Theorem issubspt 10247

Description: The predicate "is an open set of a subspace topology". (Contributed by FL, 28-Jan-2009.)

Assertion

Ref	Expression
issubspt	|- ((J e. Top /\ A e. C /\ B e. _V) -> (A e. (subSp` <.B, J>.) <-> E.v e. J A = (v i^i B)))

Distinct variable groups:   v,A   v,B   v,J

Proof of Theorem issubspt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq2 3159	. . . . . . . 8 |- (J = if(J e. Top, J, {(/)}) -> <.B, J>. = <.B, if(J e. Top, J, {(/)})>.)
2	1	fveq2d 4685	. . . . . . 7 |- (J = if(J e. Top, J, {(/)}) -> (subSp` <.B, J>.) = (subSp` <.B, if(J e. Top, J, {(/)})>.))
3	2	eleq2d 1964	. . . . . 6 |- (J = if(J e. Top, J, {(/)}) -> (A e. (subSp` <.B, J>.) <-> A e. (subSp` <.B, if(J e. Top, J, {(/)})>.)))
4		rexeq 2267	. . . . . 6 |- (J = if(J e. Top, J, {(/)}) -> (E.v e. J A = (v i^i B) <-> E.v e. if (J e. Top, J, {(/)})A = (v i^i B)))
5	3, 4	bibi12d 691	. . . . 5 |- (J = if(J e. Top, J, {(/)}) -> ((A e. (subSp` <.B, J>.) <-> E.v e. J A = (v i^i B)) <-> (A e. (subSp` <.B, if(J e. Top, J, {(/)})>.) <-> E.v e. if (J e. Top, J, {(/)})A = (v i^i B))))
6	5	imbi2d 674	. . . 4 |- (J = if(J e. Top, J, {(/)}) -> ((B e. _V -> (A e. (subSp` <.B, J>.) <-> E.v e. J A = (v i^i B))) <-> (B e. _V -> (A e. (subSp` <.B, if(J e. Top, J, {(/)})>.) <-> E.v e. if (J e. Top, J, {(/)})A = (v i^i B)))))
7	6	imbi2d 674	. . 3 |- (J = if(J e. Top, J, {(/)}) -> ((A e. C -> (B e. _V -> (A e. (subSp` <.B, J>.) <-> E.v e. J A = (v i^i B)))) <-> (A e. C -> (B e. _V -> (A e. (subSp` <.B, if(J e. Top, J, {(/)})>.) <-> E.v e. if (J e. Top, J, {(/)})A = (v i^i B))))))
8		sn0top 8917	. . . . . 6 |- {(/)} e. Top
9	8	elimel 3025	. . . . 5 |- if(J e. Top, J, {(/)}) e. Top
10	9	issubsplem1 10246	. . . 4 |- ((A e. C /\ B e. _V) -> (A e. (subSp` <.B, if(J e. Top, J, {(/)})>.) <-> E.v e. if (J e. Top, J, {(/)})A = (v i^i B)))
11	10	ex 402	. . 3 |- (A e. C -> (B e. _V -> (A e. (subSp` <.B, if(J e. Top, J, {(/)})>.) <-> E.v e. if (J e. Top, J, {(/)})A = (v i^i B))))
12	7, 11	dedth 3011	. 2 |- (J e. Top -> (A e. C -> (B e. _V -> (A e. (subSp` <.B, J>.) <-> E.v e. J A = (v i^i B)))))
13	12	3imp 1061	1 |- ((J e. Top /\ A e. C /\ B e. _V) -> (A e. (subSp` <.B, J>.) <-> E.v e. J A = (v i^i B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   i^i cin 2592  (/)c0 2875  ifcif 2982  {csn 3044  <.cop 3046  ` cfv 3998  Topctop 8857  subSpcsubsp 10242

This theorem is referenced by:  elsubsp 10248  subspid 10249  subcld 10254  subtopmetlem 10255  sbtpsines 14905  subtopsin2 14907  subsubtop 15423  subntr 15425  cnsubsp2 15427  compsublem 15430  compsub 15431  connsub 15443  subspopn 15837  subspabs 15840  icoopnst 15876  iocopnst 15877  cnimass 15888  cnres 15889  cnresima 15891  cnss 15892  txsubsp 15912

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-top 8861  df-subsp 10243

Copyright terms: Public domain