Theorem issubsp 10245

Description: The predicate "is a subspace topology". (Contributed by FL, 22-Dec-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubsp.1	|- B e. _V
issubsp.2	|- J e. Top

Assertion

Ref	Expression
issubsp	|- (A e. C -> (A e. (subSp` <.B, J>.) <-> E.v e. J A = (v i^i B)))

Distinct variable groups:   v,A   v,B   v,J

Proof of Theorem issubsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubsp.2	. . . . 5 |- J e. Top
2		issubsp.1	. . . . 5 |- B e. _V
3	1, 2	subsp 10244	. . . 4 |- (subSp` <.B, J>.) = {u | E.v e. J u = (v i^i B)}
4	3	a1i 8	. . 3 |- (A e. C -> (subSp` <.B, J>.) = {u | E.v e. J u = (v i^i B)})
5	4	eleq2d 1964	. 2 |- (A e. C -> (A e. (subSp` <.B, J>.) <-> A e. {u | E.v e. J u = (v i^i B)}))
6		eqeq1 1890	. . . 4 |- (u = A -> (u = (v i^i B) <-> A = (v i^i B)))
7	6	rexbidv 2124	. . 3 |- (u = A -> (E.v e. J u = (v i^i B) <-> E.v e. J A = (v i^i B)))
8	7	elabg 2405	. 2 |- (A e. C -> (A e. {u | E.v e. J u = (v i^i B)} <-> E.v e. J A = (v i^i B)))
9	5, 8	bitrd 587	1 |- (A e. C -> (A e. (subSp` <.B, J>.) <-> E.v e. J A = (v i^i B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   i^i cin 2592  <.cop 3046  ` cfv 3998  Topctop 8857  subSpcsubsp 10242

This theorem is referenced by:  issubsplem1 10246

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-subsp 10243

Copyright terms: Public domain