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Theorem ist0-3 20359
Description: The predicate "is a T0 space," expressed in more familiar terms. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)
Assertion
Ref Expression
ist0-3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
o, J    o, X, x, y

Proof of Theorem ist0-3
StepHypRef Expression
1 ist0-2 20358 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y )
) )
2 con34b 293 . . . 4  |-  ( ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  ( -.  x  =  y  ->  -.  A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) ) )
3 df-ne 2616 . . . . 5  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
4 xor 899 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( x  e.  o  <-> 
y  e.  o )  <-> 
( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  (
y  e.  o  /\  -.  x  e.  o
) ) )
5 ancom 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  o  /\  -.  x  e.  o
)  <->  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o ) )
65orbi2i 521 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  (
y  e.  o  /\  -.  x  e.  o
) )  <->  ( (
x  e.  o  /\  -.  y  e.  o
)  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o )
) )
74, 6bitri 252 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( x  e.  o  <-> 
y  e.  o )  <-> 
( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o
) ) )
87rexbii 2924 . . . . . 6  |-  ( E. o  e.  J  -.  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  <->  E. o  e.  J  ( (
x  e.  o  /\  -.  y  e.  o
)  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o )
) )
9 rexnal 2870 . . . . . 6  |-  ( E. o  e.  J  -.  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  <->  -.  A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) )
108, 9bitr3i 254 . . . . 5  |-  ( E. o  e.  J  ( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o
) )  <->  -.  A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) )
113, 10imbi12i 327 . . . 4  |-  ( ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o
) ) )  <->  ( -.  x  =  y  ->  -. 
A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) ) )
122, 11bitr4i 255 . . 3  |-  ( ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o
) ) ) )
13122ralbii 2854 . 2  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o
) ) ) )
141, 13syl6bb 264 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   ` cfv 5601  TopOnctopon 19916   Kol2ct0 20320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fv 5609  df-topon 19921  df-t0 20327
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