MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ist0-2 Structured version   Unicode version

Theorem ist0-2 20015
Description: The predicate "is a T0 space". (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ist0-2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y )
) )
Distinct variable groups:    x, y,
o, J    o, X, x, y

Proof of Theorem ist0-2
StepHypRef Expression
1 topontop 19597 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2454 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
32ist0 19991 . . . 4  |-  ( J  e.  Kol2  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
43baib 901 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Kol2  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
51, 4syl 16 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
6 toponuni 19598 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
76raleqdv 3057 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  U. J
( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
86, 7raleqbidv 3065 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J
( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
95, 8bitr4d 256 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1823   A.wral 2804   U.cuni 4235   ` cfv 5570   Topctop 19564  TopOnctopon 19565   Kol2ct0 19977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fv 5578  df-topon 19572  df-t0 19984
This theorem is referenced by:  ist0-3  20016  t1t0  20019  ist0-4  20399  kqt0lem  20406  tgpt0  20786  onsuct0  30137
  Copyright terms: Public domain W3C validator