MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ist0-2 Structured version   Unicode version

Theorem ist0-2 19075
Description: The predicate "is a T0 space". (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ist0-2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y )
) )
Distinct variable groups:    x, y,
o, J    o, X, x, y

Proof of Theorem ist0-2
StepHypRef Expression
1 topontop 18658 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2452 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
32ist0 19051 . . . 4  |-  ( J  e.  Kol2  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
43baib 896 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Kol2  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
51, 4syl 16 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
6 toponuni 18659 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
76raleqdv 3023 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  U. J
( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
86, 7raleqbidv 3031 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J
( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
95, 8bitr4d 256 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1758   A.wral 2796   U.cuni 4194   ` cfv 5521   Topctop 18625  TopOnctopon 18626   Kol2ct0 19037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fv 5529  df-topon 18633  df-t0 19044
This theorem is referenced by:  ist0-3  19076  t1t0  19079  ist0-4  19429  kqt0lem  19436  tgpt0  19816  onsuct0  28426
  Copyright terms: Public domain W3C validator