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Theorem istopclsd 35536
Description: A closure function which satisfies sscls 20064, clsidm 20076, cls0 20089, and clsun 30977 defines a (unique) topology which it is the closure function on. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
istopclsd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
istopclsd.f  |-  ( ph  ->  F : ~P B --> ~P B )
istopclsd.e  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B
)  ->  x  C_  ( F `  x )
)
istopclsd.i  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B
)  ->  ( F `  ( F `  x
) )  =  ( F `  x ) )
istopclsd.z  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
istopclsd.u  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  B )  ->  ( F `  ( x  u.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  u.  ( F `
 y ) ) )
istopclsd.j  |-  J  =  { z  e.  ~P B  |  ( F `  ( B  \  z
) )  =  ( B  \  z ) }
Assertion
Ref Expression
istopclsd  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  ( cls `  J )  =  F ) )
Distinct variable groups:    x, B, y, z    ph, x, y, z    x, F, y, z    x, J, y   
x, V, y, z
Allowed substitution hint:    J( z)

Proof of Theorem istopclsd
StepHypRef Expression
1 istopclsd.j . . . 4  |-  J  =  { z  e.  ~P B  |  ( F `  ( B  \  z
) )  =  ( B  \  z ) }
2 istopclsd.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ~P B --> ~P B )
3 ffn 5726 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ~P B --> ~P B  ->  F  Fn  ~P B
)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  Fn  ~P B
)
54adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ~P B )  ->  F  Fn  ~P B )
6 difss 3559 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
\  z )  C_  B
7 istopclsd.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
8 elpw2g 4565 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  V  ->  (
( B  \  z
)  e.  ~P B  <->  ( B  \  z ) 
C_  B ) )
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  \ 
z )  e.  ~P B 
<->  ( B  \  z
)  C_  B )
)
106, 9mpbiri 237 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  \  z
)  e.  ~P B
)
1110adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ~P B )  ->  ( B  \  z )  e. 
~P B )
12 fnelfp 6090 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  ~P B  /\  ( B  \  z
)  e.  ~P B
)  ->  ( ( B  \  z )  e. 
dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  ( B  \  z
) )  =  ( B  \  z ) ) )
135, 11, 12syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ~P B )  ->  (
( B  \  z
)  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  ( B  \  z
) )  =  ( B  \  z ) ) )
1413bicomd 205 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ~P B )  ->  (
( F `  ( B  \  z ) )  =  ( B  \ 
z )  <->  ( B  \  z )  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
) )
1514rabbidva 3034 . . . 4  |-  ( ph  ->  { z  e.  ~P B  |  ( F `  ( B  \  z
) )  =  ( B  \  z ) }  =  { z  e.  ~P B  | 
( B  \  z
)  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) } )
161, 15syl5eq 2496 . . 3  |-  ( ph  ->  J  =  { z  e.  ~P B  | 
( B  \  z
)  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) } )
17 istopclsd.e . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B
)  ->  x  C_  ( F `  x )
)
18 simp1 1007 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  ph )
19 simp2 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  x  C_  B
)
20 simp3 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  y  C_  x
)
2120, 19sstrd 3441 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  y  C_  B
)
22 istopclsd.u . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  B )  ->  ( F `  ( x  u.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  u.  ( F `
 y ) ) )
2318, 19, 21, 22syl3anc 1267 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  ( F `  ( x  u.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  u.  ( F `
 y ) ) )
24 ssequn2 3606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  x  <->  ( x  u.  y )  =  x )
2524biimpi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  x  ->  (
x  u.  y )  =  x )
26253ad2ant3 1030 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  ( x  u.  y )  =  x )
2726fveq2d 5867 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  ( F `  ( x  u.  y
) )  =  ( F `  x ) )
2823, 27eqtr3d 2486 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  ( ( F `
 x )  u.  ( F `  y
) )  =  ( F `  x ) )
29 ssequn2 3606 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  y ) 
C_  ( F `  x )  <->  ( ( F `  x )  u.  ( F `  y
) )  =  ( F `  x ) )
3028, 29sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)
31 istopclsd.i . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B
)  ->  ( F `  ( F `  x
) )  =  ( F `  x ) )
327, 2, 17, 30, 31ismrcd1 35534 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  _I  )  e.  (Moore `  B ) )
33 istopclsd.z . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
34 0elpw 4571 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  ~P B
35 fnelfp 6090 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  ~P B  /\  (/)  e.  ~P B
)  ->  ( (/)  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  (/) )  =  (/) ) )
364, 34, 35sylancl 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  (/) )  =  (/) ) )
3733, 36mpbird 236 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) )
38 simp1 1007 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ph )
39 inss1 3651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  i^i  _I  )  C_  F
40 dmss 5033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  i^i  _I  )  C_  F  ->  dom  ( F  i^i  _I  )  C_  dom  F )
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  ( F  i^i  _I  )  C_  dom  F
42 fdm 5731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ~P B --> ~P B  ->  dom  F  =  ~P B )
432, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  F  =  ~P B )
4441, 43syl5sseq 3479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  _I  )  C_  ~P B
)
45443ad2ant1 1028 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  dom  ( F  i^i  _I  )  C_  ~P B )
46 simp2 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) )
4745, 46sseldd 3432 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  x  e.  ~P B )
4847elpwid 3960 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  x  C_  B
)
49 simp3 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) )
5045, 49sseldd 3432 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  y  e.  ~P B )
5150elpwid 3960 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  y  C_  B )
5238, 48, 51, 22syl3anc 1267 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( F `  ( x  u.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  u.  ( F `
 y ) ) )
5343ad2ant1 1028 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  F  Fn  ~P B )
54 fnelfp 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  ~P B  /\  x  e.  ~P B )  ->  (
x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  x )  =  x ) )
5553, 47, 54syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  x )  =  x ) )
5646, 55mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( F `  x )  =  x )
57 fnelfp 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  ~P B  /\  y  e.  ~P B )  ->  (
y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  y )  =  y ) )
5853, 50, 57syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  y )  =  y ) )
5949, 58mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( F `  y )  =  y )
6056, 59uneq12d 3588 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( ( F `  x )  u.  ( F `  y
) )  =  ( x  u.  y ) )
6152, 60eqtrd 2484 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( F `  ( x  u.  y
) )  =  ( x  u.  y ) )
6248, 51unssd 3609 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( x  u.  y )  C_  B
)
63 vex 3047 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
64 vex 3047 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
6563, 64unex 6586 . . . . . . . . 9  |-  ( x  u.  y )  e. 
_V
6665elpw 3956 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  u.  y )  e.  ~P B  <->  ( x  u.  y )  C_  B
)
6762, 66sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( x  u.  y )  e.  ~P B )
68 fnelfp 6090 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  ~P B  /\  ( x  u.  y
)  e.  ~P B
)  ->  ( (
x  u.  y )  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  ( x  u.  y
) )  =  ( x  u.  y ) ) )
6953, 67, 68syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( (
x  u.  y )  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  ( x  u.  y
) )  =  ( x  u.  y ) ) )
7061, 69mpbird 236 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( x  u.  y )  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)
71 eqid 2450 . . . . 5  |-  { z  e.  ~P B  | 
( B  \  z
)  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) }  =  { z  e. 
~P B  |  ( B  \  z )  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) }
7232, 37, 70, 71mretopd 20101 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { z  e. 
~P B  |  ( B  \  z )  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) }  e.  (TopOn `  B
)  /\  dom  ( F  i^i  _I  )  =  ( Clsd `  {
z  e.  ~P B  |  ( B  \ 
z )  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) } ) ) )
7372simpld 461 . . 3  |-  ( ph  ->  { z  e.  ~P B  |  ( B  \  z )  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) }  e.  (TopOn `  B
) )
7416, 73eqeltrd 2528 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
75 topontop 19934 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )
7674, 75syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
77 eqid 2450 . . . . . 6  |-  (mrCls `  ( Clsd `  J )
)  =  (mrCls `  ( Clsd `  J )
)
7877mrccls 20088 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( cls `  J )  =  (mrCls `  ( Clsd `  J ) ) )
7976, 78syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( cls `  J
)  =  (mrCls `  ( Clsd `  J )
) )
8072simprd 465 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  _I  )  =  ( Clsd `  { z  e.  ~P B  |  ( B  \  z )  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) } ) )
8116fveq2d 5867 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Clsd `  J
)  =  ( Clsd `  { z  e.  ~P B  |  ( B  \  z )  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) } ) )
8280, 81eqtr4d 2487 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  _I  )  =  ( Clsd `  J ) )
8382fveq2d 5867 . . . 4  |-  ( ph  ->  (mrCls `  dom  ( F  i^i  _I  ) )  =  (mrCls `  ( Clsd `  J ) ) )
8479, 83eqtr4d 2487 . . 3  |-  ( ph  ->  ( cls `  J
)  =  (mrCls `  dom  ( F  i^i  _I  ) ) )
857, 2, 17, 30, 31ismrcd2 35535 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  (mrCls `  dom  ( F  i^i  _I  ) ) )
8684, 85eqtr4d 2487 . 2  |-  ( ph  ->  ( cls `  J
)  =  F )
8774, 86jca 535 1  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  ( cls `  J )  =  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886   {crab 2740    \ cdif 3400    u. cun 3401    i^i cin 3402    C_ wss 3403   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950    _I cid 4743   dom cdm 4833    Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  mrClscmrc 15482   Topctop 19910  TopOnctopon 19911   Clsdccld 20024   clsccl 20026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-top 19914  df-topon 19916  df-cld 20027  df-cls 20029
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