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Theorem istgp2 20322
Description: A group with a topology is a topological group iff the subtraction operation is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpsubcn.2  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgpsubcn.3  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
istgp2  |-  ( G  e.  TopGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) ) )

Proof of Theorem istgp2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpgrp 20309 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
2 tgptps 20311 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  TopSp )
3 tgpsubcn.2 . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
4 tgpsubcn.3 . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
53, 4tgpsubcn 20321 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  .-  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  J ) )
61, 2, 53jca 1176 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) ) )
7 simp1 996 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  G  e.  Grp )
8 grpmnd 15860 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
983ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  G  e.  Mnd )
10 simp2 997 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  G  e.  TopSp )
11 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
12 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
13 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
1473ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  ->  G  e.  Grp )
15 simp2 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  ->  x  e.  ( Base `  G )
)
16 simp3 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  ->  y  e.  ( Base `  G )
)
1711, 12, 4, 13, 14, 15, 16grpsubinv 15909 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x  .-  ( ( invg `  G ) `  y
) )  =  ( x ( +g  `  G
) y ) )
1817mpt2eq3dva 6343 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x  .-  ( ( invg `  G ) `  y
) ) )  =  ( x  e.  (
Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) )
19 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( +f `  G )  =  ( +f `  G )
2011, 12, 19plusffval 15737 . . . . . 6  |-  ( +f `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )
2118, 20syl6eqr 2526 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x  .-  ( ( invg `  G ) `  y
) ) )  =  ( +f `  G ) )
2211, 3istps 19201 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G )
) )
2310, 22sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
2423, 23cnmpt1st 19901 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
2523, 23cnmpt2nd 19902 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
2611, 13grpinvf 15892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( invg `  G ) : ( Base `  G
) --> ( Base `  G
) )
27263ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  ( invg `  G ) : ( Base `  G
) --> ( Base `  G
) )
2827feqmptd 5918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  ( invg `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( invg `  G ) `
 x ) ) )
29 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3011, 4, 13, 29grpinvval2 15919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  x
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.-  x ) )
317, 30sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( invg `  G ) `  x
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.-  x ) )
3231mpteq2dva 4533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( invg `  G
) `  x )
)  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( 0g
`  G )  .-  x ) ) )
3328, 32eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  ( invg `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( 0g
`  G )  .-  x ) ) )
3411, 29grpidcl 15876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  ( Base `  G
) )
35343ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  ( 0g `  G )  e.  ( Base `  G
) )
3623, 23, 35cnmptc 19895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( 0g
`  G ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
3723cnmptid 19894 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
38 simp3 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
3923, 36, 37, 38cnmpt12f 19899 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( 0g `  G ) 
.-  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
4033, 39eqeltrd 2555 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  ( invg `  G )  e.  ( J  Cn  J ) )
4123, 23, 25, 40cnmpt21f 19905 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( invg `  G ) `
 y ) )  e.  ( ( J 
tX  J )  Cn  J ) )
4223, 23, 24, 41, 38cnmpt22f 19908 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x  .-  ( ( invg `  G ) `  y
) ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
4321, 42eqeltrrd 2556 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  ( +f `  G
)  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
4419, 3istmd 20305 . . . 4  |-  ( G  e. TopMnd 
<->  ( G  e.  Mnd  /\  G  e.  TopSp  /\  ( +f `  G
)  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) ) )
459, 10, 43, 44syl3anbrc 1180 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  G  e. TopMnd )
463, 13istgp 20308 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e. TopMnd  /\  ( invg `  G )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
477, 45, 40, 46syl3anbrc 1180 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  G  e.  TopGrp )
486, 47impbii 188 1  |-  ( G  e.  TopGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    |-> cmpt 4505   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   Basecbs 14483   +g cplusg 14548   TopOpenctopn 14670   0gc0g 14688   Mndcmnd 15719   Grpcgrp 15720   invgcminusg 15721   +fcplusf 15722   -gcsg 15723  TopOnctopon 19159   TopSpctps 19161    Cn ccn 19488    tX ctx 19793  TopMndctmd 20301   TopGrpctgp 20302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-map 7419  df-0g 14690  df-topgen 14692  df-mnd 15725  df-plusf 15726  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-topsp 19167  df-cn 19491  df-cnp 19492  df-tx 19795  df-tmd 20303  df-tgp 20304
This theorem is referenced by:  distgp  20330  indistgp  20331  divstgplem  20351  ngptgp  20882  cnfldtgp  21105
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