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Theorem issubrg2 17644
Description: Characterize the subrings of a ring by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubrg2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
issubrg2.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
issubrg2.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
issubrg2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( A  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  .x.  y )  e.  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, R, y    x,  .x. , y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    .1. ( x, y)

Proof of Theorem issubrg2
Dummy variables  v  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgsubg 17630 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  e.  (SubGrp `  R ) )
2 issubrg2.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
32subrg1cl 17632 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  .1.  e.  A )
4 issubrg2.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
54subrgmcl 17636 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( x  .x.  y )  e.  A
)
653expb 1195 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x  .x.  y
)  e.  A )
76ralrimivva 2875 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
)
81, 3, 73jca 1174 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  .x.  y )  e.  A ) )
9 simpl 455 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  R  e.  Ring )
10 simpr1 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  A  e.  (SubGrp `  R )
)
11 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( Rs  A )  =  ( Rs  A )
1211subgbas 16404 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  ->  A  =  ( Base `  ( Rs  A
) ) )
1310, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  A  =  ( Base `  ( Rs  A ) ) )
14 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
1511, 14ressplusg 14830 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  ->  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  ( Rs  A ) ) )
1610, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  ( Rs  A ) ) )
1711, 4ressmulr 14841 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  ->  .x.  =  ( .r `  ( Rs  A ) ) )
1810, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  .x.  =  ( .r `  ( Rs  A ) ) )
1911subggrp 16403 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  ->  ( Rs  A
)  e.  Grp )
2010, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  ( Rs  A )  e.  Grp )
21 simpr3 1002 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
)
22 oveq1 6277 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  (
x  .x.  y )  =  ( u  .x.  y ) )
2322eleq1d 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  (
( x  .x.  y
)  e.  A  <->  ( u  .x.  y )  e.  A
) )
24 oveq2 6278 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  (
u  .x.  y )  =  ( u  .x.  v ) )
2524eleq1d 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
( u  .x.  y
)  e.  A  <->  ( u  .x.  v )  e.  A
) )
2623, 25rspc2v 3216 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A  ->  ( u  .x.  v
)  e.  A ) )
2721, 26syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  (
( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  ->  ( u  .x.  v )  e.  A
) )
28273impib 1192 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  u  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  (
u  .x.  v )  e.  A )
29 issubrg2.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  R
)
3029subgss 16401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  ->  A  C_  B
)
3110, 30syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  A  C_  B )
3231sseld 3488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  (
u  e.  A  ->  u  e.  B )
)
3331sseld 3488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  (
v  e.  A  -> 
v  e.  B ) )
3431sseld 3488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  (
w  e.  A  ->  w  e.  B )
)
3532, 33, 343anim123d 1304 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  (
( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  ->  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) ) )
3635imp 427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )
3729, 4ringass 17410 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
u  .x.  v )  .x.  w )  =  ( u  .x.  ( v 
.x.  w ) ) )
3837adantlr 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
u  .x.  v )  .x.  w )  =  ( u  .x.  ( v 
.x.  w ) ) )
3936, 38syldan 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
u  .x.  v )  .x.  w )  =  ( u  .x.  ( v 
.x.  w ) ) )
4029, 14, 4ringdi 17412 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( u  .x.  ( v ( +g  `  R ) w ) )  =  ( ( u  .x.  v ) ( +g  `  R
) ( u  .x.  w ) ) )
4140adantlr 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( u  .x.  ( v ( +g  `  R ) w ) )  =  ( ( u  .x.  v ) ( +g  `  R
) ( u  .x.  w ) ) )
4236, 41syldan 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( u  .x.  ( v ( +g  `  R ) w ) )  =  ( ( u  .x.  v ) ( +g  `  R
) ( u  .x.  w ) ) )
4329, 14, 4ringdir 17413 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
u ( +g  `  R
) v )  .x.  w )  =  ( ( u  .x.  w
) ( +g  `  R
) ( v  .x.  w ) ) )
4443adantlr 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
u ( +g  `  R
) v )  .x.  w )  =  ( ( u  .x.  w
) ( +g  `  R
) ( v  .x.  w ) ) )
4536, 44syldan 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
u ( +g  `  R
) v )  .x.  w )  =  ( ( u  .x.  w
) ( +g  `  R
) ( v  .x.  w ) ) )
46 simpr2 1001 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  .1.  e.  A )
4732imp 427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  u  e.  A )  ->  u  e.  B )
4829, 4, 2ringlidm 17417 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  u  e.  B )  ->  (  .1.  .x.  u )  =  u )
4948adantlr 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  u  e.  B )  ->  (  .1.  .x.  u )  =  u )
5047, 49syldan 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  u  e.  A )  ->  (  .1.  .x.  u )  =  u )
5129, 4, 2ringridm 17418 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  u  e.  B )  ->  (
u  .x.  .1.  )  =  u )
5251adantlr 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  u  e.  B )  ->  (
u  .x.  .1.  )  =  u )
5347, 52syldan 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  /\  u  e.  A )  ->  (
u  .x.  .1.  )  =  u )
5413, 16, 18, 20, 28, 39, 42, 45, 46, 50, 53isringd 17428 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  ( Rs  A )  e.  Ring )
559, 54jca 530 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  A )  e.  Ring ) )
5631, 46jca 530 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  ( A  C_  B  /\  .1.  e.  A ) )
5729, 2issubrg 17624 . . . 4  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  ( A  C_  B  /\  .1.  e.  A
) ) )
5855, 56, 57sylanbrc 662 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
) )  ->  A  e.  (SubRing `  R )
)
5958ex 432 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  .x.  y )  e.  A
)  ->  A  e.  (SubRing `  R ) ) )
608, 59impbid2 204 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( A  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( A  e.  (SubGrp `  R )  /\  .1.  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  .x.  y )  e.  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804    C_ wss 3461   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   ↾s cress 14717   +g cplusg 14784   .rcmulr 14785   Grpcgrp 16252  SubGrpcsubg 16394   1rcur 17348   Ringcrg 17393  SubRingcsubrg 17620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-subg 16397  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-subrg 17622
This theorem is referenced by:  opprsubrg  17645  subrgint  17646  issubrg3  17652  issubrngd2  18030  mplsubrg  18297  mplind  18362  cnsubrglem  18663  dmatsrng  19170  scmatsrng  19189  scmatsrng1  19192  cpmatsrgpmat  19389
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