Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  istgp2 Structured version   Unicode version

Theorem istgp2 20882
 Description: A group with a topology is a topological group iff the subtraction operation is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpsubcn.2
tgpsubcn.3
Assertion
Ref Expression
istgp2

Proof of Theorem istgp2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpgrp 20869 . . 3
2 tgptps 20871 . . 3
3 tgpsubcn.2 . . . 4
4 tgpsubcn.3 . . . 4
53, 4tgpsubcn 20881 . . 3
61, 2, 53jca 1177 . 2
7 simp1 997 . . 3
8 grpmnd 16386 . . . . 5
983ad2ant1 1018 . . . 4
10 simp2 998 . . . 4
11 eqid 2402 . . . . . . . 8
12 eqid 2402 . . . . . . . 8
13 eqid 2402 . . . . . . . 8
1473ad2ant1 1018 . . . . . . . 8
15 simp2 998 . . . . . . . 8
16 simp3 999 . . . . . . . 8
1711, 12, 4, 13, 14, 15, 16grpsubinv 16435 . . . . . . 7
1817mpt2eq3dva 6342 . . . . . 6
19 eqid 2402 . . . . . . 7
2011, 12, 19plusffval 16201 . . . . . 6
2118, 20syl6eqr 2461 . . . . 5
2211, 3istps 19729 . . . . . . 7 TopOn
2310, 22sylib 196 . . . . . 6 TopOn
2423, 23cnmpt1st 20461 . . . . . 6
2523, 23cnmpt2nd 20462 . . . . . . 7
2611, 13grpinvf 16418 . . . . . . . . . . 11
27263ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10
2827feqmptd 5902 . . . . . . . . 9
29 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12
3011, 4, 13, 29grpinvval2 16445 . . . . . . . . . . 11
317, 30sylan 469 . . . . . . . . . 10
3231mpteq2dva 4481 . . . . . . . . 9
3328, 32eqtrd 2443 . . . . . . . 8
3411, 29grpidcl 16402 . . . . . . . . . . 11
35343ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10
3623, 23, 35cnmptc 20455 . . . . . . . . 9
3723cnmptid 20454 . . . . . . . . 9
38 simp3 999 . . . . . . . . 9
3923, 36, 37, 38cnmpt12f 20459 . . . . . . . 8
4033, 39eqeltrd 2490 . . . . . . 7
4123, 23, 25, 40cnmpt21f 20465 . . . . . 6
4223, 23, 24, 41, 38cnmpt22f 20468 . . . . 5
4321, 42eqeltrrd 2491 . . . 4
4419, 3istmd 20865 . . . 4 TopMnd
459, 10, 43, 44syl3anbrc 1181 . . 3 TopMnd
463, 13istgp 20868 . . 3 TopMnd
477, 45, 40, 46syl3anbrc 1181 . 2
486, 47impbii 187 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 184   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842   cmpt 4453  wf 5565  cfv 5569  (class class class)co 6278   cmpt2 6280  cbs 14841   cplusg 14909  ctopn 15036  c0g 15054  cplusf 16193  cmnd 16243  cgrp 16377  cminusg 16378  csg 16379  TopOnctopon 19687  ctps 19689   ccn 20018   ctx 20353  TopMndctmd 20861  ctgp 20862 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-map 7459  df-0g 15056  df-topgen 15058  df-plusf 16195  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-tx 20355  df-tmd 20863  df-tgp 20864 This theorem is referenced by:  distgp  20890  indistgp  20891  qustgplem  20911  ngptgp  21442  cnfldtgp  21665
 Copyright terms: Public domain W3C validator