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Theorem istendo 34409
Description: The predicate "is a trace-preserving endomorphism". Similar to definition of trace-preserving endomorphism in [Crawley] p. 117, penultimate line. (Contributed by NM, 8-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoset.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
tendoset.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoset.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendoset.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
tendoset.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
istendo  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( S  e.  E  <->  ( S : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( S `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( S `  f )  o.  ( S `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( S `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, K    T, f, g    f, W, g    S, f, g
Allowed substitution hints:    R( f, g)    E( f, g)    H( f, g)    .<_ ( f, g)    V( f, g)

Proof of Theorem istendo
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tendoset.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 tendoset.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 tendoset.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 tendoset.r . . . 4  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
5 tendoset.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
61, 2, 3, 4, 5tendoset 34408 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  E  =  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) } )
76eleq2d 2510 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( S  e.  E  <->  S  e.  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( s `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( s `  f
)  o.  ( s `
 g ) )  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) } ) )
8 fvex 5706 . . . . . 6  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  e.  _V
93, 8eqeltri 2513 . . . . 5  |-  T  e. 
_V
10 fex 5955 . . . . 5  |-  ( ( S : T --> T  /\  T  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
119, 10mpan2 671 . . . 4  |-  ( S : T --> T  ->  S  e.  _V )
12113ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( S : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( S `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( S `  f )  o.  ( S `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( S `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) )  ->  S  e.  _V )
13 feq1 5547 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  (
s : T --> T  <->  S : T
--> T ) )
14 fveq1 5695 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( S `  (
f  o.  g ) ) )
15 fveq1 5695 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
s `  f )  =  ( S `  f ) )
16 fveq1 5695 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
s `  g )  =  ( S `  g ) )
1715, 16coeq12d 5009 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( s `  f
)  o.  ( s `
 g ) )  =  ( ( S `
 f )  o.  ( S `  g
) ) )
1814, 17eqeq12d 2457 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  <->  ( S `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( S `  f
)  o.  ( S `
 g ) ) ) )
19182ralbidv 2762 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  <->  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( S `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( S `  f
)  o.  ( S `
 g ) ) ) )
2015fveq2d 5700 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( R `  ( s `  f ) )  =  ( R `  ( S `  f )
) )
2120breq1d 4307 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f )  <->  ( R `  ( S `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) )
2221ralbidv 2740 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( A. f  e.  T  ( R `  ( s `
 f ) ) 
.<_  ( R `  f
)  <->  A. f  e.  T  ( R `  ( S `
 f ) ) 
.<_  ( R `  f
) ) )
2313, 19, 223anbi123d 1289 . . 3  |-  ( s  =  S  ->  (
( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( s `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( s `  f
)  o.  ( s `
 g ) )  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) )  <-> 
( S : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( S `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( S `  f
)  o.  ( S `
 g ) )  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( S `  f ) )  .<_  ( R `  f ) ) ) )
2412, 23elab3 3118 . 2  |-  ( S  e.  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( s `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( s `  f
)  o.  ( s `
 g ) )  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) }  <->  ( S : T
--> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( S `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( S `  f
)  o.  ( S `
 g ) )  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( S `  f ) )  .<_  ( R `  f ) ) )
257, 24syl6bb 261 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( S  e.  E  <->  ( S : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( S `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( S `  f )  o.  ( S `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( S `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2720   _Vcvv 2977   class class class wbr 4297    o. ccom 4849   -->wf 5419   ` cfv 5423   lecple 14250   LHypclh 33633   LTrncltrn 33750   trLctrl 33807   TEndoctendo 34401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-map 7221  df-tendo 34404
This theorem is referenced by:  tendotp  34410  istendod  34411  tendof  34412  tendovalco  34414
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