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Theorem ist1-2 19974
Description: An alternate characterization of T1 spaces. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ist1-2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
o, J    o, X, x, y

Proof of Theorem ist1-2
StepHypRef Expression
1 topontop 19553 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2457 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
32ist1 19948 . . . 4  |-  ( J  e.  Fre  <->  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  U. J { y }  e.  ( Clsd `  J ) ) )
43baib 903 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. y  e.  U. J { y }  e.  ( Clsd `  J ) ) )
51, 4syl 16 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. y  e.  U. J { y }  e.  ( Clsd `  J )
) )
6 toponuni 19554 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
76raleqdv 3060 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. y  e.  X  {
y }  e.  (
Clsd `  J )  <->  A. y  e.  U. J { y }  e.  ( Clsd `  J )
) )
81adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  J  e.  Top )
9 eltop2 19603 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( U. J  \  { y } )  e.  J  <->  A. x  e.  ( U. J  \  { y } ) E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( U. J  \  { y } )  e.  J  <->  A. x  e.  ( U. J  \  { y } ) E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
116eleq2d 2527 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( y  e.  X  <->  y  e.  U. J ) )
1211biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  U. J )
1312snssd 4177 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  { y }  C_  U. J )
142iscld2 19655 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { y }  C_  U. J
)  ->  ( {
y }  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  {
y } )  e.  J ) )
158, 13, 14syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( { y }  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  {
y } )  e.  J ) )
166adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  X  =  U. J )
1716eleq2d 2527 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
x  e.  X  <->  x  e.  U. J ) )
1817imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  ->  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )  <-> 
( x  e.  U. J  ->  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) ) ) )
19 con1b 333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  x  =  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )  <->  ( -.  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) )  ->  x  =  y ) )
20 df-ne 2654 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
2120imbi1i 325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )  <->  ( -.  x  =  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
22 disjsn 4092 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( o  i^i  { y } )  =  (/)  <->  -.  y  e.  o )
23 elssuni 4281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( o  e.  J  ->  o  C_ 
U. J )
24 reldisj 3873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( o 
C_  U. J  ->  (
( o  i^i  {
y } )  =  (/) 
<->  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o  e.  J  ->  (
( o  i^i  {
y } )  =  (/) 
<->  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )
2622, 25syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( o  e.  J  ->  ( -.  y  e.  o  <->  o 
C_  ( U. J  \  { y } ) ) )
2726anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( o  e.  J  ->  (
( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  <->  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
2827rexbiia 2958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o
)  <->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )
29 rexanali 2910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o
)  <->  -.  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o ) )
3028, 29bitr3i 251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) )  <->  -.  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o ) )
3130con2bii 332 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  -> 
y  e.  o )  <->  -.  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )
3231imbi1i 325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  ( -.  E. o  e.  J  (
x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) )  ->  x  =  y ) )
3319, 21, 323bitr4ri 278 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
3433imbi2i 312 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  -> 
( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )  <-> 
( x  e.  X  ->  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) ) )
35 eldifsn 4157 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( U. J  \  { y } )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )
3635imbi1i 325 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( U. J  \  { y } )  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )  <->  ( (
x  e.  U. J  /\  x  =/=  y
)  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
37 impexp 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  U. J  /\  x  =/=  y
)  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )  <->  ( x  e.  U. J  ->  (
x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) ) )
3836, 37bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( U. J  \  { y } )  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )  <->  ( x  e.  U. J  ->  (
x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) ) )
3918, 34, 383bitr4g 288 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  ->  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )  <-> 
( x  e.  ( U. J  \  {
y } )  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) ) )
4039ralbidv2 2892 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  ( U. J  \  {
y } ) E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
4110, 15, 403bitr4d 285 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( { y }  e.  ( Clsd `  J )  <->  A. x  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
4241ralbidva 2893 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. y  e.  X  {
y }  e.  (
Clsd `  J )  <->  A. y  e.  X  A. x  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
43 ralcom 3018 . . 3  |-  ( A. y  e.  X  A. x  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
4442, 43syl6bb 261 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. y  e.  X  {
y }  e.  (
Clsd `  J )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
455, 7, 443bitr2d 281 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    \ cdif 3468    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   U.cuni 4251   ` cfv 5594   Topctop 19520  TopOnctopon 19521   Clsdccld 19643   Frect1 19934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-topgen 14860  df-top 19525  df-topon 19528  df-cld 19646  df-t1 19941
This theorem is referenced by:  t1t0  19975  ist1-3  19976  haust1  19979  t1sep2  19996  isr0  20363  tgpt0  20742
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