MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubrg2 Structured version   Unicode version

Theorem issubrg2 17323
Description: Characterize the subrings of a ring by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubrg2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
issubrg2.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
issubrg2.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
issubrg2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( A  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  .x.  y )  e.  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, R, y    x,  .x. , y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    .1. ( x, y)

Proof of Theorem issubrg2
Dummy variables  v  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgsubg 17309 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  e.  (SubGrp `  R ) )
2 issubrg2.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
32subrg1cl 17311 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  .1.  e.  A )
4 issubrg2.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
54subrgmcl 17315 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( x  .x.  y )  e.  A
)
653expb 1198 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x  .x.  y
)  e.  A )
76ralrimivva 2864 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
)
81, 3, 73jca 1177 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  .x.  y )  e.  A ) )
9 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  R  e.  Ring )
10 simpr1 1003 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  A  e.  (SubGrp `  R )
)
11 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( Rs  A )  =  ( Rs  A )
1211subgbas 16079 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  ->  A  =  ( Base `  ( Rs  A
) ) )
1310, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  A  =  ( Base `  ( Rs  A ) ) )
14 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
1511, 14ressplusg 14616 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  ->  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  ( Rs  A ) ) )
1610, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  ( Rs  A ) ) )
1711, 4ressmulr 14627 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  ->  .x.  =  ( .r `  ( Rs  A ) ) )
1810, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  .x.  =  ( .r `  ( Rs  A ) ) )
1911subggrp 16078 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  ->  ( Rs  A
)  e.  Grp )
2010, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  ( Rs  A )  e.  Grp )
21 simpr3 1005 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
)
22 oveq1 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  (
x  .x.  y )  =  ( u  .x.  y ) )
2322eleq1d 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  (
( x  .x.  y
)  e.  A  <->  ( u  .x.  y )  e.  A
) )
24 oveq2 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  (
u  .x.  y )  =  ( u  .x.  v ) )
2524eleq1d 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
( u  .x.  y
)  e.  A  <->  ( u  .x.  v )  e.  A
) )
2623, 25rspc2v 3205 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A  ->  ( u  .x.  v
)  e.  A ) )
2721, 26syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  (
( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  ->  ( u  .x.  v )  e.  A
) )
28273impib 1195 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  u  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  (
u  .x.  v )  e.  A )
29 issubrg2.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  R
)
3029subgss 16076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  ->  A  C_  B
)
3110, 30syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  A  C_  B )
3231sseld 3488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  (
u  e.  A  ->  u  e.  B )
)
3331sseld 3488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  (
v  e.  A  -> 
v  e.  B ) )
3431sseld 3488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  (
w  e.  A  ->  w  e.  B )
)
3532, 33, 343anim123d 1307 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  (
( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  ->  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) ) )
3635imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )
3729, 4ringass 17089 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
u  .x.  v )  .x.  w )  =  ( u  .x.  ( v 
.x.  w ) ) )
3837adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
u  .x.  v )  .x.  w )  =  ( u  .x.  ( v 
.x.  w ) ) )
3936, 38syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
u  .x.  v )  .x.  w )  =  ( u  .x.  ( v 
.x.  w ) ) )
4029, 14, 4ringdi 17091 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( u  .x.  ( v ( +g  `  R ) w ) )  =  ( ( u  .x.  v ) ( +g  `  R
) ( u  .x.  w ) ) )
4140adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( u  .x.  ( v ( +g  `  R ) w ) )  =  ( ( u  .x.  v ) ( +g  `  R
) ( u  .x.  w ) ) )
4236, 41syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( u  .x.  ( v ( +g  `  R ) w ) )  =  ( ( u  .x.  v ) ( +g  `  R
) ( u  .x.  w ) ) )
4329, 14, 4ringdir 17092 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
u ( +g  `  R
) v )  .x.  w )  =  ( ( u  .x.  w
) ( +g  `  R
) ( v  .x.  w ) ) )
4443adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
u ( +g  `  R
) v )  .x.  w )  =  ( ( u  .x.  w
) ( +g  `  R
) ( v  .x.  w ) ) )
4536, 44syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
u ( +g  `  R
) v )  .x.  w )  =  ( ( u  .x.  w
) ( +g  `  R
) ( v  .x.  w ) ) )
46 simpr2 1004 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  .1.  e.  A )
4732imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  u  e.  A )  ->  u  e.  B )
4829, 4, 2ringlidm 17096 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  u  e.  B )  ->  (  .1.  .x.  u )  =  u )
4948adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  u  e.  B )  ->  (  .1.  .x.  u )  =  u )
5047, 49syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  u  e.  A )  ->  (  .1.  .x.  u )  =  u )
5129, 4, 2ringridm 17097 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  u  e.  B )  ->  (
u  .x.  .1.  )  =  u )
5251adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  u  e.  B )  ->  (
u  .x.  .1.  )  =  u )
5347, 52syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  u  e.  A )  ->  (
u  .x.  .1.  )  =  u )
5413, 16, 18, 20, 28, 39, 42, 45, 46, 50, 53isringd 17107 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  ( Rs  A )  e.  Ring )
559, 54jca 532 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  A )  e.  Ring ) )
5631, 46jca 532 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  ( A  C_  B  /\  .1.  e.  A ) )
5729, 2issubrg 17303 . . . 4  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  ( A  C_  B  /\  .1.  e.  A
) ) )
5855, 56, 57sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  A  e.  (SubRing `  R )
)
5958ex 434 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
)  ->  A  e.  (SubRing `  R ) ) )
608, 59impbid2 204 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( A  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  .x.  y )  e.  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793    C_ wss 3461   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14509   ↾s cress 14510   +g cplusg 14574   .rcmulr 14575   Grpcgrp 15927  SubGrpcsubg 16069   1rcur 17027   Ringcrg 17072  SubRingcsubrg 17299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-0g 14716  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-subg 16072  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-subrg 17301
This theorem is referenced by:  opprsubrg  17324  subrgint  17325  issubrg3  17331  issubrngd2  17709  mplsubrg  17976  mplind  18041  cnsubrglem  18342  dmatsrng  18876  scmatsrng  18895  scmatsrng1  18898  cpmatsrgpmat  19095
  Copyright terms: Public domain W3C validator