi1d 679	. . . . 5 |- (g = G -> ((g e. Grp /\ j e. Top) <-> (G e. Grp /\ j e. Top)))
19		eleq1 1957	. . . . 5 |- (g = G -> (g e. ((j X.t j) Cn j) <-> G e. ((j X.t j) Cn j)))
20		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (g = G -> (inv` g) = (inv` G))
21	20	eleq1d 1963	. . . . 5 |- (g = G -> ((inv` g) e. (j Cn j) <-> (inv` G) e. (j Cn j)))
22	18, 19, 21	3anbi123d 1168	. . . 4 |- (g = G -> (((g e. Grp /\ j e. Top) /\ g e. ((j X.t j) Cn j) /\ (inv` g) e. (j Cn j)) <-> ((G e. Grp /\ j e. Top) /\ G e. ((j X.t j) Cn j) /\ (inv` G) e. (j Cn j))))
23		eleq1 1957	. . . . . 6 |- (j = J -> (j e. Top <-> J e. Top))
24	23	anbi2d 678	. . . . 5 |- (j = J -> ((G e. Grp /\ j e. Top) <-> (G e. Grp /\ J e. Top)))
25		id 73	. . . . . . . 8 |- (j = J -> j = J)
26	25, 25	opreq12d 4900	. . . . . . 7 |- (j = J -> (j X.t j) = (J X.t J))
27	26, 25	opreq12d 4900	. . . . . 6 |- (j = J -> ((j X.t j) Cn j) = ((J X.t J) Cn J))
28	27	eleq2d 1964	. . . . 5 |- (j = J -> (G e. ((j X.t j) Cn j) <-> G e. ((J X.t J) Cn J)))
29	25, 25	opreq12d 4900	. . . . . 6 |- (j = J -> (j Cn j) = (J Cn J))
30	29	eleq2d 1964	. . . . 5 |- (j = J -> ((inv` G) e. (j Cn j) <-> (inv` G) e. (J Cn J)))
31	24, 28, 30	3anbi123d 1168	. . . 4 |- (j = J -> (((G e. Grp /\ j e. Top) /\ G e. ((j X.t j) Cn j) /\ (inv` G) e. (j Cn j)) <-> ((G e. Grp /\ J e. Top) /\ G e. ((J X.t J) Cn J) /\ (inv` G) e. (J Cn J))))
32	22, 31	opelopabg 3567	. . 3 |- ((G e. _V /\ J e. A) -> (<.G, J>. e. {<.g, j>. | ((g e. Grp /\ j e. Top) /\ g e. ((j X.t j) Cn j) /\ (inv` g) e. (j Cn j))} <-> ((G e. Grp /\ J e. Top) /\ G e. ((J X.t J) Cn J) /\ (inv` G) e. (J Cn J))))
33		df-topgrp 14970	. . . 4 |- TopGrp = {<.g, j>. | ((g e. Grp /\ j e. Top) /\ g e. ((j X.t j) Cn j) /\ (inv` g) e. (j Cn j))}
34	33	eleq2i 1961	. . 3 |- (<.G, J>. e. TopGrp <-> <.G, J>. e. {<.g, j>. | ((g e. Grp /\ j e. Top) /\ g e. ((j X.t j) Cn j) /\ (inv` g) e. (j Cn j))})
35	32, 34	syl5bb 591	. 2 |- ((G e. _V /\ J e. A) -> (<.G, J>. e. TopGrp <-> ((G e. Grp /\ J e. Top) /\ G e. ((J X.t J) Cn J) /\ (inv` G) e. (J Cn J))))
36	10, 16, 35	pm5.21nd 744	1 |- (J e. A -> (<.G, J>. e. TopGrp <-> ((G e. Grp /\ J e. Top) /\ G e. ((J X.t J) Cn J) /\ (inv` G) e. (J Cn J))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  <.cop 3046   class class class wbr 3338  {copab 3395  Rel wrel 3991  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Topctop 8857   X.t ctx 8930   Cn ccn 9028  Grpcgr 9311  invcgn 9313  TopGrpctopgrp 14969

This theorem is referenced by:  extopgrp 14980

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014  df-opr 4886  df-topgrp 14970

Copyright terms: Public domain