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Theorem ist1-2 20298
Description: An alternate characterization of T1 spaces. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ist1-2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
o, J    o, X, x, y

Proof of Theorem ist1-2
StepHypRef Expression
1 topontop 19876 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2422 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
32ist1 20272 . . . 4  |-  ( J  e.  Fre  <->  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  U. J { y }  e.  ( Clsd `  J ) ) )
43baib 911 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. y  e.  U. J { y }  e.  ( Clsd `  J ) ) )
51, 4syl 17 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. y  e.  U. J { y }  e.  ( Clsd `  J )
) )
6 toponuni 19877 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
76raleqdv 2964 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. y  e.  X  {
y }  e.  (
Clsd `  J )  <->  A. y  e.  U. J { y }  e.  ( Clsd `  J )
) )
81adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  J  e.  Top )
9 eltop2 19926 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( U. J  \  { y } )  e.  J  <->  A. x  e.  ( U. J  \  { y } ) E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
108, 9syl 17 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( U. J  \  { y } )  e.  J  <->  A. x  e.  ( U. J  \  { y } ) E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
116eleq2d 2485 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( y  e.  X  <->  y  e.  U. J ) )
1211biimpa 486 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  U. J )
1312snssd 4081 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  { y }  C_  U. J )
142iscld2 19978 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { y }  C_  U. J
)  ->  ( {
y }  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  {
y } )  e.  J ) )
158, 13, 14syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( { y }  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  {
y } )  e.  J ) )
166adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  X  =  U. J )
1716eleq2d 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
x  e.  X  <->  x  e.  U. J ) )
1817imbi1d 318 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  ->  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )  <-> 
( x  e.  U. J  ->  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) ) ) )
19 con1b 334 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  x  =  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )  <->  ( -.  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) )  ->  x  =  y ) )
20 df-ne 2595 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
2120imbi1i 326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )  <->  ( -.  x  =  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
22 disjsn 3996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( o  i^i  { y } )  =  (/)  <->  -.  y  e.  o )
23 elssuni 4184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( o  e.  J  ->  o  C_ 
U. J )
24 reldisj 3774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( o 
C_  U. J  ->  (
( o  i^i  {
y } )  =  (/) 
<->  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o  e.  J  ->  (
( o  i^i  {
y } )  =  (/) 
<->  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )
2622, 25syl5bbr 262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( o  e.  J  ->  ( -.  y  e.  o  <->  o 
C_  ( U. J  \  { y } ) ) )
2726anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( o  e.  J  ->  (
( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  <->  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
2827rexbiia 2859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o
)  <->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )
29 rexanali 2811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o
)  <->  -.  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o ) )
3028, 29bitr3i 254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) )  <->  -.  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o ) )
3130con2bii 333 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  -> 
y  e.  o )  <->  -.  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )
3231imbi1i 326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  ( -.  E. o  e.  J  (
x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) )  ->  x  =  y ) )
3319, 21, 323bitr4ri 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
3433imbi2i 313 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  -> 
( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )  <-> 
( x  e.  X  ->  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) ) )
35 eldifsn 4061 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( U. J  \  { y } )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )
3635imbi1i 326 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( U. J  \  { y } )  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )  <->  ( (
x  e.  U. J  /\  x  =/=  y
)  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
37 impexp 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  U. J  /\  x  =/=  y
)  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )  <->  ( x  e.  U. J  ->  (
x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) ) )
3836, 37bitri 252 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( U. J  \  { y } )  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )  <->  ( x  e.  U. J  ->  (
x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) ) )
3918, 34, 383bitr4g 291 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  ->  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )  <-> 
( x  e.  ( U. J  \  {
y } )  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) ) )
4039ralbidv2 2794 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  ( U. J  \  {
y } ) E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
4110, 15, 403bitr4d 288 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( { y }  e.  ( Clsd `  J )  <->  A. x  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
4241ralbidva 2795 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. y  e.  X  {
y }  e.  (
Clsd `  J )  <->  A. y  e.  X  A. x  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
43 ralcom 2922 . . 3  |-  ( A. y  e.  X  A. x  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
4442, 43syl6bb 264 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. y  e.  X  {
y }  e.  (
Clsd `  J )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
455, 7, 443bitr2d 284 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2593   A.wral 2708   E.wrex 2709    \ cdif 3369    i^i cin 3371    C_ wss 3372   (/)c0 3697   {csn 3934   U.cuni 4155   ` cfv 5537   Topctop 19852  TopOnctopon 19853   Clsdccld 19966   Frect1 20258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-ral 2713  df-rex 2714  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-op 3941  df-uni 4156  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-id 4704  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fv 5545  df-topgen 15278  df-top 19856  df-topon 19858  df-cld 19969  df-t1 20265
This theorem is referenced by:  t1t0  20299  ist1-3  20300  haust1  20303  t1sep2  20320  isr0  20687  tgpt0  21068
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