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Theorem issubrg2 17011
Description: Characterize the subrings of a ring by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubrg2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
issubrg2.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
issubrg2.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
issubrg2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( A  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  .x.  y )  e.  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, R, y    x,  .x. , y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    .1. ( x, y)

Proof of Theorem issubrg2
Dummy variables  v  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgsubg 16997 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  e.  (SubGrp `  R ) )
2 issubrg2.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
32subrg1cl 16999 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  .1.  e.  A )
4 issubrg2.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
54subrgmcl 17003 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( x  .x.  y )  e.  A
)
653expb 1189 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x  .x.  y
)  e.  A )
76ralrimivva 2914 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
)
81, 3, 73jca 1168 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  .x.  y )  e.  A ) )
9 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  R  e.  Ring )
10 simpr1 994 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  A  e.  (SubGrp `  R )
)
11 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( Rs  A )  =  ( Rs  A )
1211subgbas 15807 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  ->  A  =  ( Base `  ( Rs  A
) ) )
1310, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  A  =  ( Base `  ( Rs  A ) ) )
14 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
1511, 14ressplusg 14402 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  ->  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  ( Rs  A ) ) )
1610, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  ( Rs  A ) ) )
1711, 4ressmulr 14413 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  ->  .x.  =  ( .r `  ( Rs  A ) ) )
1810, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  .x.  =  ( .r `  ( Rs  A ) ) )
1911subggrp 15806 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  ->  ( Rs  A
)  e.  Grp )
2010, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  ( Rs  A )  e.  Grp )
21 simpr3 996 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
)
22 oveq1 6210 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  (
x  .x.  y )  =  ( u  .x.  y ) )
2322eleq1d 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  (
( x  .x.  y
)  e.  A  <->  ( u  .x.  y )  e.  A
) )
24 oveq2 6211 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  (
u  .x.  y )  =  ( u  .x.  v ) )
2524eleq1d 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
( u  .x.  y
)  e.  A  <->  ( u  .x.  v )  e.  A
) )
2623, 25rspc2v 3186 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A  ->  ( u  .x.  v
)  e.  A ) )
2721, 26syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  (
( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  ->  ( u  .x.  v )  e.  A
) )
28273impib 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  u  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  (
u  .x.  v )  e.  A )
29 issubrg2.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  R
)
3029subgss 15804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  ->  A  C_  B
)
3110, 30syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  A  C_  B )
3231sseld 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  (
u  e.  A  ->  u  e.  B )
)
3331sseld 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  (
v  e.  A  -> 
v  e.  B ) )
3431sseld 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  (
w  e.  A  ->  w  e.  B )
)
3532, 33, 343anim123d 1297 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  (
( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  ->  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) ) )
3635imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )
3729, 4rngass 16787 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
u  .x.  v )  .x.  w )  =  ( u  .x.  ( v 
.x.  w ) ) )
3837adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
u  .x.  v )  .x.  w )  =  ( u  .x.  ( v 
.x.  w ) ) )
3936, 38syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
u  .x.  v )  .x.  w )  =  ( u  .x.  ( v 
.x.  w ) ) )
4029, 14, 4rngdi 16789 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( u  .x.  ( v ( +g  `  R ) w ) )  =  ( ( u  .x.  v ) ( +g  `  R
) ( u  .x.  w ) ) )
4140adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( u  .x.  ( v ( +g  `  R ) w ) )  =  ( ( u  .x.  v ) ( +g  `  R
) ( u  .x.  w ) ) )
4236, 41syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( u  .x.  ( v ( +g  `  R ) w ) )  =  ( ( u  .x.  v ) ( +g  `  R
) ( u  .x.  w ) ) )
4329, 14, 4rngdir 16790 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
u ( +g  `  R
) v )  .x.  w )  =  ( ( u  .x.  w
) ( +g  `  R
) ( v  .x.  w ) ) )
4443adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
u ( +g  `  R
) v )  .x.  w )  =  ( ( u  .x.  w
) ( +g  `  R
) ( v  .x.  w ) ) )
4536, 44syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
u ( +g  `  R
) v )  .x.  w )  =  ( ( u  .x.  w
) ( +g  `  R
) ( v  .x.  w ) ) )
46 simpr2 995 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  .1.  e.  A )
4732imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  u  e.  A )  ->  u  e.  B )
4829, 4, 2rnglidm 16794 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  u  e.  B )  ->  (  .1.  .x.  u )  =  u )
4948adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  u  e.  B )  ->  (  .1.  .x.  u )  =  u )
5047, 49syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  u  e.  A )  ->  (  .1.  .x.  u )  =  u )
5129, 4, 2rngridm 16795 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  u  e.  B )  ->  (
u  .x.  .1.  )  =  u )
5251adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  u  e.  B )  ->  (
u  .x.  .1.  )  =  u )
5347, 52syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  u  e.  A )  ->  (
u  .x.  .1.  )  =  u )
5413, 16, 18, 20, 28, 39, 42, 45, 46, 50, 53isrngd 16805 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  ( Rs  A )  e.  Ring )
559, 54jca 532 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  A )  e.  Ring ) )
5631, 46jca 532 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  ( A  C_  B  /\  .1.  e.  A ) )
5729, 2issubrg 16991 . . . 4  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  ( A  C_  B  /\  .1.  e.  A
) ) )
5855, 56, 57sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  A  e.  (SubRing `  R )
)
5958ex 434 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
)  ->  A  e.  (SubRing `  R ) ) )
608, 59impbid2 204 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( A  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  .x.  y )  e.  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799    C_ wss 3439   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14295   ↾s cress 14296   +g cplusg 14360   .rcmulr 14361   Grpcgrp 15532  SubGrpcsubg 15797   1rcur 16728   Ringcrg 16771  SubRingcsubrg 16987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-0g 14502  df-mnd 15537  df-subg 15800  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-subrg 16989
This theorem is referenced by:  opprsubrg  17012  subrgint  17013  issubrg3  17019  issubrngd2  17396  mplsubrg  17646  mplind  17711  cnsubrglem  17991  dmatsrng  31079  scmatsrng  31086  scmatsrng1  31089  cpmatsrgpmat  31230
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