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Theorem ist1-2 20412
Description: An alternate characterization of T1 spaces. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ist1-2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
o, J    o, X, x, y

Proof of Theorem ist1-2
StepHypRef Expression
1 topontop 19990 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2462 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
32ist1 20386 . . . 4  |-  ( J  e.  Fre  <->  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  U. J { y }  e.  ( Clsd `  J ) ) )
43baib 919 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. y  e.  U. J { y }  e.  ( Clsd `  J ) ) )
51, 4syl 17 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. y  e.  U. J { y }  e.  ( Clsd `  J )
) )
6 toponuni 19991 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
76raleqdv 3005 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. y  e.  X  {
y }  e.  (
Clsd `  J )  <->  A. y  e.  U. J { y }  e.  ( Clsd `  J )
) )
81adantr 471 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  J  e.  Top )
9 eltop2 20040 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( U. J  \  { y } )  e.  J  <->  A. x  e.  ( U. J  \  { y } ) E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
108, 9syl 17 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( U. J  \  { y } )  e.  J  <->  A. x  e.  ( U. J  \  { y } ) E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
116eleq2d 2525 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( y  e.  X  <->  y  e.  U. J ) )
1211biimpa 491 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  U. J )
1312snssd 4130 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  { y }  C_  U. J )
142iscld2 20092 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { y }  C_  U. J
)  ->  ( {
y }  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  {
y } )  e.  J ) )
158, 13, 14syl2anc 671 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( { y }  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  {
y } )  e.  J ) )
166adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  X  =  U. J )
1716eleq2d 2525 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
x  e.  X  <->  x  e.  U. J ) )
1817imbi1d 323 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  ->  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )  <-> 
( x  e.  U. J  ->  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) ) ) )
19 con1b 339 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  x  =  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )  <->  ( -.  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) )  ->  x  =  y ) )
20 df-ne 2635 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
2120imbi1i 331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )  <->  ( -.  x  =  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
22 disjsn 4044 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( o  i^i  { y } )  =  (/)  <->  -.  y  e.  o )
23 elssuni 4241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( o  e.  J  ->  o  C_ 
U. J )
24 reldisj 3820 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( o 
C_  U. J  ->  (
( o  i^i  {
y } )  =  (/) 
<->  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o  e.  J  ->  (
( o  i^i  {
y } )  =  (/) 
<->  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )
2622, 25syl5bbr 267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( o  e.  J  ->  ( -.  y  e.  o  <->  o 
C_  ( U. J  \  { y } ) ) )
2726anbi2d 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( o  e.  J  ->  (
( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  <->  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
2827rexbiia 2900 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o
)  <->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )
29 rexanali 2852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o
)  <->  -.  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o ) )
3028, 29bitr3i 259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) )  <->  -.  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o ) )
3130con2bii 338 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  -> 
y  e.  o )  <->  -.  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )
3231imbi1i 331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  ( -.  E. o  e.  J  (
x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) )  ->  x  =  y ) )
3319, 21, 323bitr4ri 286 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
3433imbi2i 318 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  -> 
( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )  <-> 
( x  e.  X  ->  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) ) )
35 eldifsn 4110 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( U. J  \  { y } )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )
3635imbi1i 331 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( U. J  \  { y } )  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )  <->  ( (
x  e.  U. J  /\  x  =/=  y
)  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
37 impexp 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  U. J  /\  x  =/=  y
)  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )  <->  ( x  e.  U. J  ->  (
x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) ) )
3836, 37bitri 257 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( U. J  \  { y } )  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )  <->  ( x  e.  U. J  ->  (
x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) ) )
3918, 34, 383bitr4g 296 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  ->  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )  <-> 
( x  e.  ( U. J  \  {
y } )  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) ) )
4039ralbidv2 2835 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  ( U. J  \  {
y } ) E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
4110, 15, 403bitr4d 293 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( { y }  e.  ( Clsd `  J )  <->  A. x  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
4241ralbidva 2836 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. y  e.  X  {
y }  e.  (
Clsd `  J )  <->  A. y  e.  X  A. x  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
43 ralcom 2963 . . 3  |-  ( A. y  e.  X  A. x  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
4442, 43syl6bb 269 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. y  e.  X  {
y }  e.  (
Clsd `  J )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
455, 7, 443bitr2d 289 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750    \ cdif 3413    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3743   {csn 3980   U.cuni 4212   ` cfv 5601   Topctop 19966  TopOnctopon 19967   Clsdccld 20080   Frect1 20372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fv 5609  df-topgen 15391  df-top 19970  df-topon 19972  df-cld 20083  df-t1 20379
This theorem is referenced by:  t1t0  20413  ist1-3  20414  haust1  20417  t1sep2  20434  isr0  20801  tgpt0  21182
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