MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubrg3 Structured version   Unicode version

Theorem issubrg3 16869
Description: A subring is an additive subgroup which is also a multiplicative submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
issubrg3.m  |-  M  =  (mulGrp `  R )
Assertion
Ref Expression
issubrg3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( S  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  R )  /\  S  e.  (SubMnd `  M ) ) ) )

Proof of Theorem issubrg3
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2437 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2437 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
3 eqid 2437 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
41, 2, 3issubrg2 16861 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( S  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  R )  /\  ( 1r `  R
)  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( .r `  R ) y )  e.  S ) ) )
5 3anass 969 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  R )  /\  ( 1r `  R )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( .r `  R
) y )  e.  S )  <->  ( S  e.  (SubGrp `  R )  /\  ( ( 1r `  R )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( .r
`  R ) y )  e.  S ) ) )
64, 5syl6bb 261 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( S  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  R )  /\  ( ( 1r `  R )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( .r
`  R ) y )  e.  S ) ) ) )
7 issubrg3.m . . . . 5  |-  M  =  (mulGrp `  R )
87rngmgp 16637 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  M  e. 
Mnd )
91subgss 15671 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  R
)  ->  S  C_  ( Base `  R ) )
107, 1mgpbas 16583 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  M )
117, 2rngidval 16591 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  M
)
127, 3mgpplusg 16581 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( +g  `  M
)
1310, 11, 12issubm 15466 . . . . . 6  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( S  C_  ( Base `  R )  /\  ( 1r `  R
)  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( .r `  R ) y )  e.  S ) ) )
14 3anass 969 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  ( Base `  R )  /\  ( 1r `  R )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( .r `  R
) y )  e.  S )  <->  ( S  C_  ( Base `  R
)  /\  ( ( 1r `  R )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( .r `  R
) y )  e.  S ) ) )
1513, 14syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( S  C_  ( Base `  R )  /\  ( ( 1r `  R )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( .r
`  R ) y )  e.  S ) ) ) )
1615baibd 900 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Base `  R
) )  ->  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( ( 1r
`  R )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( .r `  R
) y )  e.  S ) ) )
178, 9, 16syl2an 477 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  (SubGrp `  R )
)  ->  ( S  e.  (SubMnd `  M )  <->  ( ( 1r `  R
)  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( .r `  R ) y )  e.  S ) ) )
1817pm5.32da 641 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( S  e.  (SubGrp `  R )  /\  S  e.  (SubMnd `  M )
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  R )  /\  ( ( 1r `  R )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( .r
`  R ) y )  e.  S ) ) ) )
196, 18bitr4d 256 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( S  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  R )  /\  S  e.  (SubMnd `  M ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2709    C_ wss 3321   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   .rcmulr 14231   Mndcmnd 15401  SubMndcsubmnd 15455  SubGrpcsubg 15664  mulGrpcmgp 16577   1rcur 16589   Ringcrg 16631  SubRingcsubrg 16837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-iun 4166  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-subg 15667  df-mgp 16578  df-ur 16590  df-rng 16633  df-subrg 16839
This theorem is referenced by:  rhmeql  16871  rhmima  16872  cntzsubr  16873  subrgacs  29500
  Copyright terms: Public domain W3C validator