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Theorem istgp2 20882
Description: A group with a topology is a topological group iff the subtraction operation is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpsubcn.2  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgpsubcn.3  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
istgp2  |-  ( G  e.  TopGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) ) )

Proof of Theorem istgp2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpgrp 20869 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
2 tgptps 20871 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  TopSp )
3 tgpsubcn.2 . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
4 tgpsubcn.3 . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
53, 4tgpsubcn 20881 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  .-  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  J ) )
61, 2, 53jca 1177 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) ) )
7 simp1 997 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  G  e.  Grp )
8 grpmnd 16386 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
983ad2ant1 1018 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  G  e.  Mnd )
10 simp2 998 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  G  e.  TopSp )
11 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
12 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
13 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
1473ad2ant1 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  ->  G  e.  Grp )
15 simp2 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  ->  x  e.  ( Base `  G )
)
16 simp3 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  ->  y  e.  ( Base `  G )
)
1711, 12, 4, 13, 14, 15, 16grpsubinv 16435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x  .-  ( ( invg `  G ) `  y
) )  =  ( x ( +g  `  G
) y ) )
1817mpt2eq3dva 6342 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x  .-  ( ( invg `  G ) `  y
) ) )  =  ( x  e.  (
Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) )
19 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( +f `  G )  =  ( +f `  G )
2011, 12, 19plusffval 16201 . . . . . 6  |-  ( +f `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )
2118, 20syl6eqr 2461 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x  .-  ( ( invg `  G ) `  y
) ) )  =  ( +f `  G ) )
2211, 3istps 19729 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G )
) )
2310, 22sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
2423, 23cnmpt1st 20461 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
2523, 23cnmpt2nd 20462 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
2611, 13grpinvf 16418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( invg `  G ) : ( Base `  G
) --> ( Base `  G
) )
27263ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  ( invg `  G ) : ( Base `  G
) --> ( Base `  G
) )
2827feqmptd 5902 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  ( invg `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( invg `  G ) `
 x ) ) )
29 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3011, 4, 13, 29grpinvval2 16445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  x
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.-  x ) )
317, 30sylan 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( invg `  G ) `  x
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.-  x ) )
3231mpteq2dva 4481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( invg `  G
) `  x )
)  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( 0g
`  G )  .-  x ) ) )
3328, 32eqtrd 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  ( invg `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( 0g
`  G )  .-  x ) ) )
3411, 29grpidcl 16402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  ( Base `  G
) )
35343ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  ( 0g `  G )  e.  ( Base `  G
) )
3623, 23, 35cnmptc 20455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( 0g
`  G ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
3723cnmptid 20454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
38 simp3 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
3923, 36, 37, 38cnmpt12f 20459 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( 0g `  G ) 
.-  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
4033, 39eqeltrd 2490 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  ( invg `  G )  e.  ( J  Cn  J ) )
4123, 23, 25, 40cnmpt21f 20465 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( invg `  G ) `
 y ) )  e.  ( ( J 
tX  J )  Cn  J ) )
4223, 23, 24, 41, 38cnmpt22f 20468 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x  .-  ( ( invg `  G ) `  y
) ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
4321, 42eqeltrrd 2491 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  ( +f `  G
)  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
4419, 3istmd 20865 . . . 4  |-  ( G  e. TopMnd 
<->  ( G  e.  Mnd  /\  G  e.  TopSp  /\  ( +f `  G
)  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) ) )
459, 10, 43, 44syl3anbrc 1181 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  G  e. TopMnd )
463, 13istgp 20868 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e. TopMnd  /\  ( invg `  G )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
477, 45, 40, 46syl3anbrc 1181 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  G  e.  TopGrp )
486, 47impbii 187 1  |-  ( G  e.  TopGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    |-> cmpt 4453   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    |-> cmpt2 6280   Basecbs 14841   +g cplusg 14909   TopOpenctopn 15036   0gc0g 15054   +fcplusf 16193   Mndcmnd 16243   Grpcgrp 16377   invgcminusg 16378   -gcsg 16379  TopOnctopon 19687   TopSpctps 19689    Cn ccn 20018    tX ctx 20353  TopMndctmd 20861   TopGrpctgp 20862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-map 7459  df-0g 15056  df-topgen 15058  df-plusf 16195  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-tx 20355  df-tmd 20863  df-tgp 20864
This theorem is referenced by:  distgp  20890  indistgp  20891  qustgplem  20911  ngptgp  21442  cnfldtgp  21665
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